第3章　量子力学

引　　言

如我们在第2章中已说明的那样，只是在最近，我们才开始了解动力学描述的复杂性（即使是在经典动力学框架中的）。尽管如此，经典动力学还是企图表现某种与描述方式无关的内在的现实性。正是量子力学动摇了伽利略奠定的物理学基础。它打破了这样的信念：从朴素的意义上说，物理描述乃是现实主义的。物理学的语言表现了系统与实验和测量条件无关的性质。

量子力学有一个十分有趣的历史（Jammer，1966；Mehra，1976，1979）。量子力学是从普朗克试图调和动力学与热力学第二定律而开始的。玻耳兹曼曾经对相互作用的粒子考虑过这个问题（我们将在第7章论述），普朗克当时想，研究物质和辐射的相互作用应该是比较容易的，可是他的这个目的没有达到。然而他却在他的尝试中发现了那个以他的名字命名的普适常数h。

有一段时间，量子论和热力学在黑体辐射理论和比热理论上保持着联系。当哈斯（Arthur Haas）1908年在维也纳，作为他学位论文的一部分提出了那个可以看成是玻尔电子轨道理论的先声的方法时，遭到了拒绝，理由是：量子论和动力学没有关系。

当玻尔-索末菲的原子模型获得非常成功的时候，情况发生了急剧的变化。这件事清楚地表明，有必要建立一个新的力学，普朗克常数能相应地被结合进去。这个工作是德布罗意（de Broglie）、海森伯（Heisenberg）、玻恩（Born）、狄拉克（Dirac）等人完成的。

由于本书的范围所限，不可能详细讨论量子力学，下面只集中讨论某些概念，即对于我们的问题——物理学中时间的作用和不可逆性——来说是必不可少的那些概念。

在20世纪20年代中期形成的“经典”量子论受到了我们在第2章中概括的哈密顿理论的启发。正如哈密顿理论一样，经典量子论在转子、谐振子或氢原子等简单的系统中获得了巨大的成功。也正如在经典动力学的情况一样，当考虑复杂一些的情况时，便发生了问题。

能把基本粒子的概念协调地纳入量子力学吗？量子力学能描述衰变过程吗？这些就是我们目前要强调的问题。我们将在本书的第三部分，在讨论从存在到演化的桥梁的时候，回到这些问题上来。

引入量子力学的目的是为了描述原子和分子的行为，从这个意义上说，它是个微观理论。因此，当它引出了我们所要观察的微观世界同我们自身以及测量设备所属的宏观世界之间的关系问题时，是令人惊奇的。人们的确可以说，量子力学把动力学描述和测量过程之间的矛盾变得明显了，这个矛盾在量子力学出现之前，曾是隐含着的（d′Espagnat，1976；Jammer，1974）。在经典物理学中，人们常使用刚性杆和时钟作为理想测量的模型。它们曾是爱因斯坦在他的“思想实验”中所用的主要工具。但是玻尔强调了在测量中有一个附加的因素。每个测量，从内在的意义上说，都是不可逆的。测量中所进行的记录和放大，总是和光的吸收或发射这样一些不可逆事件相关连的（Rosenfeld，1965；George，Prigogine，Rosenfeld，1973）。

动力学把时间当做不选择方向的参数来处理，怎么能引出与测量分不开的不可逆性的因素呢？这个问题现在正吸引着大家的注意力。也许，科学与哲学在其中互相渗透的当代最热门的问题之一是：我们能否在“孤立”之中认识微观世界？事实上，我们认识物质，尤其是它的微观性质，仅仅是依靠测量设备才能进行的，而这些测量设备本身是由大量的原子或分子组成的宏观客体。在某种意义上说，这些设备扩展了我们的感官，各种仪器无非是我们所要探讨的世界与我们自身之间的媒介。

我们将看到，量子系统的状态是由波函数决定的。这个波函数满足一个动力学方程，这个方程就像经典动力学方程一样，对于时间来说是可逆的。因此这个方程本身不能描述测量的不可逆性。

量子力学的新特点是，我们既需要可逆性，也需要不可逆性。当然，在某种意义上说，经典物理学中早已如此了。在那里我们使用了两类方程，比如对于时间可逆的哈密顿动力学方程和描述不可逆过程的傅里叶温度变化方程。不过，这个问题可以通过把热学方程限定为没有任何基本意义的唯象方程而消除。但是，怎样消除测量的问题呢？测量是我们和物质世界之间的唯一联系。

