第四编

电磁学

·Part IV Electromagnetism·

我们这一代人没有权利抱怨前人已有的伟大发现。科学是没有边界的，我们不能把它们限制在狭隘的范围之内。我们应该开拓新的领域，探索前沿性的东西。

——麦克斯韦（周兆平译）

本杰明·威尔逊（Benjamin Wilson）制作的筒形静电发电机，于17世纪晚期在巴黎先贤祠进行实验。

第三十四章　电磁力

475．〕　许多不同的观察者都曾注意到，在某些事例中，物体中或其附近的放电不必要地引起或破坏了它们的磁性，而人们也对磁和电之间的关系做出过各式各样的猜想，但是，直到汉斯·克里斯蒂安·奥斯特 ^〔1〕 在对哥本哈根的少数几个高年级学生所做的一次私人演讲中观察到连着电池两极的一根导线会影响它附近的一个磁体时为止，这些现象的规律，以及这些关系的形式却都是完全未知的。奥斯特在所标时间为1820年7月的一篇为〈关于磁体附近的电冲突效应的实验〉（Experimenta circa effectum Conflictus Electrici in Acum Magneticam）的论文中发表了他的发现。

关于磁体和带电物体的关系的实验曾经进行过，但是直到奥斯特力图确证一条导线被电池所加热的效应时为止，这些实验都毫无结果。然而奥斯特却发现，电流本身而不是导线的加热，才是作用的原因，而且“电冲突是以一种转动的方式而起作用的”；就是说，放在一根通有电流的导线附近的一个磁体，倾向于使自己垂直于导线，而且当使磁体绕着导线而运动时，它将永远以相同的一端指向导线。

图60

476．〕　因此，看样子，在载有电流的导线周围的空间中，一个磁体会受到的力的作用，这些力依赖于导线的位置和电流的强度。因此，这些力起作用的那个空间，可以被看成一个磁场，而且我们可以用在研究普通磁体附近的场时已经用过的同样方法来研究它，即通过追踪力线的走向并在每一点上测量力的强度来研究它。

477．〕　让我们从一根载有电流的无限长直导线的事例开始。假若一个人设想自己立在导线的位置上，使电流从他的头流向他的脚，则一个自由悬挂在他面前的磁体将使自己在电流的作用下用原来指北的一端指向他的右手。

磁力线到处都垂直于通过导线而画出的平面，从而就是一些圆，每一个圆都位于导线的垂面内，而导线则通过圆心。如果使磁体从左向右沿其中一个圆绕行一周，则磁体指北的一极将受到一个力的作用，而这个力是永远指向磁体的运动方向的。

478．〕　为了比较这些力，假设导线是竖直的，而其电流是向下的，设把一个磁体放在一个可以绕竖直轴线自由转动的仪器上，而其轴线和导线相结合。经发现，在这种情况下，电流并没有使整个仪器以电流本身为其轴线而发生转动的任何效应。由此可见，竖直电流对磁体两极的作用是这样的：以电流为轴线，两个力的力矩是相等而反向的。设m₁ 和m₂ 分别是两个极的强度，r₁ 和r₂ 是它们离导线中轴的距离，T₁ 和T₂ 是在两个磁极处由电流引起的磁力强度，则作用在m₁ 上的力是m₁ T₁ ，而既然它是垂直于轴线的，它的力矩就是m₁ T₁ r₁ 。同理，作用在另一极上的力矩是m₂ T₂ r₂ ，而既然没有观察到任何运动，那就有m₁ T₁ r₁ ＋m₂ T₂ r₂ ＝0。

但是我们知道，在一切磁体中都有m₁ ＋m₂ ＝0。

由此即得T₁ r₁ ＝T₂ r₂ ，或者说，由一个无限长的直电流引起的电磁力垂直于电流并和离开电流的距离成反比。

479．〕　既然乘积Tr依赖于电流强度，它就可以作为电流的一种量度。这种测量方法是不同于建筑在静电现象上的测量方法的，而且既然这种测量依赖于电流引起的磁现象，它就被称为“电磁测量制”。在电磁制中，如果i是电流，则有Tr＝2i。

