附录Ⅳ　几何学基础 ^（1）

（转载自Math. Ann., 卷56, 1902）

黎曼（Riemann）和黑姆霍尔兹（Helmholtz）关于几何基础的研究促使李（Lie）根据群的概念从事于几何公理法的研究，并使这位有远见的数学家作出了一组公理系统，由此出发，借助于他的变换群的理论证明，这组公理，足以发展几何学 ^（2） 。

在论证他的变换群理论时，李总是假定定义群的函数是可微的。因此，在李的研究中尚未讨论的是：按照有关的几何公理，函数可微性的假定是否确实不可避免，还是说所涉及的函数可微性是群概念以及其他几何概念的更确切的直接推论。在李阐明自己的方法时也不得不明确提出以下的公理：即运动群由无穷小变换所构成。这些要求以及李在规定等距点轨迹方程的性质的基本公理的主要组成部分都能从纯几何的形式表出。但这很勉强也很复杂。另外，它们仅作为李所用的解析方法而不是由问题的本身而出现。

因此，我在下文中力求为平面几何建立一个公理系统。这一系统同样是建立在群的概念之上，仅包含简单的且在几何上一目了然的要求，特别是绝不以运动所导出函数的可微性为前提，我所建立的公理系统是包含在李的公理系统中作为特殊组成部分，或者像我所认为的那样可以立即从李的公理中推出的。

我的论证完全不同于李的方法，我主要是用康托尔点集论的概念进行推论并且利用约当的定理：每条无重点、闭的连续平面曲线划分平面成内部区域和外部区域。

在我所列举的公理系统中肯定也有个别部分是多余的，然而我放弃了对这一情况的继续研究，考虑公理简单化的可能，尤其是我希望避免复杂的和几何上不明显的证明。

在下文中我所研究的仅是平面的公理，尽管我认为可以为空间建立一个类似的公理系统，用类比的方法就可建立空间几何学 ^（3） 。

我们现在先作几个解释。

解释：所谓数平面系指赋予直角坐标系x ，y 的普通平面。

在数平面上，不含重点，且包含端点在内的连续曲线称为约当曲线。如果约当曲线是闭的，则由它所围成数平面上的内部区域称为约当区域。

为了叙述简便和便于理解，在目前所进行的研究工作中我将给出的平面的定义要比我的论证所要求的要狭些 ^（4） 。即假设我们几何中的所有点能够一一映射到数平面点的有限区域上或其某个确定的子集上。由此使我们几何中的每一点能由一个固定的数对x 和y 所决定。于是平面的概念可写作如下形式：

平面的定义 　平面是以点为对象的集合，这些点能被映射到数平面点的有限区域或它的某个子集上，这里它们具有唯一的逆。而数平面的点（即象点）也将用来表示平面上的点。

对于平面上的任一点A ，存在数平面内的一个约当区域，其中包含点A 的象，而且这区域中的所有点也都表示平面上的点。我们将此约当区域叫做点A 的邻域。

每个包含在点A 邻域的约当区域其中包含A 的象点仍是点A 的一个邻域。

若点B 是点A 邻域中的任意一点，则点A 的邻域同时也是点B 的邻域。

对于平面上任意两点A ，B 则存在一个点A 的邻域，它也包含点B 。

运动将定义为平面到自身的一个单值可逆变换。显然从开始就可将平面的单值可逆变换区分为两种类型。在数平面上任取一条具有定向的闭约当曲线则经此变换它仍变为具有某定向的闭约当曲线。在今后的研究中，每当利用数平面到自身的变换所定义的运动时，总可认为与原约当曲线具有相同的定向。这个假定 ^（5） 决定了运动概念的以下形式：

运动的定义 　运动是数平面到自身的连续变换且具唯一的逆，它使闭约当曲线的定向恒保持不变。运动变换的逆变换仍是运动。

保持一个点M 不变的运动称为关于点M 的旋转。

在引进“平面”和“运动”两个概念之后，来建立以下三条公理：

公理1 　若连续实施两个运动则平面到自身的合成变换仍是一个运动。

简言之：

公理Ⅰ 　运动构成群。

公理Ⅱ 　如果A 和M 是平面上任意两个不同点，则点A 经绕点M 的旋转可得到无穷多个位置。

在这个平面几何里，若把不同于M 的一点绕点M 的所有旋转所得点的全体叫做一个真圆 ^（6） ，则公理Ⅱ就可有以下的形式：

公理Ⅲ　每个真圆都由无穷多个点组成。

在叙述公理Ⅲ之前先给出以下定义：

定义 　假定AB 是一个确定的点对，并以相同的字母表示这些点在数平面上的象。分别利用α 和β 描述数平面上点A 和点B 的邻域。如果点A 属于邻域α ，点B 也属于邻域β ，则称点对A B 位于点对AB 的邻域αβ 内，且邻域αβ 能够任意小，此将理解为A 和B 的邻域α 和β 分别能够任意小。

令ABC 是这种几何中的一个三点组，并用同样字母表示这些点在数平面上的象。以α ，β 和γ 分别表示点A ，B ，C 在数平面上的三个邻域。如果点A 属于邻域α ，点B 属于邻域β ，点C 属于邻域γ ，则称三点组A B C 属于三点组ABC 的邻域αβγ ，且表示邻域αβγ 能够任意小可理解为A ，B 和C 的邻域α ，β ，γ 分别能任意的小。

在应用“点对”和“三点组”中，我们并未假定两个点或三个点必须是不同的。

公理Ⅲ 　如果存在着运动使任意靠近三点组ABC 的三点组，经运动后能与三点组A ′B ′C ′任意靠近，则存在一个运动将三点组ABC 恰好变换到三点组A ′B ′C ′ ^（7） 。

这条公理可简要叙述如下：

公理Ⅲ　运动构成一个闭集。

在公理Ⅲ中如果允许三点组的某些点可以重合，容易得到公理Ⅲ的一些特殊情形，今特指出如下：

如果存在关于点M 的旋转使任意靠近点对AB 的点对经旋转带到与点对A ′B ′任意靠近，则总存在关于点M 的一个旋转将点对AB 恰好带到点对A ′B ′。

如果存在关于点M 的旋转使任意靠近点A 的那些点经旋转带到与点A ′任意靠近的点，则存在关于点M 的一个旋转将点A 恰好带到点A ′。

在今后的叙述里，我要经常利用公理Ⅲ的特殊情形中的最后一条，在那里将用点M 代替点A ^（8） 。

现在证明以下论断：

满足公理Ⅰ～Ⅲ的平面几何或是欧几里得平面几何或是鲍雅义-罗巴切夫斯基几何。

如果我们希望单独得到欧几里得几何，则由公理Ⅰ仅需添加“运动群要包含一个正规子群”这一规定。这个规定代替了平行公理。

下面想简略地叙述一下我的论证中的一系列想法。利用一个特殊的方法在任一点M 的邻域中作某一个点图形kk 且在它的上面确定一点K （§1～§2）。然后对经过M 和K 的真圆x 加以研究（§3）。于是可得真圆x 是闭的且是自稠密的，即它是一个完备点集。

下一步研究的课题是要论证真圆x 是一条闭约当曲线 ^（9） 。首先能做的是要证实真圆x 上的点排列顺序的可能性（§4～§5），从而得到真圆x 的点到普通圆上的点之间的一个具有唯一的逆的映射（§6～§7），最后证明这个映射必须连续（§8）。于是可得原来所作的点图形kk 与真圆x 是恒同的（§9），则有定理真圆x 内的每个真圆仍是一条闭约当曲线（§10～§12）。

其次转而研究绕点M 旋转平面将真圆x 变到自身的变换群（§13）。此群具有下列性质：（1）关于点M 的每一个旋转若使真圆x 的一点保持不动则其所有点都保持不动（§14）。（2）总存在一个关于点M 的旋转使真圆κ 上任一给定的点变到κ 的任意其他点（§15）。（3）关于点M 的旋转群是连续的（§16）。这三条性质完全决定了真圆κ 到自身的所有旋转对应的变换群的结构。由此建立了以下定理：真圆κ 到自身的变换是关于点M 的旋转，它组成的变换群是全面同构于普通圆到自身的普通旋转群（§17～§18）。

下一步来研究平面上所有点关于点M 的旋转所成的变换群。除恒同变换外，下述定理成立：不存在关于点M 的旋转使真圆上的每一点都保持不动（§19）。现在可以看出每个真圆是闭约当曲线，并得到关于点M 的所有旋转群的变换公式（§20～§21）。最后，得到这些定理：如果在一个平面运动下任意两点保持不动，则所有点保持不动。即运动是恒同的。平面上每一点经过一个适当的运动能变到平面上的另外一点（§22）。

下面重要的课题是定义这种几何中真直线的概念，并为这种几何的构成说明有关真直线的必要性质。其次定义半旋转和线段中点的概念（§23）。一个线段至多有一个中点（§24），且已知一个线段的中点则每一较小线段也有一个中点（§25～§26）。