算符及并协性

观察到锐的吸收谱线或发射谱线，这是在量子力学的形成中最为重要的事。看来唯一可能的解释是，像原子或分子那样的系统具有分立的能级。为了使这一点和经典的观念一致，必须迈出极为重要的一步。显然，我们在第2章中介绍过的哈密顿量可以依其自变量即坐标和动量的值而取一组连续的值。因此必须把当做连续函数的哈密顿量H，用一个新的东西即被当做算符的哈密顿量来代替，我们可以记作H_op （关于量子力学的导论，参见Landau和Lifschitz，1960）。

我们已经简要地讨论过与经典力学有关的算符的概念（见第2章），不过在量子力学中情况是十分不同的。在考虑经典力学中的轨道时，我们仅需要作为坐标和动量函数的哈密顿量（见方程2.4）。可是，就连量子力学的最简单的情况，如对氢原子性质的解释中，我们也需要哈密顿算符，因为我们现在要把能级解释为和这个算符有关的本征值（见方程2.16）。因此，我们必须建立和求解这个本征值问题，即

这里，数E₁ ，E₂ ，…，E_n 是系统的能级。当然我们还必须给出怎样从经典变量转变成量子算符的规则。规则之一就是：

不拘细节，这就是说：“坐标保持原样，而动量用对坐标的导数代替。” ⁽¹⁾

从某种意义上说，从函数转变到算符，这是揭露出能级存在的光谱实验所强加给我们的。这个转变是很自然的一步。然而我们仍禁不住钦佩玻尔、约旦（Jordan）、海森伯、薛定谔（Schrödinger）和狄拉克等人，他们敢于跨出了这一步。算符的引入从根本上改变了我们对自然的描述，因此把它说成“量子革命”是很恰当的。

为了给出这些新特点的一个例子，我们必须引入的算符一般说来是不可对易的。由此得出下面的推论：一个算符的本征函数用来描述系统的状态，其中该算符所代表的物理量具有确定的值（即本征值）。因此用物理学的术语来说，不可对易性意味着，不可能存在这样的状态，在其中，比如说坐标q和动量p同时具有确定的值。这就是著名的海森伯测不准关系的内容。

量子力学的这个结论是完全出乎意料的，因为它迫使我们放弃经典物理学的朴素的现实主义。我们能够测量粒子的动量和坐标，但我们不能说这个粒子同时具有坐标和动量的确定值。海森伯、玻恩等人在50年前就得出了这个结论，然而直到今天，它仍和当时一样是一个革命。实际上，关于测不准关系的意义的讨论，始终没有停止过。我们不能通过引入某些附加的“隐”变量而恢复物理学的“神志”吗？至今已经证明，即使不是不可能的，也是十分困难的，大多数物理学家已经放弃了这个打算。我们在这里不能叙述这个迷人课题的历史了，这在其他一些专门著作中已得到了很好的论述（Jammer，1974）。

基于存在着不可对易算符所代表的物理量的事实，玻尔表述了并协性原理（Bohr，1928）。我希望他以及我已故的朋友罗森菲尔德（Rosenfeld）不会不同意我用这样的方法来描述这个并协性：世界要比用任何单一语言所能表达的更为丰富。音乐并没有被从巴赫（Bach）到勋柏格（Schoenberg）的因袭所汲尽；同样，我们不能把我们的各方面经验集中在一个单一的描述之中。我们必须寻求多种描述，不能把一个归纳为另一个，但能用一些恰当的翻译（技术上称为变换）规则使它们互相联系起来。

科学工作的意义并不在于发现某种实在，而在于有选择的探索，在于选择我们必须探讨的问题。现在让我们继续讨论量子力学，而不过早使用第9章中将要提供的一些结论。

量子化规则

本征函数很好地扮演着向量代数中基底向量的角色。从基础数学中我们知道，任意的向量，比如说l，可以按照一组基底向量分解成它的分量，如图3.1。类似地，我们可以把量子力学系统的任一状态Ψ表示成适当的本征函数的叠加：