480．〕　如果导线被取作z轴，则T的直角分量是 Z＝0。

此处Xdx＋Ydy＋Zdz是一个全微分，即下式的全微分：

由此可见，场中的磁力可以由一个势函数导出，正如在以前的若干例子中一样，但是在这一事例中，势却是一个具有一系列无限多个值的函数，各值之间的公共差为4πi。然而，势对各坐标的微分系数却在每一点上有一个确定的单一的值。

电流附近的场中的一个势函数的存在，并不是能量守恒原理的一种不言而喻的结果，因为，在一切实际的电流中，都存在一种电源电能的连续消耗，以克服导线的电阻，因此，除非这种消耗的数量是精确已知的，人们就总可以推测电池的一部分能量曾被用来对一个沿回线运动的磁体做功。事实上，如果一个磁极m沿着一条绕过导线的闭合曲线而运动一周，则实际做的功是4πmi。只有在并不绕过导线的闭合路径上，力的线积分才是零。因此，在目前，我们必须认为力定律和势函数的存在是建筑在已经描述过的实验的证据上的。

481．〕　如果考虑一条无限长直线周围的空间，我们就会看到它是一个循环空间，因为它会回到自己中来。如果我们现在设想有一个平面或任意别的曲面从这条直线开始而在直线的一侧伸展到无限远处，这个曲面就可以被看成一个把循环空间简化为非循环空间的壁障。如果从任一固定点开始画一些曲线到达任一另外的点而不空穿过壁障，并把势定义为沿其中任一条曲线计算的力的线积分，则势在任一点上都将有单独一个确定的值。

现在磁场就在一切方面都和一个磁壳所引起的场相等同，该磁壳和这个曲面相重合，而磁壳的强度为i。这个磁壳在一侧是以无限长的直线为界的。它的边界的其他部分都在离所考虑的这一部分场为无限远的距离处。

482．〕　在所有实际的实验中，电流都形成一个有限大小的闭合回路。因此我们将比较一个有限电路的磁作用和一个以该电路为边界的磁壳的磁作用。

许多实验，其中最早的是安培的实验而最精确的是韦伯的实验，已经证明，一个小的平面电路在远大于电路线度的距离处引起的磁作用和一个磁体的磁作用相同，该磁体的磁轴垂直于电路的平面，而其磁矩等于电路面积乘以电流强度 ^〔2〕 。

如果电路被设想为用一个以电路为边界的曲面所补满并从而形成一个壁障，而且，如果把这个电路换成一个和曲面相重合而强度为i的磁壳，则磁壳在一切遥远点上的磁作用将和电流的磁作用相等同。

483．〕　到此为止，我们一直假设电路的线度远小于从电路的任一部分到所考察的场的部分的距离。现在我们将假设电路具有完全任意的形状和大小，并检查它在并不位于导线内部的任一点P上的作用。下面这种具有重要的几何应用的方法，是由安培为此目的而引入的。

设想有一个以电路为边界而并不通过P点的任意曲面S。在这个曲面上画两组相交的曲线，这样就把曲面分成了一些元部分，它们的线度远小于它们到P点的距离，也远小于曲面的曲率半径。

沿着其中每一个元部分的边界，设想有一个强度为i的电流在流动，其巡回方向在一切元部分中都和原电路中的方向相同。

在形成二相邻面积元之分界线的任何线段中，都有两个相等强度i的电流沿着相反的方向在流动。

同一位置上两个相等而反向的电流的效应绝对地是零，不论我们在什么方面来考虑电流。因此它们的磁效应为零。各个元电路上并不如此被中和的部分，只有那些和原电路相重合的段落。因此，各个元电路的总效应，就和原电路的效应相等价。

484．〕　现在，既然每一个元电路都可以看成一个离P点的距离远大于其线度的平面小电路，我们就可以把它代换成一个强度为i而以元电路为其边界的元磁壳。元磁壳在P点的磁效应和元电路的磁效应相等价。全部的元磁壳构成一个强度为i、和曲面S相重合并以原电路为其边界的磁壳，从而整个磁壳在P点的磁作用就和原电路的磁作用相等价。