为考察线段中点的位置，有关真圆相切的几个定理是必要的，且首先要想到两个合同的圆彼此外切于一点且仅切于一点的作图（§27）。其次引进有关内切圆的一般定理（§28），并导出一个定理的特殊情形即切于内部的一圆通过切圆的中心（§29）。

现取一个相当小但确定的一个线段作为单位线段，通过反复平分和半旋转形成它的一个点集使得集合中的每一点都对应着一个确定的且分母仅为2的幂的有理数α （§30）。在建立了所指定的规则以后（§31），结果集中的点在它们自己当中是有序的，在那里前面相切圆定理开始起了作用（§32）。现在能够证明对应于数 的那些点收敛于0（§33）。这个定理是逐步加以归纳的，直到看出集中的每个点序列收敛当所对应的数序列收敛（§34～§35）。

在作了这些准备以后，就可得到真直线作为点集的定义，它是由两个基点，通过重复取中点，作半旋转，并添加所得点的全部极限点而生成的（§36）。于是可以证明真直线是一条连续曲线（§37），没有重点（§38），且与其他任一真直线至多有一公共点（§39）。进一步可以得到真直线与在它上面的任一点的周围所作的每个圆相交，且由此可得平面上任意两点总能以一条真直线联结（§40）。在这种几何中也可以看到尽管合同定理成立，而两个三角形合同仅当它们有相同的定向（§41）。

关于所有真直线的相关位置，有两种情形需加区别，依据平行公理是否成立或对一条已知直线和线外一点是否存在过此点的两条直线把与已知直线相交的和不相交的直线分开。在第一种情形里可得到欧几里得几何，而在第二种情形则得鲍雅义-罗巴切夫斯基几何（§42）。

§1．设M 是这种几何中的任意一点而且也是数平面x ，y 上的像点。其次的课题是围绕点M 构造某些点图形最后这些图形实际上将是关于点M 的真圆。

在数平面上作一个关于点M 的“数圆”，即在通常度量意义上的一圆R ，它是如此的小使得R 上和R 内部的点也都是像点且也有R 外部的点，则在R 内存在一个与R 同心的圆ζ 使得经过关于点M 的任何旋转圆ζ 的所有像点仍然在R 内。

为了证明，我们考虑数平面上一组同心圆ζ ₁ ，ζ ₂ ，ζ ₃ ，…的无穷序列，它们具有渐减而收敛于0的半径。现作相反的假设，如果这些圆中的每一圆经绕点M 的某一旋转存在一个象点落于圆R 的外部或到圆周上。令A _i 是位于圆ζ _i 内部的一个像，在旋转△ _i 下它变到圆R 的外部或保留在相同位置。设想每个数圆从点M 到每一个点A _i 作的半径r _i 经旋转△ _i 变为曲线r _i 。因曲线γ _i 经过从点M 到圆R 外部或其上的某些点，故γ _i 必与圆R 相交。令B _i 是这样的一个交点且B 是点B ₁ ，B ₂ ，B ₃ ，…的一个极限点 ^（10） 。又令c _i 是半径r _i 上的点它经旋转△ _i 变换到点B _i 。因为点c ₁ ，c ₂ ，c ₃ ，…收敛于M ，根据公理Ⅲ存在一个关于点M 的旋转，经此旋转将位于圆周R 上的点B 变到点M 。这与上面所给运动的定义相矛盾。

§2．如同§1所规定设ζ 是R 内的一个数圆并满足这里所证明定理的条件，因此ζ 内所有的象点在关于M 的旋转下仍在R 内。且令k 是ζ 内的一个数圆，所有它的点在关于点M 的旋转下仍在ζ 内。简言之，数平面的点都被k 内或k 上的点经绕点M 以任何方式的旋转而得的点所覆盖。由公理Ⅲ立即可得这些覆盖点形成一个闭集。且令A 是R 外部的一个确定点，它的像是这种几何中的一点。现在我们说一个非覆盖点A ′位于kk 之外是指如果它能同A 以仅含非覆盖点的约当曲线相连接。特别是，数圆ζ 外部的所有点一定在kk 的外部。每个覆盖点是kk 上的一点是说在覆盖点的每个任意小的邻域里都包含kk 外部的点。在kk 上的点形成一个闭集。如点J 既不在kk 外部也不在kk 上则说这点是kk 内部的点。特别地，所有覆盖点不能任意靠近非覆盖点，例如点M 和k 的内部点，因此一定位于kk 内。

§3．我们注意到确定ζ 的过程在绕点M 的旋转下点A 永不能落在ζ 内，可以看出在绕点M 的每一个旋转下kk 外部的点仍变为kk 外部的点，kk 上的点仍变到kk 上的点以及kk 内部点仍变为kk 内部的点。

根据已给的定义，kk 上的每一点是一覆盖点，而且已知k 内的点也位于kk 内部，因此就有以下的结论：

对于kk 上的每一点K 存在一个关于M 的旋转△，使经旋转后位于k 周界上的一点K′ 与K 重合。数圆k 的半径MK′ 经旋转△后就形成一条连接点M 同kk 上的点K 的约当曲线且此曲线完全位于kk 的内部。

同时可以看出数圆k 的周界上至少有一点K′ 在kk 上。

将点M 与在kk 外部的一点A 用任一约当曲线连接，并用K 表示此曲线与kk 的交点，于是在约当曲线上位于K 和A 之间的所有点都在kk 的外部。于是我们考虑由点K 经关于点M 的各旋转而产生的所有点的集合，即通过点K 关于点M 的真圆κ ，这个真圆的所有点都在kk 上。

由公理Ⅱ，真圆κ 包含无穷多个点。如果K 是真圆κ 的点的一个极限点，则由公理Ⅲ它也是κ 的一个点。用K ₁ 表示真圆κ 的任一点，则在完成将K 变到K ₁ 的关于点M 的旋转后，可知K ₁ 也是真圆κ 点的一个极限点。如此可得下面的定理：

附图　16

真圆κ 是一个闭的且自稠密的集合，亦即是一个完备点集。

§4．下面叙述的最重要的课题是证明真圆κ 是一条闭约当曲线。而实际情况也就是真圆κ 与kk 相重合。

首先将证明对于真圆κ 的任意两点K ₁ ，K ₂ 总能用一条约当曲线连接，这条曲线除端点外全部在kk 内部，同样这条约当曲线除端点外也可全部在kk 的外部。

事实上，按照以上的论点，在kk 内部将中点M 分别与K ₁ 和K ₂ 连接成约当曲线MK ₁ 和MK ₂ ，并在曲线MK ₁ 上确定始点在M ，终点在MK ₂ 上的一点P ，则第一条约当曲线的弧PK ₁ 与第二条约当曲线的弧PK ₂ 一起形成原所要求的一条连接曲线。

另一方面，考虑将K 变到K ₁ 或K ₂ 的关于点M 的旋转。这样由点A 产生的点A ₁ 或A ₂ （根据§3）落在kk 内部，因此在kk 外能与A 连接。从这些连接曲线和约当曲线，其中这些约当曲线是由§3所构造的约当曲线AK 经旋转而得到的，组成一条在K ₁ 和K ₂ 之间且完全位于kk 外部的约当曲线是很容易的。

§5．从上面推导出的定理使我们有可能用特定方法对真圆κ 上的点进行排列。

设K ₁ ，K ₂ ，K ₃ ，K ₄ 是真圆κ 的任意四个不同点。将K ₁ 和K ₂ 用完全位于kk 内部的一条约当曲线（即在K ₁ 和K ₂ 之间）连接并用完全位于kk 外部的另一约当曲线连接。由于这两条包含端点K ₁ 和K ₂ 的连接曲线是连续的，它们一起形成了一条闭约当曲线。设以上述方式从K ₁ 和K ₂ 所生成的一条曲线用 表示。于是由熟知的约当曲线定理除去 的整个数平面被分割成两个区域，即曲线 的内部区域和外部区域。而就点K ₃ 和K ₄ 的位置关系现有两种可能。第一种是点K ₃ 和K ₄ 不被曲线 所分离，即它们同在 的内部或外部。第二种是点K ₃ 和K ₄ 被曲线 分离，即K ₃ 在曲线 的内部而K ₄ 在 的外部或是相反。如果用另外某种方式连接点K ₁ 和K ₂ ，使其中一条路径完全位于kk 内，另一条完全位于kk 外部，则容易看出点K ₃ 和K ₄ 相对于新得到的闭约当曲线 的位置关系，和前面所说的相同。诚然，例如第一种情形成立，两点K ₃ ，K ₄ 都在 的内部区域，并用位于kk 内部的一个路径W 连接K ₃ 和K ₄ 。此路径必留在闭曲线 的内部区域而沿其余部分终归要回到内部区域。所以我们用非常接近于全部落在kk 和 内部的 弧段的一个路径来代替路径W 位于 外部的那一部分，这一定是可能的。因此在K ₃ 和K ₄ 之间这样所产生的一个连接路径W 也完全位于kk 和 内部。从位于kk 内部的曲线 的一部分及位于kk 外部的曲线 的一部分形成一条新的闭约当曲线 ，则W 显然是在新约当曲线内部且不穿过曲线 的一条连接K ₃ 与K ₄ 的路径，即K ₃ 和K ₄ 确实不被 所分离。由相应的解释在kk 外部K ₃ 和K ₄ 也不被曲线 所分离。在第一种情形下可简单地说点对K ₃ ，K ₄ 不被点对K ₁ ，K ₂ 所分离。于是在第二种情形下也可简单地说点对K ₃ ，K ₄ 被点对K ₁ ，K ₂ 所分离。

