补篇Ⅳ

1．以德沙格定理为基础关于线段计算引论的注记

在第五章§24～§27里，不借合同公理及连续公理而展开对线段计算的研究也并未用到顺序公里Ⅱ。特别是，那里所论到的证明只是利用关联公理Ⅰ_1～3 ，平行公理Ⅳ^* （实质上也是一个关联公理）和定理53所表述的德沙格定理得出 ^（1） 。顺序公理则首先在§28才引入，是为了证明所论的线段计算可能规定线段间的一种定量关系而使§13中的顺序规则13～16能够适合。假如这些规则不予考虑，而用§28末尾所规定的一个德沙格数系来代替，于是我们得到斜域 的概念，所谓斜域是一个数集，它具有有理数域中去掉乘法可换性的所有性质（§13，1～11）。

如同§29开始时简短指出的从斜域出发能够建立一个三维空间的解析几何。对这种几何，所有公理Ⅰ及平行公理Ⅳ^* 均能适合。另一方面，如同§22所指出，从这些公理可以证明德沙格定理。这样我们得出与定理56相应的下面定理：

定理 56 　在某种平面几何里，如果公理Ⅰ_1～3 及Ⅳ 均满足，则德沙格定理的成立是这种几何能够安装在适合公理Ⅰ和Ⅳ^* 的一种空间几何的充要条件。

2．关于§37的注记

在第七章§37中定理65的论断需要一个更确切的限制，即必须从关于几何作图问题的条件的范围内使所求点的坐标的解析处理是由一组不可约的代数方程所给出的。

关于这样限制的一个必要性是由凯内（D. Kijne）在平面几何作图的一般可能问题的研究中所指明的，见他的文章“平面作图范围的理论”（Plane Construction Field Theory, Utrecht，1958 ^（2） ）。

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（1） 在§24～§27的图中，过O 所引的两条相邻的半射线中的每一条在意义上确有不同，然而在本教材中这并不需要。

（2） 关于这个讨论的继续，凯内又给出一篇较新的文章“利用直尺和迁线器，希尔伯特几何作图的代数意义”（Die algeoralsche Deutung der Hilbert's schen geomefrischen Konsfruktionen mittels Lineals und EichmaBes, Elemente der Math. Bd. 26, Nr. 1. Basel, 1971）。