很显然，电路的作用是和任意画出来布满电路的曲面S的形状无关的。我们由此就看到，一个磁壳的作用只依赖于它的边界的形状而不依赖于磁壳本身的形状。这个结果我们以前在第410节中已经得到，但是了解它可以怎样从电磁的想法推得也是很有教育意义的。

因此，电路在任意点上引起的磁力，就在量值和方向上是和由一个磁壳所引起的磁力相等的，该磁壳以电路为边界而不通过该点，磁壳的强度在数值上等于电流的强度。电路中电流的方向是和磁壳的磁化方向这样联系着的：假如一个人把他的双脚站在磁壳上我们称之为正面的并倾向于朝北的那一面上，则他面前的电流将是从右向左的。

485．〕　然而，对那些位于磁壳物质之内的点来说，电路的磁势却不同于磁壳的磁势。

如果ω是磁壳在P点所张的立体角，当磁壳的正侧或指北侧向着P点时立体角为正时，则任一并不位于磁壳内部的点上的磁势是ωφ，此处φ是磁壳的强度。在磁壳本身物质内部的任一点上，我们可以假设磁壳分成强度为φ₁ 和φ₂ 的两部分，此处φ₁ ＋φ₂ ＝φ，而所考虑的点则位于φ₁ 的正侧和φ₂ 的负侧。这一点上的势是ω（φ₁ ＋φ₂ ）－4πφ₂ 。

在磁壳的负侧，势变成φ（ω－4π）。因此，在这一事例中，势是连续的，而且在每一点上具有单一而确定的值。另一方面，在电流的事例中，每一并不位于导线本身内部的点上的磁势等于iω，此处i是电流的强度，而ω是一个电路在该点上所张的立体角，当从P点看来电流是逆时针运行时立体角被取为正。

量iω是一个具有一系列无限多个值的函数，各值的公共差是4πi。然而，iω对坐标的微分系数却在空间的每一点上都有单一而确定的值。

486．〕　如果一个细长而柔硬的管性磁体被放在一个电路的附近，则磁管的北极和南极将倾向于沿相反的方向而绕着导线运动，而且，假如它们可以自由地服从磁力，则磁体最后将绕着导线缠成一个闭合的线圈。假若能够得到只有一个极的磁体，或得到磁极的强度不相等的磁体，则这样一个磁体将绕着导线而向一个方向不停地转动，但是，既然每个磁体的极事实上是相等而反号的，这样的结果就绝不会发生。然而，通过使磁体的一个极可以绕着导线继续转动而另一个极却不能，法拉第曾经指明了如何引起磁体的一个极绕一个电流的连续转动。为了使这种过程可以无限地重复进行，整个的磁体在每一周转动中必须从电流的一侧被搬到另一侧。为了做到这一点而不打断电的流动，电流被分成了两支，而且当一支被断开以允许磁体通过时，电流就经由另一支流过。法拉第为此目的而应用了一个圆形的汞槽，如第491节中的图63所示。电流经由导线AB而进入槽中，并在A点分支，而在流经弧BQP和BRP后在P点重新合并，然后电流就经过导线PO、汞杯O和O下面的一根竖直导线而流走。

磁体（图中未画出）被安装得可以绕着一个通过O点的竖直轴而转动，导线OP也随之而转。磁体穿过汞槽的开口，一个极譬如说北极在汞槽平面的下方，而另一极则在其上方。当磁体和导线OP绕着竖直轴而转动时，电流就逐渐从槽中位于磁体前方的支路转移到位于磁体后方的支路中去，于是在每一次完整的转动中磁体都从电流的一侧过渡到另一侧。磁体的北极沿方向N—E—S—W而绕着向下的电流转动，而如果ω、ω′是圆形槽在两个极上所张的立体角（不计正负），则电磁力在每一次完整转动中所做的功是mi（4π－ω－ω′），式中m是任一极的强度，而i是电流强度 ^〔3〕 。