由于将在下节中说明的理由，Ψ也叫做波函数。取一组正交归一化的本征函数常常是特别方便的（这相当于基底向量的长度均为1且两两正交）：

记号〈u_i ｜u_j 〉表示标量积：

其中 是u_i 的复共轭。用 乘以式3.3，并利用式3.4给出的正交归一性条件，我们立即看到

初等向量空间（见图3.1A）和量子力学所使用的空间（见图3.1B）的主要区别在于它们的维数。在第一种情况下维数是有限的，而在第二种情况下维数是无限的。第二种情况人们称之为希尔伯特空间。函数u_n 或Ψ都是这个希尔伯特空间的元素（或称向量）。每个元素都可以两种方式出现，或者处于标量积（式3.5）的左边，或者是处于其右边。由于这个原因，狄拉克（Dirac，1958）引入了一个巧妙的记法：元素u_n 可以写成为刁矢量

或者是刃矢量

于是，标量积就是刁与刃的乘积

这个记法使我们能用紧凑的方法表达希尔伯特空间的重要性质。假设展开式3.3对一切元素均成立。那么利用刁-刃记法和式3.6，我们就可以对任一元素Φ写出

由于这个关系对任意的｜Φ〉都必然成立，因此我们得到我们将要反复用到的完备性关系

在这个涉及数学形式的简短插曲之后，让我们再回到物理学上来。

图3.1　（A）向量l分解为其分量；（B）波函数ψ分解为本征函数u₁ ，u₂ ，…，u_n 。

方程3.3中出现的展开系数c_n 有重要的物理意义。如果我们测量本征向量为u_n 的物理量（比如说能量），那么找到对应于u_n 的本征值（比如E_n ）的概率就是|c_n |² 。因此，这个给出量子态的函数Ψ就称做概率幅（其平方给出真正的概率）。对于Ψ的这个重要物理解释是由玻恩作出的（Jammer，1966）。

我们已经注意到，在量子力学中物理量是用算符表示的。显然，这些算符不能是任意的。我们所关心的一类算符，可以用这个算符和它的伴随算符A^† 相联系来定义：

在量子力学中起基本作用的是所谓自伴随算符（或厄米算符）：

它们的重要性来自这样的事实，即自伴随算符或厄米算符的本征值是实数。此外，一个厄米算符可以导出一组满足条件3.1的正交归一的本征函数。人们常说，可观察量在量子力学中是由厄米算符表示的。那么一切可观察量都是厄米算符吗？这是个复杂的问题，我们将在第8章处理这个问题。

除了厄米算符之外，我们还需要另一类算符，它们和坐标和变换有关。由初等几何学可知，坐标的变换并不改变标量积的值，因此让我们考虑算符A，使其保持标量积（式3.5）为不变量。这就有

并且，利用式3.8得到

按定义，满足式3.11的算符叫做幺正算符。算符A的逆是满足下式的A^-1 ：

因此我们看到，幺正算符具有下述特征：它的逆等于它的伴随算符，即

如在初等几何中一样，人们经常可以对算符实行相似变换。一个相似变换S通过下面的关系使得从A得到 ：

一个有趣的性质是，这样的相似变换使得一切代数性质保持不变。例如，若

因为利用式3.11′，有

如果S是一个幺正算符，那么相似变换（式3.13）可以看做仅是坐标的变换，现在我们乐于把量子化问题表述为：寻找一个合适的坐标系，使得哈密顿量在其中取简单的对角形式。这就是玻恩-海森伯-约旦的量子化规则（Dirac，1958）。

我们从哈密顿量出发。如在式2.1中，它包括一个动能（或无微扰的）项H₀ ，加上势能（或微扰的）V。于是我们可以寻找一个用幺正算符S表达的相似变换：

这个幺正算符S把初始哈密顿量变换为对角形。这就等价于本征值问题即方程3.1的解。实际上，我们可以把H表示为一个矩阵，且方程3.1表明，在使用其本征函数的表象中，H是由一个对角矩阵来表达的：

这和在第2章的“可积系统”一节中所考虑的经典力学的变换问题有惊人的相似。

我们将在第8章回到玻恩-海森伯-约旦量子化规则上来，在那里，我们将讨论表现为不可逆过程的系统怎样量子化的问题。这里我们只注意：像在经典变换理论中一样，对物理系统的两种可能的描述也都被用于可积系统了。哈密顿量的对角化，确实很像哈密顿量到作用变量的经典变换（方程2.26）。