现作关于点M 的某一旋转，它将点K ₁ ，K ₂ ，K ₃ ，K ₄ 变到点 。注意到旋转是定义为数平面上具有唯一逆的连续变换，它把kk 内部的点变到kk 内部的点，kk 外部的点变为kk 外部的点，于是可得两个点对 和 是否彼此分离取决于点对K ₁ ，K ₂ 和K ₃ ，K ₄ 是否彼此分离，也就是说，在关于点M 的旋转下，点对K ₁ ，K ₂ 和K ₃ ，K ₄ 的相关位置保持不变。

应用类似的方法我们能够推出一些定理，它们对应着有关普通数圆的周界上点对的相关位置的其他熟知事实。这定理是：

如果K ₁ ，K ₂ 被K ₃ ，K ₄ 分离，则K ₃ ，K ₄ 被K ₁ ，K ₂ 分离。如果K ₁ ，K ₄ 被K ₂ ，K ₅ 分离且K ₂ ，K ₄ 被K ₃ ，K ₅ 分离，则K ₁ ，K ₄ 被K ₃ ，K ₅ 分离。

这就带来以下结果：

真圆κ 上的点是循环排列的，也就是说，关于它上面点对的相互分离情况恰如普通数圆上点的排列情况一样。这种排列在真圆κ 关于中心M 的旋转下保持不变。

§6．有关真圆κ 的另一重要性质叙述如下：

对于真圆κ 的每一点对总存在κ 上的另一点对，而这个点对分离前一点对。

以K _∞ 表示真圆κ 上的一个确定点，并设K ₁ ，K ₂ ，K ₃ 是κ 上任意三点，而K ₂ 是否位于K ₁ 和K ₃ 之间取决于点对K ₂ ，K _∞ 是否分离点对K ₁ ，K ₃ 。

若作与以上断言相反的假定，设K 和K ′是真圆κ 上的两点且不被任意点对分离，则由所作的约定可知在K 和K ′之间没有κ 上的点，若进一步假定存在一点K ₁ 使得点对K ₁ ，K ′被点对K ，K _∞ 分离。若不是这种情况，则在以下讨论中可以交换K 和K ′的作用。其次我们选取真圆κ 的一个收敛于点K 的无穷点序列R ，并用位于kk 内部的一条曲线和位于kk 外部的一条曲线连接K ₁ 和K ′。将这两条曲线合并一起得到一条闭约当曲线 ，它将K _∞ 和K 分离因而也必将收敛于点K 的R 中的无穷多个点分离。设K ₂ 是序列R 的这些点中的一点。因为K ₂ 在K ₁ 与K ′之间而不在K 与K ′之间，则K ₂ 必在K ₁ 和K 之间。现在同样地用一条闭约当曲线 连接K ₂ 与K ′。这样可得序列R 的一点K ₃ ，它位于K ₂ 与K 之间，等等。用这样的方法我们可得一个无穷点序列K ₁ ，K ₂ ，K ₃ ，…，它们中的每个点都位于它前面一点与K 之间，并且它们收敛于点K 。

现作关于点M 的一个旋转，它使点K 变到点序列K ₁ ，K ₂ ，K ₃ ，…中的一点，记为K _i ，在这个旋转下设点K ′变到点K _i ′。由假设K 和K ′不能被任何点对分离对于点对K _i ，K _i ′同样成立。由于如此K _i ′必与K _i-1 或K _i＋1 重合或位于K _i-1 和K _i＋1 之间。于是在任何情况下K _i ′都位于K _i-2 和K _i＋2 之间，因而无穷点序列 也具有这个性质，即点序列中的每一点都位于它前面一点与K 之间。

现将证明点序列 也必收敛于点K ，事实上，如果点 有一个异于点K 的极限点Q ，从它们之中选取一点K _l ′。由于 都位于K _l ′和K 之间，这里存在一条闭约当曲线 ，它将点K _∞ 同点 分离，从而也同点Q 分离，即Q 必在K _l ′和K 之间。鉴于点K _i 和K _i ′间的对应关系可得点Q 也落在点 和K 之间，因此闭约当曲线 必将所有点K ₁ ，K ₅ ，K ₉ ，…同K 分离。但点K ₁ ，K ₅ ，K ₉ ，…不能收敛于K ，于是它必是这样了。

现在考虑点K ₃ ，K ₇ ，K ₁₁ ，…收敛于K 而点 根据什么同时收敛于K 。由于经过关于M 的旋转点K 变到K _i 而同时K ′变到K _i ′，则由公理Ⅲ必存在一个旋转，它将K 和K ′同时变到公共的收敛点K 。然而这与旋转的定义矛盾。这样就驳斥了假设而完全证明了本节开始提出的定理。

§7．由§6开始的定义如果将排除了点K _∞ 的真圆κ 作为康托尔意义上的一个有序点集，则这个集合的序型是线性连续统（序型）。

为了证明首先要确定真圆的一个可数点集S ，它的极限点形成真圆κ 自身。根据康托尔 ^（11） ，集合S 的序型是所有有理数的自然顺序型，即在集合S 的点与有理数之间可以这样建立一种对应，如果A ，B ，C 是S 的任意三点，其中B 在A 和C 之间，则对指定的三个有理数a ，b ，c ，数b 的值总在a 和c 之间。

令K 是真圆κ 的任意一点但它不属于集合S 。若A ，B 是S 中的两点，则根据K 在还是不在A 和B 之间，分别称为A 和B 在K 的异侧还是同侧。将对S 中点的这个约定转到它们对应的有理数上，我们就得到有理数集合的一个确定的戴德金分割，它是由点K 诱导出来的。令由此分割确定的无理数对应于点K 。

真圆κ 上不存在两个不同的点K 与K ′，它们能与同一无理数对应。事实上，如果作一条闭约当曲线 并设H 是κ 上位于K 和K ′之间的任意一点，因而它落于 内部，因为H 是集合S 的一个极限点，于是在S 内也必存在一点A 此点位于 内部，因而也必位于K 与K ′之间。所以，有理数a 对应于点A 就暗示着由点K 和K ′所诱导的分割是不同的。

反过来，我们将证明，对每一个无理数α 真圆κ 上存在一点与它对应。为此令a ₁ ，a ₂ ，a ₃ ，…是一个递增的数序列且b ₁ ，b ₂ ，b ₃ ，…是一个递减的数序列，它们每一个都收敛于α 。作依次对应于这些数的点A ₁ ，A ₂ ，A ₃ ，…和B ₁ ，B ₂ ，B ₃ ，…并用K 表示点A ₁ ，A ₂ ，A ₃ ，…，B ₁ ，B ₂ ，B ₃ ，…的任一极限点，点K 必须对应数α 。因为一般地讲如果作一条闭约当曲线 ，则点 ，而且也有极限点，都将位于曲线 的内部，亦即在点A _i ，B _i 之间。因此由K 诱导的分割恰是确定数α 的。

现在我们考虑任一个普通单位数圆的圆周上的点。指定这些点中的一个对应符号±∞并记作点K _∞ 。然而对其余的点对应于具有连续逐次性的全体实数且这些数依次对应真圆κ 的点。于是得到以下结果：真圆κ 的点能依次映射到普通单位数圆的周界上的点且映射是单值可逆的。

§8．为完成§4所提出的课题仅剩下去证明所得映射的连续性，即证明真圆κ 是无间隙的。为此，假定真圆κ 的点是由数平面的坐标x ，y 所确定而单位数圆的点是由从某一固定点算起的弧长t 所确定，则证明x ，y 是t 的连续函数是必要的。

现令t ₁ ，t ₂ ，t ₃ ，…是收敛于t 的一个递增或递减的序列且K ₁ ，K ₂ ，K ₃ ，…是分别对应于这些参数值的真圆κ 上的点，并令t 对应x 上一点K 。其次，令Q 是点K ₁ ，K ₂ ，K ₃ ，…的一个极限点。如果作一条闭约当曲线 ，则点 以及它们的极限点Q 必将位于 内部，即点Q 也将在K _i 和K 之间。于是对应于点Q 的参数值t 也必在t _i 和t 之间。如果Q 与K 重合，最后矛盾才能解决。因而点K ₁ ，K ₂ ，K ₃ ，…收敛于K ^* 。至此，关于参数t 的函数x ，y 的连续性得以完全证明，并得到§4提出的作为研究中第一个重要课题即下面的定理：