487．〕　现在让我们力图对一个线性电路附近的磁场状态形成一种概念。

设电路对空间每一点所张的立体角ω的值已被求出，让我们画出ω在上面为常数的一些曲面。这些曲面将是等势面。每一个这种曲面都将以电路为其边界，而任意两个曲面ω₁ 和ω₂ 将在电路上相交于一个角度 ^〔4〕

本卷末尾的图版18，代表由一个圆形电流所引起等势面的一个截面。小圆圈代表导线的截面，图的下方的水平线是通过圆电流的中心而垂直于其平面的直线。图中画了24个等势面，对应于一系列相差为 的ω值。它们是旋成曲面，以上述垂线为其公共轴。它们显然是扁的图形，在轴的方向上较扁。它们在电路的曲线上相交于15°的角。

作用在一个等势面的任一点处的一个磁极上的力垂直于该等势面，并且和相邻等势面之间的距离成反比。图版18中围绕着导线截面的那些闭合曲线就是力线。它们是根据W. 汤姆孙爵士的论文《漩涡运动》 ^〔5〕 而画出的。

一个电路对任一磁性体系的作用

488．〕　现在我们能够由磁壳理论来推论一个电路对它附近的任一磁性体系的作用了。因为，如果我们画一个磁壳，其强度在数值上等于电流强度，而其边界在位置上和电路相重合，而磁壳本身并不通过磁性体系的任何部分，则这个磁壳对磁性体系的作用将和电路的作用相等同。

磁性体系对电路的反作用

489．〕　由此，应用作用和反作用相等而反向的原理，我们就得到这样的结论：磁性体系对电路的机械作用和它对一个以电路为其边界的磁壳的作用相等同。

一个强度为φ的位于势为V的磁力场中的磁壳，由第410节可知其势能等于 式中l、m、n是从面积元dS的正侧画起的法线的方向余弦，而积分则展布在磁壳的表面上。

现在考虑面积分N＝∬（la＋mb＋nc）dS，式中a、b、c是磁感分量。这个积分代表通过磁壳的磁感数量，或者按照法拉第的语言，它就代表代数地计算的从负侧向正侧穿过磁壳的磁感线的数目，这时把沿相反方向穿过磁壳的磁感线算作负的。

记得磁壳并不属于引起势V的那一磁性体系，从而磁力就等于磁感，我们就有 而且我们可以把M的值写成M＝-φN。

如果δx₁ 代表磁壳的任一位移，而X₁ 代表促进这一位移的力，则由能量守恒原理应有X₁ δx₁ ＋δM＝0，或者写成

现在我们已经确定了和磁壳的任一给定位移相对应的力的性质。它推动或阻碍位移，全看位移将使通过磁壳的磁感线数目增大或减小而定。

这一点对等价的电路也是成立的。电路的任一位移将受到推动或阻碍，全看位移是增大或减小沿正方向穿过电路的磁感线数目而定。

我们必须记得，磁感线的正方向就是一个磁体的指北极倾向于沿该线运动的那个方向，而当一条磁感线的方向和电路中玻璃电的流动方向之间成右手螺旋的前进方向和转动方向之间的关系时，该磁感线就是沿正方向穿过电路的。

490．〕　很明显，和整个电路的任一位移相对应的力，可以立刻就由磁壳理论导出。但这并不是一切。如果电路的一部分是可以变形以致可以独立于其他部分而移动的，我们就可以通过把磁壳分划成用可变形接头连接着的足够多的小块，来使磁壳能够发生相同种类的位移。由此我们就得出结论说，如果由于电路任一部分沿给定方向的位移而使穿过电路的磁感线数目的所增大，则这种位移将受到作用在电路上的电磁力的推动。

因此，电路的每一部分都受到一个力，促使它切割磁感线，以使电路可以包围更多的磁感线，而力在这一位移过程中做的功，在数值上就等于所增加的磁感线数目乘以电流强度。

设通有电流强度i的电路上的一个元线段ds平行于自身而运动了一段距离δx，它就将扫过一个平行四边形的面积，该平行四边形的各边分别平行于ds和δx。

如果磁感用 来代表而其方向和平行四边形的法线成一个角度ε，则对应于这一位移的N的增量可以通过将平行四边形的面积乘以 cosε来求得。这种运算的结果用一个平行六面体的体积来几何地加以表示，该平行六面体的各个棱在方向和量值上分别代表δx、ds和 这个量算作正的，如果当我们按照此处所给的次序指向这些方向时，指示器是按顺时针的方向绕着平行六面体的对角线而转动的 ^〔6〕 。这个平行六面体的体积等于Xδx。