让我们仅用谐固体的情况说明这一点。谐固体相当于一些互相作用的相邻原子或分子，它们的相对位移是如此之小，以至我们可以用是位移二次函数的势能来描述，像在谐振子的式2.2中那样。我们可以用两种方法描述该系统：第一种方法对应于该固体中相邻粒子间的相互作用，这时我们必须同时考虑动能和势能（参见图2.5A）。第二种方法像第2章关于可积系统的一节中那样，需要一个正则变换，以便消掉势能。然后我们就可以把固体看做是独立振子的叠加，并计算每个振子的能级（参见图2.5B）。我们又有了一个在两种描述中的取舍问题。在其中一种描述中，实体是不十分确定的（因为固体的能量的一部分是在粒子“之间”的）。而在另一种描述中，实体是独立的，即固体的“简正模”。于是我们又回到这样的问题：我们的物理世界是属于这两种高度理想化的描述之一呢？还是需要第三种描述？我们将在本章关于量子力学中的系统理论一节进一步讨论这个问题。

量子力学中的时间变化

上节中我们已经引入了量子系统的态由某个状态向量Ψ所描述的概念。

现在我们需要引入一个描述量子系统的态随时间变化的方程。这个方程在量子力学中所起的作用，应当和哈密顿方程2.4在经典力学中所起的作用完全一样。和经典光学进行类比，即把本征值对应于波动现象中的特征频率时，导致薛定谔建立了这个新的方程。薛定谔方程是一个含有基本力学量即哈密顿量的波动方程，其显形式是：

其中符号i是 ，ħ是普朗克常数除以2π（我们经常取ħ等于1，以避免过繁的记法）。注意，这个方程不是从量子力学中导出的，而是假设的，它的有效性只能来自和实验事实的对比。

让我们对薛定谔方程作些说明。和哈密顿方程2.4不同，它是一个偏微分方程（因为H_op 中还出现了对坐标的导数，见下节）。但有一点是共同的，即无论哈密顿方程还是薛定谔方程，对于时间来说都是一阶的。一旦知道了某个时刻t₀ 的Ψ（加上适当的边界条件，比如在无穷远处Ψ→0），我们就可以对任意时刻，无论是将来的还是过去的时刻，求出Ψ来。在这个意义上说，我们恢复了经典力学的决定论观点，不过现在是用于波函数，而不是经典力学中的轨道。

我们在第2章讨论刘维方程时所作的说明可以直接用在这里。的确，Ψ代表概率幅（和ρ在式2.12中代表概率一样），但其时间的演化却具有严格的动力学特点。如刘维方程的情形一样，这里没有任何带有概率过程（如布朗运动）性质的简单条件。

时间演化是由哈密顿量决定的。因此在量子力学中，哈密顿量，更确切地说是哈密顿算符，起着双重作用：一方面，它通过方程3.1决定能级，另一方面，它决定系统的时间演化。

还要注意，薛定谔方程是线性的。如果在给定瞬时t我们有

则在另一任意时刻t′，无论比t早还是比t迟，我们也有

我们已看到，Ψ决定实验结果的可能性（概率），并且可以被恰当地称为概率幅。它也称做波函数，因为方程3.17和经典物理学的波动方程具有很强的形式上的相似性。

很容易给出薛定谔方程3.17的形式解：

这可以用取导数的方法加以验证。

这个形式和式2.12′十分相似，不过现在用哈密顿量H代替了刘维算符L。注意e^-iHt （或e^-iLt ）是满足式3.12的幺正算符：

这个结果来自H是厄米算符的事实。因此，无论在经典力学中还是量子力学中，时间演化都是用幺正变换给出的。时间演化仅仅对应于坐标的变换！

如果我们利用哈密顿算符的本征函数所表达的Ψ的展开式3.3，我们就从式3.20得到显式关系：

依照我们的规则，发现系统处于u_k 态的概率将由下式给出：

重要之点在于，这个概率是与时间无关的。在这个能量取对角形式的表象中，任何事情都没有真正“发生”。波函数不过是在希尔伯特空间中“旋转”，概率对于时间来说是常数。

量子力学可以适用于多粒子组成的系统。这里，不可分辨性的概念起着十分重要的作用。例如我们考虑N个电子的集合，现在Ψ将依赖于所有N个电子。电子的代换，比如说电子1和电子2的置换，不应改变系统的物理状况。因此我们必须要求下式成立（记住，Ψ是概率幅，且概率由|Ψ|² 给出）：

