结束语

Conclusion

本书对于几何的原理作了一个批评的研究；在研究的过程中，指导我们的原则是：在讨论每一个当前问题时，要同时检查能否遵照预定的方式利用限定的辅助工具，得到这问题的解答。在我看来，这是我们应该采取的一个普遍的而且自然的原则；事实上，当我们作数学研究而遇到一个问题或猜测一条定理时，只有等待这问题完全得到了解决，而且完成了这定理的严密证明，或者彻底了解了不可能成功的原因，因而同时了解了失败的必然性，我们的求知本能才能得到满足。

在近代数学里，某一些解答的或问题的不可能性 的研究占有突出的地位，而且对于这种问题的努力往往引到新的和富有成果的研究领域的发现，我们只需要回忆下述的事实：阿贝尔（Abel）的不可能用方根解五次方程的证明，平行公理的证明的不可能性，埃尔米特（Hermite）和林德曼（Lindemarm）的e和π这两个数不可能用代数方法作出的定理的证明。

这个原则，我们应该随时都讨论证明的可能性的原理的这个原则，也和证明方法的“纯粹性”的要求有极密切的联系，而这要求是被好几位数学家所强调唤起注意的。这要求实际正是我们这里所遵循的原则的主观说法。事实上，我们所作的几何研究，是要一般地寻求说明，一个初等几何真理的证明究竞需要什么公理、假设或者辅助的工具；至于，从所采取的观点看来，究竟什么证明方法较为优越，就要留待个别的判断了。

达芬奇的《最后的晚餐》以几何图形为基础设计画面，体现出数学的对称美。有人评价这幅画是科学与艺术成了婚，而哲学又在这种完美的结合上留下了亲吻。