图61

如果θ是ds和 之间的夹角，则以ds 为边的那个平行四边形的面积是ds。 而如果η是位移δx和平行四边形的法线之间的夹角，则平行六面体积是 现在 从而 就是投影在δx方向上的推动位移ds的力。

因此这个力的方向是垂直于平行四边形的，而其量值则等于

这就是一个平行四边形的面积，该平行四边形的各边在量值和方向上代表着ids和 因此，作用在ds上的力，在量值上就用这个平行四边形的面积来代表，而在方向上则用平行四边形的法线来代表；法线的正向是这样规定的：当一个右手螺旋从电流元ids的方向转向磁感 的方向时，螺旋前进的方向就是法线的正向。

我们可以用四元数的语言来表述这个力的方向和量值；我们说，这个力就是电流元矢量ids乘以磁感矢量 所得结果的矢量部分。

491．〕　于是我们就全面地确定了作用在位于磁场中的一个电路的任一部分的力。如果电路被用任何方式来推动，使它经历了各种的形状和位置以后又回到原来的地方，而且电流强度在运动过程中保持不变，则电磁力所做的总功将是零。既然这一点对电路的任意循环运动都是正确的，那就可以知道，用电磁力来使一个恒定强度的线性电路的任何部分反抗摩擦力等等而保持一种连续的旋转运动，是不可能的。

然而，如果在电流进程的某一段落上，电流从一个导体过渡到另一导体，而这两个导体可以相对滑动，则产生连续转动是可能的。

当一个电路中的一个导体和一个平滑固体或一种流体的表面有一种滑动接触时，电路就不能再看成单一的强度恒定的线性电路，而必须看成两个或更多个强度可变的电路的体系了；在这样的体系中，电流是适当分配的，就是说，在N正在增加的电路中电流具有正方向，而在N正在减小的电路中则电流有负方向。

例如，在图62所代表的仪器中，OP是一个活动的导体；它的一端放在一个汞杯O中，而其另一端则浸入一个和O同心的圆形汞槽中。

图62

电流沿AB进入，并在圆槽中分成两部分；其中一部分x沿着圆弧BQP流动，而另一部分y则沿着BRP流动。这些电流在P点汇合并沿着活动导体PO和电极OZ而流向电池的锌极。沿PO和OZ的电流的强度是x＋y，即i。

在这儿，我们有两个电路。一个是ABQPOZ，其电流强度为x，沿正方向运行；另一个是ABRPOZ，其电流强度为y，沿负方向运行。

设 是磁感，并设它的方向向上而垂直于圆槽的平面。

当OP沿逆时针的方向转过一个角θ时，第一个电路的面积增大 而第二个电路的面积减小同一数量。既然第一个电路中的电流强度是x，它所做的功就是 而既然第二个电路中的电流强度是-y，它所做的功就是 因此，所做的总功就是 或 只依赖于PO中的电流强度。由此可见，如果i被保持为恒定，臂OP就被一个均匀的力推动着沿圆周不停地转动；这个力的力矩是 如果像在北半球一样 是向下的，而且如果电流是向内的，则转动将是沿负方向的，即沿PQBR方向的。

492．〕　现在我们能够从磁体和电流的相互作用过渡到一个电路对另一个电路的作用了。因为我们知道，一个电路C₁ 对任一磁性体系M₂ 而言的磁学性质，等同于一个磁壳S₁ 的磁学性质，该磁壳的边界和电路相重合，而其强度在数值上等于电流的强度。设磁性体系M₂ 是一个磁壳S₂ ，则S₁ 和S₂ 之间的相互作用等同于S₁ 和一个电路C₂ 之间的相互作用，该C₂ 和S₂ 的边界相重合，其电流强度等于S₂ 的强度；而且后一相互作用又等同于C₁ 和C₂ 之间的相互作用。

