第一章

论五种正立体形

• Concerning the Five Regular Solid Figures •

当他开始向第三维跳跃的时候，最后的晴空霹雳震撼了他，完美的立体数字是五，正好是描述行星天体间的区间所需要的数字。这完美的立体，相当恰当地被称做毕达哥拉斯学派的立体和柏拉图的立体，这么叫是因为它们完美地左右对称；它们的正面都是相同形状和大小的有规则的多角形。这是几何的事实。

——杰米·詹姆斯（Jamie James）《天体的音乐》

开普勒于1609年出版的《新天文学》扉页。

我已经在第二卷中讨论过，正平面图形是如何镶嵌成立体形的。在那里，我曾谈到由平面图形所组成的五种正立体形，并且说明了为什么数目是五，还解释了柏拉图主义者为什么要称它们为宇宙形体（figures），以及每种立体因何种属性而对应着何种元素。在本卷的开篇，我必须再次讨论这些立体形，而且只是就其本身来谈，而不考虑平面，对于天体的和谐而言，这已经足够了。读者可以在《哥白尼天文学概要》（Epitome of Astronomy ）第二编 ⁽¹⁾ 第四卷中找到其余的讨论。

根据《宇宙的奥秘》（Mysterium Cosmographicum ），我想在这里简要解释一下宇宙中这五种正立体形的次序，在它们当中，三种是初级形体， ⁽²⁾ 两种是次级形体： ⁽³⁾ （1）立方体，它位于最外层，体积也最大，因为它是首先产生的，并且从天生就具有的形式来看，它有着整体的性质；接下来是（2）四面体，它好像是从正方体上切割下来的一个部分，不过就像立方体一样，它也有三线立体角，从而也是初级形体；在四面体内部是（3）十二面体，即初级形体中的最后一种，它好像是由立方体的某些部分和四面体的类似部分（即不规则四面体）所组成的一个立体，它盖住了里面的立方体；接下来是（4）二十面体，根据相似性，它是次级形体中的最后一种，有着多于三线的立体角；最后是位于最内层的（5）八面体，与正方体类似，它是次级形体的第一种。正如正方体因外接而占据最外层的位置，八面体也因内接而占据最内层的位置。 ⁽⁴⁾

然而，在这些立体形中存在着两组值得注意的不同等级之间的结合（wedding）：雄性一方是初级形体中的立方体和十二面体，雌性一方则是次级形体中的八面体和二十面体，除此以外，还要加上一个独身者或雌雄同体，即四面体，因为它可以内接于自身，就像雌性立体可以内接于雄性立体，仿佛隶属于它一样。雌性立体所具有的象征与雄性象征相反，前者是面，后者是角。 ⁽⁵⁾ 此外，正像四面体是雄性的正方体的一部分，宛如其内脏和肋骨一样，从另一种方式来看， ⁽⁶⁾ 雌性的八面体也是四面体的一部分和体内成分：因此，四面体是该组结合的中介。

这些结合或家庭之间的最大区别是：立方体结合之间的比例是有理的，因为四面体是立方体的三分之一， ⁽⁷⁾ 八面体是四面体的二分之一和立方体的六分之一；但十二面体的结合的比例 ⁽⁸⁾ 是无理的［不可表达的（ineffabilis）］，不过是神圣的 ⁽⁹⁾ 。

由于这两个词连在一起使用，所以务请读者注意它们的含义。与神学或神圣事物中的情形不同，“不可表达”在这里并不表示高贵，而是指一种较为低等的情形。正如我在第一卷中所说，几何学中存在着许多由于自身的无理性而无法涉足神圣比例的无理数。至于神圣比例（毋宁说是神圣分割）指的是什么，你必须参阅第一卷的内容。因为一般比例需要有四项，连比例需要有三项，而神圣比例除去比例本身的性质以外，还要求各项之间存在着一种特定的关系，即两个小项作为部分构成整个大项。因此，尽管十二面体的结合比例是无理的，但这却反而成就了它，因为它的无理性接近了神。这种结合还包括了星状立体形，它是由正十二面体的五个面向外延展，直至汇聚到一点产生的。 ⁽¹⁰⁾ 读者可以参见第二卷的相关内容。 ⁽¹¹⁾

最后，我们必须关注这些正立体形的外接球的半径与内切球的半径之比：对于四面体而言，这个值是有理的，它等于100000∶33333或3∶1；对于立方体的结合 ⁽¹²⁾ 而言，该值是无理的，但内切球半径的平方却是有理的，它等于（外接球）半径平方的三分之一的平方根，即100000∶57735；对于十二面体的结合 ⁽¹³⁾ 则显然是无理的 ⁽¹⁴⁾ ，它大约等于100000∶79465；对于星状立体形，该值等于100000∶52573，即二十边形边长的一半或两半径间距的一半。

伽利略用过的望远镜，现藏于佛罗伦萨科技史博物馆。

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(1) 其实应为第一编。——中译者

(2) 初级形体是那些立体角由三条线所组成的图形。——中译者

(3) 次级形体是那些立体角由多于三条线所组成的图形。——中译者

(4) 下面两幅插图是开普勒原著中的插图，这里为中译者所加。——中译者

(5) 显然，雄性象征是角或顶点，雌性象征是面。如上页图所示，雄性多面体的顶点数多于面数，雌性多面体的面数多于顶点数，而雌雄同体的多面体的顶点数和面数一样多。在每一组结合中，雄性成员的顶点数等于雌性成员的面数，所以当雌性形体内接于雄性形体时，顶点和面恰好相对。雌雄同体的四面体则可以内接于另一个四面体。还有一点很重要，那就是每一组结合中的两个多面体的外接球与内接球的半径之比相等。——中译者

(6) 四面体的各边中点形成了八面体的各顶点。——中译者

(7) 即四面体的体积是立方体的三分之一，下同。——中译者

(8) 即可内接于十二面体的二十面体与十二面体的体积之比。——中译者

(9) 即为黄金分割比。参见《世界的和谐》，第一卷，定义26。——中译者

(10) 开普勒认为星状立体形仅仅是由正十二面体和正二十面体衍生出来的，而没有把它算作另一种基本的正多面体。——中译者

(11) 参见《世界的和谐》第二卷，命题26。——中译者

(12) 即立方体和八面体。每一组结合中的两个多面体的内切球的半径与外接球的半径之比相等。——中译者

(13) 即十二面体和二十面体。——中译者

(14) 其准确值等于1∶ 。——中译者