我们可以用两种方法来满足这个条件，即

这两种方法对应着两种基本的量子统计法：玻色统计法和费米统计法。如果波函数在两个粒子的置换下不改变，就是玻色统计法；如果波函数变号，就是费米统计法。统计法的类型似乎成了物质的一个非常基本的属性，因为所有的基本粒子不是遵守这一种就是遵守那一种统计法。质子、电子等等是费米子；而光子和一些不稳定粒子如介子等就是玻色子。量子力学的重大成就之一就是发现了费米子与玻色子之间的区别，这个区别在物质结构的所有水平上都表现出来。例如，没有适用于电子的费米统计法，就不能理解金属的性质，而液态氦特性的描绘则成为玻色统计法的一个出色的例证。在本章下一节讨论量子态的衰变时，我们还要回到玻色和费米统计的问题上来。

量子力学中的系综理论

利用量子力学的公式，我们可以计算某个力学量A的平均值〈A〉，A的本征值是a₁ ，a₂ ，…。按定义，平均值就是变量所能取的一切值a₁ ，a₂ ，…各自乘以相应的概率的总和。因此利用式3.6我们得到

根据本征函数u_n 的定义

也可以写为

重要的是，平均值〈A〉是概率幅的二次函数。这和式2.14大不相同，在式2.14中，它是吉布斯分布函数ρ的线性函数。还要注意，在某种意义上说，甚至具有完全确定的波函数Ψ的系统，也已是和一个系综相对应的。

的确，如果我们展开Ψ，例如用哈密顿算符的本征函数来展开Ψ（见式3.3），并且测量能量，我们可以找到概率分别为｜c₁ ｜² ，｜c₂ ｜² ，…的本征值E₁ ，E₂ ，…。这似乎是玻恩对量子力学统计解释的不可避免的结果。于是量子力学只能对“重复”的实验作出预言。在这方面，情况和由吉布斯系综所描述的力学系统的经典系综的情况类似。

在量子力学中也仍然有纯的情况和混合的情况之间的十分鲜明的区别（见第2章中“哈密顿运动方程和系综理论”一节）。为了表述这个区别，引入吉布斯分布函数ρ的量子模拟是很有用的。为此我们必须首先引入完全正交归一化函数集n，使得如在式3.4和式3.7中那样，有

然后我们用函数n把Ψ展开，并利用式3.6，得到

在经典力学中，平均运算涉及到相空间的积分（见方程2.14）。现在我们引入所谓迹运算，它在量子力学中起着类似的作用：

并且密度算符ρ由下式定义：

这个定义又一次使用了狄拉克的“括号”记法（见式3.7）。算符作用到希尔伯特空间的元素上，例如ρ作用在｜Φ〉上，根据式3.30的定义，将由下式给出：

引入定义3.30的原因是，我们现在对式3.28所给出的平均〈A〉，可以得到紧凑的表达式

它正好和经典形式2.14相对应，不过迹算符代替了相空间上的积分。

此外，式3.31可以写作

这里我们使用了如下记法：

如果可观察量A是对角形的（即A｜n〉＝a_n ｜n〉），则式3.31′简化为

因此，ρ的对角元素可以看做是发现可观察量的值是a_n 的概率。注意，ρ的迹是单位1，因为我们有（参见式3.27和式3.30）：

这就是式2.9的量子力学模拟。

如在经典力学中一样，系综方法的好处是我们可以考虑更一般的情况，例如对于各种波函数的加权的叠加。那时，方程3.30变为

且

式中p_k 是和组成系综的各个波函数Ψ_k 相应的权。

密度算符ρ的形式，使我们能清楚地区分对应于简单波函数的纯情况与混合情况。在第一种情况下，ρ由式3.30表示，在第二种情况下，ρ由式3.32表示。这就给出一个简单的形式上的差别。对于纯情况，

因此ρ是一个幂等算符。这对于混合情况并不成立。

我们将在后面有关测量问题的一节中看到，区分纯情况与混合情况，对于表述测量问题是很必要的。

薛定谔表象和海森伯表象

只要我们通过薛定谔方程的解知道了波函数的时间变化（式3.20），我们立刻就能（从式3.30）得到密度ρ的时间变化：

用求导的方法可推出：

这个方程对于纯的和混合的两种情况都是有效的。我们得到了和在经典力学中导出的公式2.11丝毫不差的形式。唯一的区别就是我们现在用的不是泊松括号，而是H与ρ的对易子。