因此，两个电路C₁ 和C₂ 之间的相互作用，等同于对应磁壳S₁ 和S₂ 之间的相互作用。

我们在第423节中已经考察过边界为闭合曲线s₁ 和s₂ 的两个磁壳的相互作用。如果我们令 式中ε是线元ds₁ 和ds₂ 的方向之间的夹角，r是它们之间的距离，一次积分是沿s₂ 计算的，而另一次积分则是沿s₁ 计算的，而且，如果我们把M叫做两条闭合曲线s₁ 和s₂ 的势，则由两个以s₁ 和s₂ 为边界而其强度为i₁ 和i₂ 的磁壳的相互作用而引起的势能是-i₁ i₂ M，而促进任一位移δx的力X就是

关于由任一电路的存在而引起的作用在另一电路的任一部分上的力的全部理论，都可以从这一结果推演出来。

493．〕　我们在本章中所采用的方法，是法拉第的方法。我们在下一章中将按照安培的方法而从一个电路的一部分对另一电路的一部分的直接作用开始。在本章中我们不这样做，而是首先必须证明一个电路和一个磁壳对一个磁体产生相同的效应，换句话说，我们要确定由电路引起的磁场的本性。其次我们证明，一个电路当放在任一磁场中时会和一个磁壳受到相同的力。这样我们就能确定作用在位于任一磁场中的电路上的力。最后，通过假设磁场是由第二个电路引起的，我们就能确定一个电路对另一电路的整体或任一部分的作用。

494．〕　让我们把这种方法应用于一个事例：一个无限长的直电流作用在一个平行直导体的一部分上。

让我们假设，一个电流i在第一个导体中竖直向下流动。在这种情况下，一个磁体的指北端将指向一个从电流的轴线朝磁体看去的人（头上脚下）的右手。

因此，磁感线是一些水平的圆，它们的圆心在电流的轴线上，而它们的正方向是由北向东向南再向西。

设把另一个向下的竖直电流放在第一个电流的正西方。在那儿，由第一个电流引起的磁感线是指向北方的。作用在第二个电路上的力的方向，通过把一个右手螺旋的扳手柄从最下方即电流的方向转向北方即磁感的方向来确定。这时螺旋将向东运动，就是说，作用在第二个电路上的力是指向第一个电流的，或者普遍地说，既然现象只依赖于各电流的相对位置，两个载有同向电流的电路是互相吸引的。

用同样的方式，我们可以证明两个载有异向电流的电路是互相排斥的。

495．〕　正如我们在第479节中已经证明的那样，在离强度为i的长直电流的r距离处，磁感强度是 由此可见，和第一个导体相平行并载有强度为i′而方向相同的电流的第二个导体的一个部分，将被一个力 吸向第一个导体，此处a是那一导体部分的长度，而r是离开第一个导体的距离。既然a和r之比是一个数字量而和这些长度的绝对量度无关，两个电流的乘积当用电磁单位制来测量时就必须具有力的量纲，由此可见单位电流的量纲就是

496．〕　确定作用在一个电路上的力的方向的另一种方法，就是考虑电流的磁作用和其他电流及磁体的磁效应的关系。

如果在载有电流的导线的一侧，由电流引起的磁效应是和由其他电流引起的磁效应同向或接近同向的，则在导线的另一侧这些力将是反向或接近反向的，而且，作用在导线上的力将从二力互相加强的一侧指向二力互相反对的一侧。

例如，如果一个向下的电流被放在一个指向北方的磁力场中，它的磁作用将在西侧指向北方而在东侧指向南方的。由此可知，二力在西侧互相加强而在东侧互相反对，从而电路就将受到一个从西向东的力的作用。

在本书末尾的图版17中，小圆圈代表载有向下的电流的导线的一个截面，导线放在一个指向图左的均匀磁力场中。导线下方的磁力大于导线上方的磁力。因此导线将被促使从图的下方运动向图的上方。