真圆κ 是数平面上一条闭约当曲线。

§9．现在我们已知，真圆κ 的所有点都在kk 上。反过来将有kk 上的点也全在κ 上，于是下面广泛的定理将成立：

真圆κ 上的点和kk 上的点是相同的。位于κ 内部的点也是kk 内部的点，且位于κ 外部的点也是kk 外部的点。

证明这个定理首先要证明点M ，即真圆κ 的“中心”与κ 内每一点J 能由一条不通过真圆κ 的连续曲线连接。

事实上，在数平面上过点J 作一条普通直线，称它为“数直线”，令K ₁ 和K ₂ 是这条数直线上的两点，它们是从点J 开始按两个方向与真圆κ 相交的点。因为K ₁ 和K ₂ 也是kk 上的点，它们能分别与M 用约当曲线MK ₁ 和MK ₂ 连接，这两条曲线完全在kk 内部且一定不通过真圆κ 。若这两条约当曲线之一与线段K ₁ K ₂ 相交于点B ，则弧段MB 连同线段JB 形成所要求的连接路径。另外，MK ₁ 和MK ₂ 同线段K ₁ K ₂ 一起形成一条闭约当曲线γ 。由于曲线γ 完全在数圆ζ 内部（§1）因而位于数圆 外的一点A 一定不能与γ 内的点连接而不穿过曲线γ 的一点。曲线γ 仅包含kk 内的点，kk 上的点以及κ 内的点。由于从A 开始后面各点是易接近的，仅穿过κ 上一点，它也是kk 上的一点，完全位于γ 内的区域也必在kk 内。于是在γ 内以一连续路径连接M 与J ，此路径一定不与真圆κ 相交，而是我们所要求类型的一条路径。

由此可以推出点M 在真圆κ 内部即真圆κ 的中心M 在它的内部。

由于kk 的每一点与M 也能用一条约当曲线连接，此曲线除去端点完全位于kk 内部，而且它一定不与κ 相交，kk 上的每一点必在κ 上或在κ 内部。如果存在kk 上且在κ 内的一点P ，则位于 之外的点A 不能与任意靠近P 的点连接而不穿过真圆κ 的点。然而由于κ 的每点是覆盖点，因此P 不能是kk 上的点，这是一个矛盾。于是kk 上的所有点也都是真圆κ 上的点，这样就完全证明了以上的论断。

§10．在§2里，我们借助一种可靠的作图由数圆k 引进了点图形kk 。正如§3指出的，数圆k 至少有一点在kk 上而其他点全部在kk 上或在kk 内且由§9知道kk 上的点都恰是真圆κ 上的点，前面的作图也是从数圆k 获得真圆κ 的一种手段，它是环绕数圆且与其外切的一条闭约当曲线。在这里以及今后约定，若一条约当曲线位于另一条约当曲线的内部区域且至少有一公共点，则称第一条曲线对第二条曲线内侧相切，而称第二条对第一条曲线外侧相切。

将前述方法稍加变更，即指定k 内及k 外的点交换一下它们的作用而从数圆k 能作另一个真圆。现在我们将数平面上的点叫做覆盖点，如果它们是从k 外或k 上的点以任何方式关于点M 作旋转而得到的。而所有其他点则叫做非覆盖点。若一非覆盖点与点M 能用仅含非覆盖点的一条约当曲线连接，则称此点在kkk 内。在kkk 内部点的界点称为kkk 上的点而所有其他点称为kkk 外部的点。类似于§3～§9，将能证明， kkk 上的点构成一个关于点M 的真圆，它是环绕中心M 的一条闭约当曲线，且位于数圆k 内并从内部与它相切。

§11．现在我们在数圆k 内选任意一条包含点M 在其内部区域的闭约当曲线z 来代替数圆k ，这是能够做到的。利用相同的作图法，对于曲线z 我们得到一个确定的关于点M 的真圆，它环绕z 且是一条与z 外侧相切的闭约当曲线，以及一个确定的关于点M 的真圆，它们于z 内且是一条与z 内侧相切的闭约当曲线。

还应注意每一个由约当曲线z 这样作出的真圆也能由数圆作出。我们仅需在已知的真圆内选一个数圆且它与真圆内侧相切或是一个环绕真圆与它外侧相切的数圆。对于两个都是闭约当曲线的真圆，无论它们环绕同一个数圆还是完全位于数圆内，并且都与它相切它们必有一公共点因而是恒同的。

§12．现在我们将无特殊困难可以证明一个重要的结果，过κ 内任一点P ，关于点M 的每个真圆，如同在§11中所作的真圆一样，乃是包含点M 在内的闭约当曲线。

为了证明，一方面考虑所有关于点M 的真圆，它们是闭约当曲线并且不包含（或不环绕）点P 。我们称它们为第一种真圆。另一方面考虑所有是闭约当曲线且包含（或环绕）点P 的真圆。并将它们称为第二种真圆。

首先，考虑由每个中心为M 的数圆所生成的环绕 真圆并仔细考虑由第一种真圆所产生的数圆。然后对这些数圆找一个界圆g ，即包含所有数圆的最小的一个数圆。所有小于g 的数圆则给出第一种真圆。如果由数圆g 产生的真圆γ 不经过点P ，它也就不能围绕该点。因为若点P 在γ 内，则可作一条全部在γ 内且（环绕）点M 和点P 的闭约当曲线，从它就可得到包围它的真圆。因为这个真圆确切地位于数圆g 的内部区域，则此真圆能由小于g 的数圆生成。而且它应包含点P ，这是不可能的。因为，如上面所提到的，所有关于点M 的真圆都是闭约当曲线，它们也由关于点M 的数圆产生。很明显，由g 产生的真圆是第一种真圆，它包围了第一种的其他所有真圆。

另一方面，从考察中心为M 的数圆生成的真圆且它不包围数圆，则利用类似方法能够证明存在第二种的一个真圆，它被第二种的所有其他真圆所包围。

如果这样找到的两个真界圆不通过点P ，则在它们之间的环形域内可作一约当曲线，利用所给方法，它一定能产生一个本身是闭约当曲线的真圆，但它既不是第一种也不是第二种。这是一个矛盾。因而在本节开始所述的论断得以证明。

§13．在前面已经得到以M 为中心且经过κ 内部点的真圆的重要性质，以后将转到对运动群的研究，而所有的运动是平面上关于点M 使真圆κ 变到自身的旋转。

令真圆κ 上的点依照§8的叙述有序地映射到单位数圆的圆周上的点t 。于是对每一个平面上关于点M 的旋转△ 对应着一个将单位圆上的点t 变到自身的具有唯一逆的连续变换，因由§5真圆上点的顺序在旋转下保持不变，故依§7参数值t 的顺序在旋转下也保持不变。这个变换能用公式表示为

这里△ （t ）是连续的递增或递减函数，而当自变量增加2π时，它的值也改变2π。

对于自变量t 增大函数值减小的函数△ （t ），相应的是改变真圆定向的变换，且由于对运动所采取的定义，它的定向必须保持不变，故得当t 增大时函数△ （t ）必总增大。

§14．现在提出这样一个问题，对所有关于点M 的旋转所成的群中是否存在一个旋转，在该旋转下使真圆κ 的一点A 能保持不变。设点A 对应的参数值是t ＝a ，并设它在适当旋转△ 下不变，这个旋转用公式表示为

又令B 是真圆上的任一点，它对应的参数值是t ＝b 并在旋转△ 下它改变位置。不失一般性，我们假定b <a 。

Δ （t ）及它的逆函数△ ^-1 （t ）随变量t 的增大而增大。由于△ （a ）＝a ，我们能够逐步推出所有的值能用乘幂符号表示为

它们都小于a 。当△ （b ）>b 时，则值

构成一个单调递增数序列。当△ （b ）<b 时对于值序列

则同样成立。

从这些事实可以断定在第一种情形下对b 连续实施旋转△ 和在后一种情形△ （b ）具有负指数的乘幂符号两者必趋于一个极限值g ，而g 或在a 和b 之间或与a 重合。如果g 对应于真圆κ 上的某点G ，则△ 具有正或负指数的方幂组成运动，在这些运动下点B 最后要变到任意邻近G 的那些点，同时将G 的任意小邻域内的点仍保留在G 的任意小邻域内。因而，由公理Ⅲ必存在将B 变到G 且同时保持G 不变的一个运动。但这与运动定义相矛盾。因此保持点A 不变的旋转变换△ 必然保持真圆κ 的所有点不变，即对真圆κ 来说它是恒同变换。

§15．从真圆的定义以下事实是显而易见的：

总存在一个关于点M 的旋转将真圆κ 的任一已知点O 变到它上面另一已知点S 。

§16．现在将导出有关真圆到自身的运动群的其他性质：

设O ，S ，T ，Z 是真圆κ 上四个点，使得经绕点M 的旋转将O 变到S 而T 向Z 移动，这样Z 的位置由点O ，S ，T 唯一决定。将O 固定让S 和T 沿真圆移动，则由S 和T 的连续变动也产生Z 的连续变动。