为了强调这两种情况之间的相似，我们用以下形式再次写出进化方程3.35及其形式解：

式中包含了刘维算符，当然它现在具有新的意义。这将使我们在第7章可以用同样的方法去处理经典系统和量子系统。

让我们再看一下力学量及其时间变化的平均值。利用式3.31和式3.34我们有：

因为迹算符的定义（式3.29）隐含着下式（参见式3.31′）：

虽然算符通常是不可对易的（见本章“算符及并协性”一节），而当它们隐含在迹运算之中时，它们是可对易的。我们也用ρ来代替ρ（t＝0）。因此可以用两种等效的方法求出平均值〈A（t）〉。第一种方法中密度随时间变化，A保持为常数。第二种方法中，我们认为密度保持为常数，但力学量A按式3.37变化：

这第二种描述称为海森伯表象。它和薛定谔表象的差别是，在薛定谔表象中，像A这样的力学量被看做是与时间无关的。而波函数Ψ或ρ与时间有关。用对时间取导数的方法，由方程3.39可得出如下结果（参见式3.35和式3.36）：

注意，它的形式同刘维方程3.36一样，不过-L代替了L。这将在第7章中用到。

类似的差别也在经典动力学中存在。方程2.5相应于海森伯方程，方程2.11相应于薛定谔方程。这两个方程由式2.13所定义的泊松括号算符L的符号来区分。

平衡系综

我们在第2章里为经典系统引入的平衡系综的概念，可以很容易地扩展到量子系统中来。尽管如此，经典的和量子的动力学系统之间还是存在着相当的差别。例如可以证明，量子遍历系统隐含着它们是非简并的（每个能量本征值与一个本征函数对应）。

这个由冯·诺伊曼所建立的结果（Farquhar，1964）极大地限制了遍历方法的意义，因为我们所关注的绝大多数量子系统都是简并的。例如在多粒子系统中，一个给定的能量可以用多种方式在各种可能的激发态之间分配。由于这个原因，从冯·诺伊曼起有不少物理学家试图定义宏观可观察量，认为它给出了一种动力学的近似描述并且包含了趋近于平衡态。这里，我们又一次遇到趋近于平衡态的思想，更一般地说，不可逆性的概念对应于动力学的一种近似方法。我们在第7章里将看到，我们可以用完全不同的方法考虑这个问题：当有可能满足一些附加条件（如经典动力学中的弱稳定性）的时候，不可逆性的确对应于动力学的一个扩展。

测量问题

许多概念性的问题都涉及量子力学的表述。例如，对经典因果律的偏离真是不可避免的吗？我们不能引入一些附加的“隐”变量来使量子力学的形式更类似于经典力学的吗？这些问题在德斯帕格纳特的著作（d′Espagnat，1976）中得到了极好的论述。尽管为解决这些问题付出了大量的努力，至今仍未得到任何显著的成果。我们的态度则不同，我们接受量子力学的形式体系，但我们要问，不加明显的修改，我们究竟能把这个形式体系扩展到多远？

当考虑到我们已在本章前面提到的测量问题的时候，这个问题就发生了。假设我们从波函数Ψ以及式3.30给出的相应密度ρ，即

出发。通过测量一个力学量，比如说能量，u_n 为基本征函数，我们得到具有概率｜c_n ｜² 的各本征值E₁ ，E₂ ，…。可是，一旦我们得到某个本征值比如说E_i ，我们就知道系统一定是处于u_i 态。测量结束时我们得到了一个混合态：

具有概率 。按照式3.32，相应的密度ρ为

它和式3.41十分不同。

从式3.41到式3.42的变换，常叫做波包收缩（reduction of wave packet）。显然，它不属于由薛定谔方程的解所描述的幺正变换（式3.20）。冯·诺伊曼（Von Neurmann，1955）用非常巧妙的方法表达了这个差别，就是表明我们可以定义一个“熵”，当我们从一个纯态变到一个混合态时，这个“熵”将增加。这样，不可逆性的问题如今就在物理学的最核心部分出现。