497．〕　如果两个电流位于同一平面内但是并不平行，我们也可以应用这一原理。设一个导体是一根位于纸面上的无限长的直导线。在电流的右侧 ^〔7〕 ，磁力是向下作用的，而在其左侧则是向上作用的。对于由同一平面内第二个电流的任意短段引起的磁力来说，情况也相同。如果第二个导体位于第一个导体的右侧，则磁力将在它的右侧互相加强而在它的左侧互相反对。由此可见，载有第二个电流的电路将受到一个力的作用，把它从自己的右侧推向左侧。这个力的量值只依赖于第二个电流的位置而不依赖于它的方向。如果第二个电路是放在第一个电路的左侧的，则它将被从左推向右。

图63　用一个右手螺旋来表示的电流和磁感线之间的关系

由此可见，如果第二个电流是和第一个电流同向的，则它的电路会被吸引；如果是反向的，则被推斥；如果它是垂直于第一个电流并向离此远去的方向流动的，则它会被迫使沿第一个电流的方向而运动；而如果它是向着第一个电流而流动的，则它会被迫使沿着和第一个电流的方向相反的方向而运动。

在考虑两个电流的相互作用时，用不着记住我们曾经力图用一个右手螺旋来阐明的电和磁之间的关系。即使我们忘掉了那些关系，只要我们始终坚持二种关系形式中的一种，我们就将得到正确的结果。

498．〕　现在让我们把在此以前已经研究过的电路的磁现象综述一下。

我们可以设想电路是一个伏打电池和一根连接电池两极的导线，或是一个温差的电装置，或是一个充电的莱顿瓶和一根连接其正、负极的导线，或是沿着一个确定的路径产生电流的任何其他的位置。

电流要在它的附近产生磁现象。

如果画一条任意的闭合曲线并沿着整条曲线计算磁力的线积分，那么，如果闭合曲线并不和电路互相穿套，则线积分是零，但是，如果它和电路互相穿套，以致电流穿过这条闭合曲线，则线积分是4πi，而且这个值是正的，如果沿闭合曲线的积分方向和一个沿电流流向而穿过曲线的人所看到的时针转动方向相重合的话。在一个沿着积分方向在曲线上运动着而穿过电路的人看来，电流的方向将和时针转动方向相同。我们可以用一种说法来表达这一情况，那就是说，这两条闭合曲线的方向之间的关系，可以通过沿着电路和积分路径各画一个右手螺旋来加以表达。如果当我们穿过其中一条闭合曲线时看到它的螺纹线的转动方向和另一个螺旋的前进方向相重合，则线积分为正，而在相反的情况下则线积分为负。

499．〕　线积分4πi只依赖于电流的流量而不依赖于任何别的东西。它并不依赖于电流所通过的导体的本性，例如它不依赖于这一导体是一种金属，一种电解质，还是一种非理想导体。我们有理由相信，甚至当并不存在真正的导电而是只有一种电位移的变化时，例如像当充电或放电时发生在莱顿瓶的玻璃中的情况那样，电的运动的磁效应也是完全相同的。

另外，线积分的值4πi也不依赖于闭合曲线画在什么样的媒质中。不论闭合曲线是完全在空气中画出的，还是经过了一个磁体、一块软铁或任何别的顺磁性或抗磁性的物质，积分值都是相同的。

500．〕　当一个电路被放在一个磁场中时，电流和场的其他组成之间的相互作用依赖于磁感在以电路为边界的任一曲面上的面积分。如果通过电路整体或其一部分的运动，这个面积分可以增大，则将有一个机械力倾向于使导体或其部分按照给定的方式而运动。

使面积分增大的那种导体运动，就是垂直于电流方向而扫过磁感线的导体运动。

如果画一个平行四边形，使它的各边平行于并正比于任一点上的电流强度和同一点上的磁感，则作用在导体的单位长度上的力在数值上等于［正比于］这个平行四边形的面积；这个力垂直于平行四边形的面积，它的方向就是当从电流的方向向磁感的方向转动一个右手螺旋时螺旋中轴前进的方向。