为了证明这个论断，选择收敛于点S 的一个无穷点序列S ₁ ，S ₂ ，S ₃ ，…及收敛于点T 的无穷点序列T ₁ ，T ₂ ，T ₃ ，…。用△ ₁ ，△ ₂ ，△ ₃ ，…表示关于点M 的旋转，经过这些旋转O 变到S ₁ ，S ₂ ，S ₃ ，…并设点T ₁ ，T ₂ ，T ₃ ，…依次经旋转△ ₁ ，△ ₂ ，△ ₃ ，…变为点Z ₁ ，Z ₂ ，Z ₃ ，…，于是必须证明点Z ₁ ，Z ₂ ，Z ₃ ，…收敛于Z 。设Z 是点Z ₁ ，Z ₂ ，Z ₃ ，…的一个极限点。由公理Ⅲ，则存在一个关于点M 的旋转将O 变到S 且同时将T 变到Z 。如此看来Z ^* 被唯一决定且与Z 恒同。

§17．在§14～§16，我们已经得到将真圆κ 变到自身的所有旋转作成的群具有以下性质：

1．除恒同变换外，不存在关于点M 的旋转使真圆κ 上一点保持不变。

2．如果O ，S 是真圆κ 的任意两点，则存在一个关于点M 的旋转将O 变到S 。

3．在关于点M 的一个旋转下O 向S 移动同时T 变到Z 。如果S 和T 在κ 上连续改变它们的位置，则由O ，S ，T 唯一地确定点Z 在κ 上的一个连续变动。

这三条性质完全决定了变换△ （t ）的群的结构，而这些变换对应着真圆到其自身的运动。于是有下述定理：

真圆κ 到自身的所有运动组成的群，其中的运动是关于点M 的旋转，与数圆到自身的关于点M 的普通旋转所成的群同构。

§18．假定将真圆κ 上具有参数值0的点O 变到具有参数值s 的点S 的关于点M 的旋转由以下变换公式表示：

取△ （t ，0）＝t 。于是根据旋转群的已有性质看到△ （t ，s ）是变量t ，s 的单值连续函数，这时也得到，s 由在2π倍数以内的两个对应值t 和t ′所唯一确定。上述函数△ （t ，s ）在t 是常数s 增加时或仅是单调递增或仅是单调递减，且因t ＝0时，它变为s ，必出现第一种情形。现

且由于

于是有

当t 由0增到2π时，t 的单变量函数△ （t ，t ）（>t ）在0到4π上具有单调递增性质。故即得下述结论：

对给定的任意正数t′ ≤2π，有且仅有一个正数t 使得

t<t ′。参数值t 对应真圆上的一点，使之经关于点M 的旋转点t ＝0移到点t 且同时点t 移到点t ′。

设对使

的t 值用 表示；而使

的t 值用 表示；使

的t 值用 表示，……；此外令

这里a 是整数，n 是大于或等于1的整数。且令

函数φ 对于分母是2的方幂的所有有理数都这样一致的规定。

若σ 是小于1的一个任意正变量，今将σ 展成二进位分式的形式

这里所有的z ₁ ，z ₂ ，z ₃ ，…表示数字0或1。因为序列的数

非减且每项都小于或等于φ （1），它们趋向于一个极限，记为φ （σ ）。函数φ （σ ）是随自变量增加而单调递增的。以下将证明φ （σ ）也是连续的。倘若φ （σ ）在一点确实不连续，

则两个极限

必不同，因而对应于参数

的无穷点序列与对应于参数

的无穷点序列，它们必收敛于不同的点。将点 变到点 的旋转同时将点 变到点 ，且因数序列 是单调递减而这些参数所对应的点序列必收敛于一点A ，于是由经常运用的基于公理Ⅲ的论断，上述的两个无穷点序列也必收敛于同一点。

因函数φ （σ ）是单调递增且连续，故它有一个单值且连续的逆。

将点t ＝0变到点 的绕点M 的旋转同时也将点 变到点 ，其中b _m 是某整数。因当n ＝∞时， 收敛于φ （σ ）且同时 收敛于 。由公理Ⅲ存在着将点 变到 且同时将点 变到点 的一个旋转，亦即

且因φ 是连续函数，则对于任意参数τ ，σ 有

由已证结果，在变换公式

中，对t ，t ′，s 如果引进新参数τ ，τ ′，σ 并利用具有唯一逆的某函数φ 连同

则旋转公式可用新参数表成

这个定理证明了§17中所述论断的正确性。

将参数ω ＝2πσ 来代替σ 且将ω 称为真圆κ 上点O （σ＝ 0）与点S （即σ ）之间的角或弧长。而将点O （σ ＝0）变到点S （即σ ）的旋转称为真圆κ 到自身经角ω 的一个旋转 。

§19．由§17中定理的证明，有关真圆到自身的旋转的研究业已完成。考虑到§11和§12可以看到，所利用的结论和对真圆证明的结果对于含在κ 之内关于点M 的所有真圆也都是正确的。

由平面上绕定点M 的旋转生成所有点的变换群将转到其后并依次证明下述定理。

已知关于点M 的真圆μ 是包含点M 的闭约当曲线，则除去恒同变换外，不存在关于点M 的平面旋转变换使真圆μ 上每点保持不变。

为了证明，令关于点M 且保持μ 上每点不变的一个旋转用M 表示。首先作与论断相反的假定，在μ 上存在着任意靠近点A 的点，而这些点经过旋转M 改变了它们的位置。作关于点A 的真圆α ，并经过在旋转M 下变动位置的一点，即该真圆α 是足够小，为了按上面要求它满足§14中的定理。由§12可知这样做是可能的，令B 是此圆α 与μ 的交点，则旋转M 立即可描述为真圆α 到自身的一个旋转且保持点B 不变。然而由§14，在该旋转下α 上的所有点都保持不变。这就出现矛盾。因此第一个假定不成立。

现作关于点M 的闭约当曲线的一个集合，其中包括μ ，并使集中的一条或完全包含或完全围绕另外的曲线，因此过数平面的每一点有且仅有集中的一条曲线通过。现作与上述论断相反的假定，在此集合中有一条位于μ 内或μ 外的曲线λ ，使得在μ 和λ 之间的环形域中的所有点在每一个旋转M 下保持不变，而任意靠近曲线λ 存在着在每一旋转M 下都变动的点。

令A 是λ 上一点而任意邻近该点的都是经旋转M 可变动的点。作关于点A 并经过一个可变动点的一个真圆α ，并且它是足够的小以便对它可应用§14中的定理。由于这个足够小的真圆在任何情况下都经过环形域的部分区域而该区域在运动M 下保持不变，运动M 能立即被描绘成真圆α 到其自身的旋转，在此旋转下α 的无穷多个点保持不变。然而，由§14α 的所有点在M 下都必保持不变，于是出现了矛盾，这就证明了在所有旋转M 下平面上的点都保持不变。

§20．现在作出以下重要论断：

每个真圆是一条闭约当曲线。关于任一点M 所有真圆的集合填满整个平面因而关于M 的每个真圆或包含或围绕每一个其他真圆。关于点M 平面的旋转△ ［ω］的全体能表成变换公式的形式

其中x ，y 和x ′，y ′都是平面内点的坐标且f ，g 是三个变量x ，y ，ω 的单值连续函数。此外，对每点x ，y ，就自变量ω 来讲函数f ，g 的最小联合周期是2π，即真圆上的每一点是一次且仅一次地从点（x ，y ）及从0到2π范围内每次ω 的取值而得到。最后对旋转角为ω ，ω ′的两个旋转的合成以下公式成立

§21．为证明所述论断，首先仍要考虑§3到§18所研究的关于点M 的真圆κ ，它是一条闭约当曲线并考察该圆到其自身的旋转。按§18引进的角ω ，对于0到2π之间ω 的一个特定值唯一确定真圆到自身的一个运动。然而，对真圆到其自身的每个旋转仅对应一个确定的关于点M 平面的旋转，因为按照§19由真圆κ 上所有点保持不变整个平面上所有点都保持不变。所以在§20的变换式中所给的函数f ，g 对关于点M 的一个平面上的旋转来讲是x ，y ，ω 的单值函数，且对于ω 而言，它的周期是2π。

其次将证明f ，g 是x ，y ，ω 的连续函数。为此，令O 是κ 上的任意一点。且令ω ₁ ，ω ₂ ，ω ₃ ，…是收敛于定值ω 的无穷数序列，且T ₁ ，T ₂ ，T ₃ ，…是收敛于某点T 的平面上的无穷点序列。利用从点O 经旋转角ω ₁ ，ω ₂ ，ω ₃ ，…作的旋转所产生的点以S ₁ ，S ₂ ，S ₃ …表示，从点T ₁ ，T ₂ ，T ₃ ，…分别又经过旋转ω ₁ ，ω ₂ ，ω ₃ ，…所产生的点分别以Z ₁ ，Z _2， Z ₃ ，…表示。最后，令点O 和点T 经旋转角为ω 的一个旋转所产生的点分别以S 和Z 表示，则证明点Z ₁ ，Z _2， Z ₃ ，…收敛于点Z 就足够了。

因点T ₁ ，T ₂ ，T ₃ ，…收敛于点T ，可以确定一个包含所有点M ，T ，T ₁ ，T ₂ ，T ₃ ，…在内的约当区域G ，对于这样的约当区域作一个将点O 移到点S 的旋转。令以这种方式由G 构成的约当区域用H 表示。H 包含点M 和点Z 。最后，作一条包含整个区域H 在内的闭约当曲线α ，也就是说约当曲线α 包含区域H 且H 中的点不在该曲线上。