但是这怎么可能呢？我们已经看到薛定谔方程是线性的（见式3.18）。因此，一个纯态就应保持为纯态。如果描述的“基准”真的是薛定谔方程的话，就没有容易的办法。德斯帕格纳特的书（d′Espagnat，1976）列举了许多建议，没有一个是十分令人信服的。

冯·诺伊曼（Von Neumann，1955）所提出的，其他一些人包括维格纳（Wigner）所主张的解决办法是：我们必须离开物理学的领域，而去发挥观察者的积极作用。这符合我们已提及的那种一般准则，即不可逆性不在自然界中，而在我们当中。在现在的情况下，正是从事观察动作的感觉的主体决定了从纯态到混合态发生的转变。很容易批判这个观点，然而，我们又怎样在“可逆的”世界中引入不可逆性呢？

另一些人甚至走得更远。他们声称，由于测量之类的相互作用，我们的宇宙正不断地分成数目巨大的分支，以此为代价的波包收缩并不存在！虽然我们不打算讨论这样的极端看法，但仍需注意，正是这些概念的存在证明了物理学家不是实证主义者。他们不以得出某些仅仅能“工作”的规则而满足。

我们将在第8章回到这个问题上来。这里我们只注意，量子力学中在形式上十分明确的纯态与混合态之间的区别，事实上超出了测量的任何有限的精度。作为一个例子，我们考虑一个具有两个极小值的对称势如图3.2所示。

图3.2　对称势

假设｜u₁ 〉对应于其中心位于区域a的一个波函数，｜u₂ 〉对应于其中心位于区域b的波函数。纯态与混合态之间的差别由含有积｜u₁ 〉〈u₂ ｜的项来区分。不过，当势垒取宏观尺度时这个积可以是非常小的。换句话说，波函数可能变为“不可观察量”，这有点像我们在第2章中研究过的包含弱稳定性的问题中的轨道。这个论点，在量子不可逆过程的理论中将起着重要作用。该理论我们将在第7章至第9章中给出。

不稳定粒子的衰变

在讨论这个问题之前，我们先要弄清“小”系统和“大”系统之间的差别。我们已在第2章讲算符时讨论了从分立谱到连续谱的过渡。量子力学中的一个普通定理规定，限定在有限体积内的量子力学系统具有分立谱。因此，为了得到连续谱，我们必须达到一个无限系统的极限。这一点和经典力学系统很不相同。我们在第2章已看到：在经典力学系统中，对于有限系统，刘维算符就已经具有连续谱。这里的区别来自如下事实：经典的刘维算符作用在相空间上，该相空间所包含的速度（或动量）总是连续变量；而哈密顿算符是作用在坐标空间上的（或者是作用在动量空间上，但不是同时作用在两者之上。见式3.1和式3.2）。

对于H，分立谱意味着周期运动。当波谱变成连续的时候，就不再如此了。因此让我们看一下从分立谱到连续谱的过渡怎样改变时间的演化。现在我们必须用积分代替方程3.21中的求和。用能量的本征值作为独立变量，我们可以把这个积分写成如下形式：

重要的是，这个积分必须从有限值（此处我们所取的有限值为零）一直积到无穷。的确，如果哈密顿量可以取任意大的负值，则系统将是不稳定的，因此，一定存在某个下限。

和方程3.21所代表的周期变化不同，我们现在得到了一个傅里叶积分，它可以代表类型更多的时间变化。这一点在原则上是受欢迎的。例如我们可以把这个公式应用于不稳定粒子的衰变或激发的原子能级的去激活。对于概率密度｜Ψ（t）｜² ，人们希望通过引入适当的初始条件以后，找到一个指数衰减规律：

式中τ是寿命。这个关系式只是近似的而不是精确的。实际上，指数公式3.44永远不可能是准确的。因为有一个著名的佩利-维纳定理（Paley-Wiener，1934），所以形如式3.43的傅里叶积分（从有限值积到无穷大）在长时间的极限下，总是衰减得比指数律要慢。此外，方程3.43也引起了与指数律的短时间偏离。

实际上，大量的理论研究已经证明，与指数律的偏离太小了，以至现在还测量不出来。重要的是，实验研究和理论研究都在继续着。正是由于存在着与指数衰减律的偏离，已经引起了关于不可分辨性的含义的严重争论。假设我们制备了一束不稳定粒子，比如介子，并使其衰变；然后，我们又制备了另一组介子。这两组在不同时间制备的介子，严格地讲应有不同的衰变律，而且我们应能区分这两组介子，就像我们能分清年老妇女和年轻妇女一样。这个问题看来好像有点奇怪。如果必须作出选择的话，我相信，我们应该把不可分辨性作为一个基本原理保留下来。