我们将证明点序列Z ₁ ，Z _2， Z ₃ ，…中的点仅有有限个落在α 的外部，事实上，假定点序列中有无穷多个点 落在α 的外部，则点M 与点 可由G 内的一条约当曲线r _h 连接，并对曲线r _h 作一旋转角为 的旋转。以这样方式得到的曲线连接了点M 与点 ，因而与曲线α 相交于某点B _h ，令A _k 是r _h 上的一点，此点经旋转角为 的旋转变到B _h 。因所有点A ₁ ，A ₂ ，A ₃ ，…都在G 内且所有点B ₁ ，B ₂ ，B ₃ ，…都在α 上，就存在一个指标的无穷序列h ₁ ，h ₂ ，h ₃ ，…，使得 收敛于一点A ，此点落在G 内或G 的边界上，且同时 收敛于α 上的一点B 。而点S ₁ ，S ₂ ，S ₃ ，…收敛于点S 。由公理Ⅲ必存在关于点M 的一个旋转，它将点O 移到点S 且同时将点A 移到点B 。然而这是不可能的。在这样的旋转下点A 必须变到H 内或H 边界上的一点，但B 是曲线α 上的一点而α 完全包含区域H 在它内部。

这样就看出，点集Z ₁ ，Z ₂ ，Z ₃ ，…，必全部落在某约当区域内。

现令Z 是点集Z ₁ ，Z ₂ ，Z ₃ ，…的一个极限点。因点序列S ₁ ，S ₂ ，S ₃ ，…收敛于点S ，由公理Ⅲ存在着关于点M 的一个旋转，在此旋转下点O 变到点S 且同时点T 变到点Z 。然而，因为在关于点M 且将O 变到S 的旋转下，T 必变为Z ，考虑到上面证明的函数f ，g 的单位性，Z ^* ＝Z ，亦即点集Z ₁ ，Z ₂ ，Z ₃ ，…，仅积聚于一点Z 。于是证明了函数f ，g 关于x ，y ，ω 是连续的。

我们将位于圆κ 内或外的平面上任一点P 的坐标代入函数f ，g 中的x ，y 。这样得到关于ω 的函数f （ω ），g （ω ）不能有任意小的联合周期。因它们是ω 的连续函数，于是它们必都是常数；但另一方面在关于点M 的所有旋转下，点P 应保持不变，它与公理Ⅱ矛盾。因此，函数f （ω ），g （ω ）的极小联合周期必为 的形式，这里n 是正整数。故得过点P 的真圆以公式表为

这里ω 的取值是从0到 。这个曲线是闭的且无重点。因而它表示过点P 的真圆，对平面作一个旋转角为 的旋转，则过P 的真圆上的所有点都保持不变，且由§19可知平面上所有点必保持不变，然而真圆κ 上的点保持不变仅当n ＝1。因此，§20中所述定理的论断得以完全证明。

§22．现在容易看到以下结果的正确性：

若在一平面运动下任意两点保持不变，则平面上所有点保持不变，即此运动是恒同的。

经过一个运动（指两个旋转）平面上每一点可变到平面上其他任一点。

第一个结论由§20的定理立即可得。

第二个结论由以下事实推出，关于两点中的每一个点作真圆且通过另外一个点，这两圆必相交。

§23．下面最重要的课题是在这种几何中引进真直线概念且对这种几何的研究导出必要的性质。

为此，引进以下术语：如果A ，B 和A ′，B ′是两对象点，由一个运动使得A 变为A ′且B 变为B ′，则称（真）线段AB 合同于（记为≡）（真）线段A ′B ′。此外，如果存在一个运动，将圆必和真圆本身分别变为另一个真圆的圆心和它自身，则称此两圆相互合同。

关于点M 的半旋转H 是指旋转角为π的一个旋转，即当重复实施这个旋转结果是恒同的。如果A ，B ，C 是三个点，使得经过关于点B 的半旋转A 变到C ，且由这个旋转C 变到A ，则称B 是线段AC 的中心。

如果一点C 在关于点A 且过点B 的真圆的内部或外部，则分别称线段AC 较小于或较大于线段AB 。为了用类似方法对任意线段或圆定义“较小于”和“较大于”的概念，将它们实施这样的运动，使得在该运动下，线段的端点或圆的中心分别变到相同点。

§24．一直线段AC 至多有一个中点。假定AC 有两个中点，用H ₁ 和H ₂ 分别表示关于这两个中点的半旋转，则积 表示保持点A 和点C 不变的运动。这样由§22，得到 是恒同的且用符号1表示，于是有

两个中心重合。特别地，可导出下述结果：

如果两个线段合同，则它们的一半也合同。

§25．为了进一步的研究需要下述引理：

令点A ₁ ，A ₂ ，A ₃ ，…收敛于点A 且点M ₁ ，M ₂ ，M ₃ ，…收敛于点M 。如果经关于点M _i 的半旋转点A _i 变为B _i ，则点B ₁ ，B ₂ ，B ₃ ，…收敛且趋于一点B ，此点是由A 经关于点M 的半旋转产生的。

可以找到一个约当区域，使所有点B ₁ ，B ₂ ，B ₃ ，…都落在其内部。应用在§21中对点Z ₁ ，Z ₂ ，Z ₃ ，…的同样论述就可证实这一点。

现令B 表示点B ₁ ，B ₂ ，B ₃ ，…的一个极限点，由公理Ⅲ必存在一个运动，将三点A ，M ，B 分别变到三点B ，M ，A 。也就是说，B 是由A 经关于M 的半旋转而产生，而B 也是由A 经关于M 的半旋转产生的，故有B ^* ＝B ，因而证明得以完成。

§26．令M 是某线段AB 的中点。我们将证明较小于AB 的每一线段AC 也有一个中点N 。

为此，作由点A 到点M 的任一连续曲线r ，且对r 上的每一点M ′，确定一点B ′，使得M ′成为AB ′的中点。于是，从§25所证的引理可以推出，点B ′的轨迹是一连续曲线r ′。假定沿曲线r 点M ′趋向于点A ，则曲线r ′终止于点A 。如果不是这种情形，设M ₁ ，M ₂ ，M ₃ ，…是r 上且收敛于点A 的无穷点序列，且B ₁ ，B ₂ ，B ₃ ，…是r ′上相应的点。设B ₁ ，B ₂ ，B ₃ ，…有异于点A 的一个极限点A ，则可推测，存在一个运动，它使任意趋近于A 的某些点仍任意趋近于A 且同时使A 任意趋近于A ，则根据公理Ⅲ，由某旋转，A 应保持不变但同时变到A ^* ，这无论如何是不可能的。

由于假设AC 较小于AB ，作关于A 且过C 的真圆必与连接A 与B 的连续曲线r ′相交于某点B ′。在曲线r 上对应于该点的点M ′是真线段AB ′的中点，又因AC ≡AB ′，则线段AC 的中点N 可由M ′利用关于A 适当的旋转而获得。

利用关于中点N 的半旋转，线段AC 变到CA ，由上面所证的定理可推得：

线段AC 恒合同于线段CA ，如果线段AC 较小于线段AB ，这是§26开始所假设的。

同时能够看出，若点C ₁ ，C ₂ ，C ₃ ，…趋向于点A ，则线段AC ₁ ，AC ₂ ，AC ₃ ，…的中点N ₁ ，N ₂ ，N ₃ ，…也趋向于点A 。

§27．为了进一步研究有关真圆相切的某些定理是必要的，且首先要注意的是，两个彼此合同的且仅外切于一点的圆的作图。

为此，选取一个如此小的圆κ ′，使得在其内部不容有合同于§26中所假设的线段。在§11中的定理指出这是可能的。因为点A 和点B 能被不同的移动而趋近于点M 。令κ 是在κ ′内与它同心的圆。在圆κ 上任取两点，且以它们为心，作两个如此小且合同的圆α 和β ，使得位于α 内而在κ 上的任意二点在κ 上的点有序的意义下，永不能被位于β 内而在κ 上的任意两点所分离。且令所选的圆α 和β 能够如此小，使得它们全部位于圆κ ′内。这样，在α 内而在κ 外取一点P ′，并在β 内且在κ 内取点R ′，以P ′和R ′为心，作两个合同的且如此小的圆π′和ρ ′，使得π′全部落在α 内而在κ 外，而ρ ′全部在β 内且在κ 内。作关于α 的中心的旋转，使圆π′变到与圆κ 相外切的圆π″。而这些切点形成一个集，以T 表示。

附图　17

因根据圆α 和β 的选择，在κ 上没有集S 中的两点能被集T 中的一对点所分离，于是，可利用关于圆的中心的平面旋转将κ 上集S 的最外点之一同κ 上集T 的最外点之一覆盖，通过这种方式S 中其他的点都变到不同于T 中的点。由这个旋转圆π″变到与圆ρ 相切，在这种方式下重合的点C 是唯一的切点。令π表示新位置的圆π″并用P 和R 分别表示π和ρ 的中心。

现将证明切点C 必是两个中心P 和R 间的中点。事实上，考虑到κ ′的选择，线段PR 必小于定线段AB 。因此，由§26可知PR 有一中点，记为C 。于是，由关于C 的半旋转，两圆π，ρ 中的每一个变到另一个。因点C 是两个圆π和ρ 的公共点，所以在这样的半旋转下，它也应变到两个圆π和ρ 的公共点中的一个。因而，在这个半旋转下应保持不变，因此在完成这旋转时它与点C ^* 必重合。

由上面所证的定理同时得到下述结论：

与圆π外切于点C 的圆ρ 是由π经绕π上一点C 的旋转而得到。除去ρ 不存在其他的圆它与π合同且与π外切于点C 且仅切于点C 。

§28．此外，下述定理成立：

如果任一圆ι 包含于圆π且与它相切，则仅切于一点。

为了证明起见，假定Q ，Q ′是圆ι 和π的两个不同切点。作关于Q ′的半旋转，在这半旋转下，π变为圆π′且与π仅相切于点Q ′，并且ι 变为圆ι ′，它位于π′内因而全部在π外。两圆π和π′仅于点Q ′相切。现作关于圆π的中心的旋转，经该旋转Q 变为Q ′，由ι 所生成的圆ι″ 完全落在π内，因而也在ι ′外，ι″ 与ι ′仅相切于点Q ′。于是有两个圆ι ′和ι″ 都与它们合同的圆ι ′外切于点Q ′且仅切于点Q ′。这与§27中定理相矛盾。

如果以较小的圆来替代π和ρ ，§27和§28所述的结论仍保持正确。

附图　18

§29．令P 是§27所作圆π的中心且Q 是π上一点。此外，令O 是任意一点。我们采用§26末的推论和§20中的定理，如同§27可以确定如此靠近O 的一点E ，使得以线段OE 的中点M 为心或关于M 通过O 和E 所作的圆ι 的内部不存在与PQ 合同的线段。对每一个点E ′，如它比E 更靠近O ^（12） ，并作相应的圆ι ′，则上述论断也同样成立。

于是有下述定理：

以OE （或OE ′）的中点M （或M ′）为心的圆ι （或ι ′）完全包含于以O 为心且过E （或E ′）的圆内，而且它们仅在点E （或E ′）相切。

为此，首先作关于O 的圆ω ，使它包含圆ι 且同时与ι 相切。该圆ω 必较小于圆π。否则，作关于O 、合同于π的圆必落在圆ι 内部。因而，在ι 内应存在与PQ 合同的线段，这是不可能的。根据§28所证定理，圆ω 与ι 仅能有一个切点，令它为E ₁ 。若E ₁ 不同于E ，作关于M 使E ₁ 趋于0的一个旋转，在这旋转下O 移到圆ι 上异于点E ₁ 的一点E ₂ 。因线段OE ₁ 合同于E ₂ O ，因而也合同于OE ₂ ，则E ₂ 也必是圆ω 上的一点。这与以下事实相矛盾，E ₁ 是两圆ω 和ι 的仅有公共点亦即圆ω 经过点E ，于是论断得证。

附图　19

§30．在下面的论述中，首先利用§29中所作线段OE ，并指定数值0和1分别对应点O 和E 。然后作OE 的中点且指定它对应数值1/2，于是线段（0，1/2）和（1/2，1）的中点分别对应数值1/4和3/4。因而指定线段（0，1/4），（1/4，1/2），（1/2，3/4），（3/4，1）的中点分别为数值1/8，3/8，5/8，7/8等。此外，作整个线段（0，1）关于点O 的半旋转且一般指定数值﹣a 对应的点是由对应于数值a 的点所产生。然后作关于点1的一个半旋转且一般指定数值2-a 对应的点是由对应数值a 的点所产生。这样交替实施关于点O 和点E 这样的半旋转，并以数来对应新产生的点，直到每一个分母为2的方幂的有理数a 被指定对应一个确定点为止。

§31．从这个对应不难了解以下规则：

通过绕数a 所对应的点的半旋转，每点x 变到点2a -x 。因此，若作关于点O ＝0的半旋转，然后作关于点a 的半旋转，则每点x 变到点x ＋2a 。

§32．为建立由数所对应的点之间的顺序及比较介于这些点之间的线段，将采用§29中所述有关切圆定理，方式如下：

以点O 为心，过点1/2的圆完全包含以点1/4为心，过点1/2的圆，而它完全包含以点1/8为心，过点2/8＝1/4的圆及以点3/8为心，过点4/8＝1/2的圆，这样所得的两个圆依次包含以点1/16为心，过点2/16＝1/8，以点3/16为心，过点6/16＝3/8，以点5/16为心，过点6/16＝3/8及以点7/16为心，过点8/16＝1/2的圆等等，于是我们可以看到，线段（0，1/2）大于所有形如（0，a ）的线段，只要a 是一个分母为2的方幂且其值大于1/2的正有理数。

附图　20

而且，以点O 为心，过点1/4的圆包含以点1/8为心，过点2/8＝1/4的圆，而第二个圆本身包含以点1/16为心，过点2/16＝1/8的圆及以点3/16为心，过点4/16＝1/4的圆。这样所得到的圆依次包含更小的圆，其中心分别为点1/32，3/32，5/32，7/32等等。因此，可以看到线段（0，1/4）大于所有形如（0，a ）的线段，只要a 是一个分母为2的方幂且其值小于1/4的正有理数。

以下考虑以点O 为心，过点1/8的圆，它包含以点1/16为心，过点2/16＝1/8的圆并且它又依次包含更小的圆，其中心为点1/32，过点2/32的圆等等。因此，看到线段（0，1/8）大于所有形如（0，a ）的线段，只要a 是一个分母为2的方幂且其值小于1/8的正有理数，将此过程继续下去，我们得到下面的一般结果：

如果a 是一个分母为2的方幂且其值小于1/2 ^m 的有理数，则线段（0，a ）总小于线段（0，1/2 ^m ）。

§33．现要依次证明下述引理：

对应于数1/2，1/4，1/8，1/16，…的点收敛于点O 。

否则，因线段（0，1/2），（0，1/4），（0，1/8），（0，1/16），…是单调递减，点1/2，1/4，1/8，…必在以点O 为心的真圆κ 上有它们的极限点。于是令 是收敛于κ 上一点K 的点序列，且令点 收敛于一个极限点K 。由§25中定理可以得到K 应是线段OK 的中点。由§27末所得结果，这与K ^* 也在圆κ 上的事实相矛盾。

§34．设a ₁ ，a ₂ ，a ₃ ，…是分母为2的方幂的正有理数。如果无穷数序列a ₁ ，a ₂ ，a ₃ ，…收敛于0，则与其相应的点序列也收敛于点0。

为此，我们选整指数n ₁ ，n ₂ ，n ₃ ，…，使得

且数序列 收敛于0。因由§32定理，点a ₁ 落在以O 为心，过点 的圆内，且由§33所证引理，以O 为心，分别过点 的各圆收敛于0，论断立即得证。

§35．最后以下定理成立。

设a ₁ ，a ₂ ，a ₃ ，…是分母为2的方幂且收敛于某一实数a 的一个有理数的无穷序列，则对应的点序列a ₁ ，a ₂ ，a ₃ ，…也收敛于某个确定点。

为此，作相反假设，如果对于点a ₁ ，a ₂ ，a ₃ ，…存在两个不同的极限点V ′和V″ ；令点a _1′ ，a _2′ ，a _3′ ，…收敛于V ′而点a _1″ ，a _2″ ，a _3″ ，…收敛于V ″。根据§31中所指出的对于每个点a _k 存在着由两个半旋转所组成的一个运动。它将点a _i′ 变到点 ，同时将点a _i″ 变到点 ，在指标增加情况下数 与数 一样都能任意地趋于0，于是根据§34的定理能够看出存在一个运动，它使与V ′任意靠近的点且同时也与V ″任意靠近的点都任意地靠近于点O 。利用基于公理Ⅲ的一个常用的结论即知这是不可能的。

§36．若将点序列a ₁ ，a ₂ ，a ₃ ，…的收敛点以数a 表示，则每个实数对应着平面上的一个确定点。所有这些点的集合称为真直线，因此真直线可被理解为点的集合，它是由两个点O ，E 通过重复取中点，进行半旋转及由这种方式产生的所有点的邻近的全部极限点所组成。从这些真直线的运动而产生的点的一切集合也称为真直线。每条真直线被它上的每一点划分为两条射线（或半线）。

§37．利用§25中的引理不难看到在关于真直线上任一点a 的半旋转下，点x 变到点2a -x 。在完成关于点O 和点a 的两个半旋转时，点x 变到点x ＋2a 。

由§35中定理不难推出即使a ₁ ，a ₂ ，a ₃ ，…是收敛于a 的任意数，则它们的对应点a ₁ ，a ₂ ，a ₃ ，…总收敛于对应点a ，即真直线是连续曲线。