当然，如果我们像维格纳在许多场合假设的那样，使基本粒子的概念仅限于稳定粒子的范围，这个问题就不会发生。但是，看来很难把基本粒子存在的方式仅仅限制在稳定粒子的范围内。似乎可以公正地说，科学公众越来越感觉到，量子力学的某些通则必须把不稳定粒了包括进去。实际上，这个困难甚至更大一些。我们想把一些确定的性质和基本粒子联系起来，而不管它们的相互作用如何。举一个具体例子，我们考虑物质和光的相互作用，即电子和光子的相互作用。假设我们能把相应的哈密顿量对角化，我们就会得到一些类似于固体简正模的“单元”按定义，简正模就不再相互作用。当然，这些单元不可能是我们周围的物质的电子或光子。这些客体是相互作用的，而且正因为这种相互作用，我们才能研究它们。但是怎样把相互作用着而又确定的客体纳入哈密顿描述之内呢？如前所述，在哈密顿量为对角形的表象中，客体是确定的，但没有相互作用；在其他表象中，则客体是不确定的。

人们感到，出路只能是仔细地看一看，通过适当的变换，我们真正需要消掉什么，保留什么。如我们将在第8章看到的那样，这个问题与可逆过程和不可逆过程之间的基本区别有密切的关系。

量子力学是完备的吗？

鉴于已经给出的讨论，我相信，对这个问题的回答可以有把握地说：“不是”。量子力学曾经受到原子光谱学中事态的直接启发。电子围绕原子核“旋转”的周期 ⁽²⁾ 具有10^-16 秒的数量级，典型的寿命是10^-9 秒。因此，一个激发态电子在它落到基态之前要旋转10000000次。正如玻尔和海森伯所深为了解的那样，正是由于这个侥幸的机会才使得量子力学如此成功。但是今天我们不能再满足于近似方法了。这种近似把时间演化的非周期部分当做小的不重要的微扰效应来处理。如在测量问题中一样。这里我们又一次面对着不可逆性的概念。爱因斯坦具有惊人的物理识别力，他注意到了（Einstein，1917）当时所用的量子化的形式（即在玻尔-索末菲理论中的量子化）仅适用于准周期运动（在经典力学中用可积系统描述的运动）。当然，从那以后已经取得了初步进展。尽管如此，这个问题依然存在。

我们所面临的是物理学中理想化的真正含义。我们应该把有限体积系统的量子力学（它因此具有分立的能谱）看做是量子力学的基本形式吗？那样一来，衰变、寿命等问题就必须看做是和附加的“近似”有关，这个附加近似包括为得到一个连续谱而来的无穷大系统的极限。或者反过来说，谁都没见过处于激发态而不衰变的原子，这是无可争议的。那么，物理的“实在”就相当于具有连续谱的一些系统，而标准量子力学就仅仅作为一个有用的理想化情况，一个简化了的极限情况而出现。这就更加和下面这种看法一致了：基本粒子乃是基本场的表现（如光子对于电磁场的情形一样），而场在本质上不是局部的，因为它们遍布在空间和时间的整个宏观区域。

最后，注意到量子力学把统计特性引入到物理学的基本描述中是很有趣的。这一点在海森伯测不准关系中表达得十分清楚。须注意，对于时间和能量（即哈密顿算符），并不存在类似的测不准关系。通过把时间变化与H_op 关联起来的薛定谔方程，这样一个测不准关系可以理解成时间和变化之间即存在和演化之间的并协性。但是在量子力学中，也和在经典力学中一样，时间只是一个数（而不是算符）。

我们将看到，在隐含着趋向连续谱极限的某些情况下，这个附加的测不准关系甚至在经典力学的刘维算符和时间之间也能建立起来了。如果是这样的话，时间就获得了一个新的附含意——它成为一个和算符有关的量了。在我们着手处理这个迷人的问题之前，让我们先考虑物理学的这个“并协”的部分，即演化的物理学。

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(1) 如果不致发生混淆，我们可以省略下标op，例如把H_op 就写作H。

(2) 原文为frequency，此处依上下文改译为周期。——译者注。