§38．假定存在两个数a 和b ，它们表示真直线上同一点P 。点 是线段（a ，b ）的中点且必与点P 重合。同样地，对两个线段 和 的中点即点 和 也是成立的。由重复取中点不难看出凡形如 的所有点都与点P 恒同，其中A _n ，B _n 是其和为2ⁿ 的正整数。由§37得到，在数a 和数b 之间的全体实数都对应于直线上同一点P 。这个矛盾的说法表明真直线没有重点。同时也能看出真直线不能重回到它的自身。

§39．两条直线至多有一公共点。

事实上如果它们有两个公共点A 和B ，并设这两点在一直线上对应着数a 和b ，而在另一直线上对应着数a ′和b ′，则由§24可知两个中点 和 应互相重合。如§38通过重复取中点，用类似的方式能够推出，a 和b 之间的所有点或a ′和b ′之间的所有点都在这两条直线上，因而这些直线是恒同的。

§40．真直线和关于其上任一点O 的每个圆相交。

事实上，作相反假定仅有两种可能情形。或存在关于点O 的一个圆κ ，真直线g 与它相交而与关于点O 围绕κ 的圆都不交；或存在一圆κ ，g 与κ 不交而与关于点O 位于κ 内的所有圆都相交。

因根据真直线g 结构的性质，g 总能从它的每点延伸，且如§38所述它能没有重点。于是在第一种情形中存在着关于点O ，在κ 内的一个圆，g 与该圆相交于在O 同侧的两点A 和B ，其中B 是在g 的延长线上在A 之后且在κ 内非常靠近于A 的一点。作关于点O 的一个旋转，它将点A 变到点B ，则直线g 变为另一直线，它与g 不仅交于O 也交于B 。根据§39所证的定理这是不可能的。

在第二种情形下令K 是与直线g 任意靠近圆κ 上的一点。作关于点K 小于κ 的真圆π 且与g 相交于一点M 。作关于点M 大于π 而小于κ 的圆π。因圆π大于圆π^* ，π就包含了点K ，又因π小于圆κ ，由所作的假定连同上面业已证明的命题表明过M 的直线g 仍位于π内，从它的一个方向或另一方向延长，g 过π上一点而离开π且不回到π。然而，因假定g 是任意靠近位于π内的点K ，则它必包含点K 。这和现在的假设矛盾。

因为关于一点所有圆的集合无间隙地覆盖了全平面，由前所述也可看出，这种平面几何的两个点总能以一条真直线连接。

§41．现在仅需证明在这种几何中合同公理成立。

为此，选择一个确定的真圆κ 并对κ 上的点按照§18引进参数ω 来表示。若ω 取值由0到2π，则真圆κ 将给予一个定向。由这个参数的引进对于与κ 合同的每个其他真圆也将得到一个确定的定向，如按§22由连续实行两个旋转将已知圆的中心与圆κ 的中心相合而得到的一个定向。因为根据本文开始对旋转的定义不可能按相反的定向使圆κ 与它本身重合。于是对每个圆诚然存在一个确定的定向。

现从同一点M 引两条射线，而它们不能构成一条真直线，作一个关于M 合同于κ 的圆，并固定由射线将圆所划分的一部分，使这部分对应小于π的参数区间。于是暗示定向的规定是沿定弧从二射线之一到另一条。二射线分别叫做它们所成角的右侧边和左侧边，而角的取值在参数区间（<π）内。由运动的定义于是可得关于两个三角形的第一合同公理有如下形式：

若对两个三角形ABC 和A ′B ′C ′以下合同式

成立，且AB ，A ′B ′和AC ，A ′C ′分别对应 和 的右侧边和左侧边，则合同式

恒成立。

§42．在§30～§40里已定义了真直线并导出了它的性质有两种情形必须划分。

第一种情形，假定过一点仅存在一条直线与已知直线不相交（平行公理）。于是对这个平面来讲，在本书正文（第一章）所建立的全部平面公理除合同公理Ⅲ₅ 在§41所取较狭形式外全都成立。即使采用合同公理的这个较狭形式，也必然能得到欧几里得平面几何（参阅附录Ⅱ及第一章）。

第二种情形，假定过每一点A 存在两条射线，它们不能形成同一条直线且与一直线g 不相交，而对始于点A 且位于上述两射线所成角空间内的每条射线与g 相交。如是A 位于g 之外部。

借助于连续性，不难得到，对于从一点A 引出而不能形成同一直线的任意两条射线，总对应着一直线g ，它与这两条射线不相交，但与从A 引出位于二已知射线所成角空间内部的其他每条射线相交。在这种情况下，就得到了鲍雅义-罗巴切夫斯基平面几何，即使采取公理Ⅲ₅ 的较狭形式，借助我的“端点”算术计算 ^（13） 是能够证明的。

在结束本文时，我要指出现在对几何的论述和我在本书正文中试图阐述的几何基础之间存在的独特差异。在那里公理的排列，连续性公理是放在公理中的最后一个。于是自然地会产生这样的问题，在什么范围内初等几何中熟知的定理和证明与连续性无关。然而在现在的研究中则相反，由于平面和运动的定义，连续性需放在公理中的首位，因而在这里最重要的工作莫过于决定条件的最少个数通过广泛地利用连续性去获得几何的基本图形（圆和直线）以及它们对这种几何结构的必要性质。事实上，目前的研究已表明，公理Ⅰ—Ⅲ所提出的要求已经足够。

1902.5.10　格丁根。

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（1） 对于下面几何的发展纲要，与本书正文的纲要相比较，其特征可参看本篇文章的结尾。

（2） Lie-Engel，《变换群的理论》（Theorie der Transformationsgruppen）卷3，问题5。

（3） 我相信通过以下的研究，能够同时回答有关群论的一般问题，见《数学问题》（Göttinger Nachrichten, 1900）第五个问题，关于平面运动的特殊情形。

（4） 关于平面较广形式的定义，可与我的《几何基础》（Göttinger Nachrichten, 1902）相比较，在那里给出平面更一般的定义：

平面是以点为对象的集合。每一点A 确定包含该点的某些子集，并将它们叫做点的邻域。

一个邻域中的点总能映射到数平面上某约当区域，在此方式下它们有唯一的逆。这个约当区域称为邻域的象。

含于一个邻域的象之中而点A 的象在其内部的每个约当区域，仍是点A 的一个邻域的象。若给同一邻域以不同的象，则由一个约当区域到另一个约当区域之间的一一变换是连续的。

如果B 是A 的一个邻域中的任一点，则此邻域也是B 的一个邻域。

对于一点A 的任意两个邻域，则存在A 的第三个邻域，它是前两个邻域的公共邻域。

如果A 和B 是平面上任意两点，则总存在A 的一个邻域它也包含点B 。

依我看来，在二维情形下，这些要求包含了以下概念的严明定义，黎曼和黑姆霍尔兹称它是多重拓广流形，而李称为数流形，而且所有他们的研究都是在这个基础上进行的。对于拓扑的严格公理化的展开他们也能以它作为基础。

采用上面关于平面的狭义定义，显然排除了椭圆几何，因为它的点不能映射到位于数平面的有限区域内的点在某种意义上是与公理之一相符合。然而，如果我们采取平面概念的较广形式，在讨论中认识这种改变的必要并不困难。

（5） 这个假定包含在李的要求中，即运动群由无穷小变换所生成，相反的假定（即反演可能性的假定）主要便于证明，因为在这种情形下，“真直线”就可直接定义为点的轨迹，而这些点是在改变定向且具有两个不动点的变换下保持不变。

（6） 本文中，“真圆”的表示指出它是以这样的方式确定的图形。并将证明它同构于数圆。对表示“真直线”和“真线段”可相应地阐明。

（7） 同李所假定的一样，对于充分小的邻域假定满足公理Ⅲ就够了。在我的论证中，可作某些变更使在那里用时仅需较狭的假设。

（8） “运动不能使两点间相互任意靠近”这是1901年在格丁根Ges. d. Wiss．的一个纪念会议上，在我的报告中作为一个特殊公理的推论提出的。留待研究的是在什么范围或在包含此推论在内的哪些要求下，上面公理Ⅲ能被代替。

（9） 参见A. Schönflies所提出的有类似目的的一个有趣的短评，“Über einen grundlegenden Satz der Analysis Situs”, Göttinger Nachrichten, 1902，有关进一步的说明和资料在Berichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung，补充的卷Ⅱ（1908），158页和178页。

（10） 在这上下文里，极限点是指习惯上叫做的聚点。

（11） Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre，Math．Ann．卷46，§9。对于本文的其他结论，可参照§11。

（12） 选择关于O 的圆α 在其内部不存在合同于PQ 的线段。以E 表示该圆的一个界点。该圆内的每一点及每个界点同O 相连确定一个线段，它的中点M ′必在α 内，以M ′为心过O 的圆和以O 为心过M ′的圆是合同的。

（13） 参看附录Ⅲ我的文章“鲍雅义-罗巴切夫斯基几何的新发展”。为了利用连续性及回避有关等腰三角形底角相等定理的一个应用，在那里所引的论据应作适当的修改。为得到端点加法定理可以认为加法作为平面旋转的极限情形当旋转点沿一直线远退到无穷。