图64　用三个右手螺旋来表示的运动正方向和转动之间的关系

由此我们就得到磁感线的一种新的电磁性的定义。它就是永远和作用在导体上的力相垂直的那种曲线。

它也可以定义成这样的曲线：如果有一个电流沿此线运行，则载有这一电流的导体将不会受到任何力。

501．〕　必须认真记住，促使一个载流导体扫过磁力线而运动的机械力，不是作用在电流上而是作用在电流所通过的导体上的。如果导体是一个转动圆盘或一种流体，它就将服从这个力而运动，而这种运动可能和它所载有的电流的一种位置变化相伴随，也可能不和这种位置变化相伴随。［但是，如果电流可以在一个固定的导体或导线网路中自由地选取任意路径，则当使一个恒定的力作用在体系上时，电流通过导体的路径并不会发生永久性的变化，而在某种被称为感生电流的瞬变现象已经衰退以后，人们就将发现电流的分布是和没有任何磁力在起作用时的电流分布相同的。］ ^〔8〕

唯一对电流起作用的力就是电动力，这种力必须和本章所考虑的机械力区别开来。

第三十五章　安培关于电流的相互作用的研究

502．〕　我们在上一章中已经考虑了由一个电路所引起的磁场的本性，也考虑了作用在位于一个磁场中的载流导体的机械作用力。由此出发，我们接下去通过确定由一个电路引起的磁场对另一个电路的作用，来考虑了一个电路对另一个电路的作用。但是，几乎就在奥斯特的发现刚刚发表以后，一个电路对另一电路的作用是由安培用一种直接的方式来最初研究了的。因此我们将给出安培方法的一个轮廓，而在下一章中再回到本论著所用的方法中来。

知道了安培的那些想法，属于那种承认远距作用的体系，而且我们将发现，建筑在这些想法上的一种引人注目的思辨和考察的过程，已经由高斯、韦伯、F. E. 诺依曼、黎曼、比提、C. 诺依曼、洛仑茨以及别的人进行过，而且在新事实的发现和电理论的形成方面都得到了引人注目的结果。参阅第846～866节。

我所企图彻底追随的想法，是那些关于作用通过一种媒质从一部分传到相邻部分的想法。这些想法曾由法拉第广泛应用，而它们的数学形式的发展，以及结果和已知事实的对比，曾经是我在若干已发表论文中的目标。从一种哲学观点出发来对两种在原理上如此完全相反的方法的结果进行的比较，必将在研究科学思维的条件方面导致宝贵的资料。

503．〕　安培关于电流的相互作用的理论，是建筑在四个实验事实和一条假设上的。

安培的基本实验，全都是曾被称为比较力的零点法的实例。参阅第214节。在零点法中，不是通过向物体传送运动的动力学效应来测量力，也不采用使力和一个物体的重量或一根悬丝的弹性相平衡的静力学方法，而是使由相同的起源引起的两个力同时作用在已经处于平衡的一个物体上，而并不造成任何效应，这就表明这两个力本身是互相平衡的。这种方法对于比较电流在通过不同形状的电路时的效应来说是特别有价值的。通过把所有的导体接成一个连续的系列，我们就可以保证电流的强度在它的行程的每一点上都相同，而且，既然电流在整个行程的所有各点上几乎是同时开始的，我们就可以通过观察一个物体完全不受电流的开始或停止的影响，来证明由电流的作用而引起的对一个悬挂物体的力是互相平衡的。

504．〕　安培秤就是一个可以绕竖直轴而转动的很轻的架子，上面装有一根形成两个面积相等的电路的导线；两个电路位于相同的或平行的平面内，而两个电路中的电流则是沿相反向流动的。这种装置的目的是要消除地磁对导线的影响。当一个电路可以自由运动时，它就倾向于把自己摆得可以包围尽可能多的磁感线。如果这些磁感线是由地磁引起的，对于一个位于竖直平面内的电路来说，这一位置就将是电路平面采取磁东磁西的方位，而电路流向则和太阳的表观运动方向相反。

通过把位于平面内载有方向相反的电流的两个等面积的电路刚性地连接在一起，就可以形成一种不受地磁影响的、从而被称为“无定向的”组合，见图65。然而，这种装置却会受到起源于一些电流或磁体的力的作用；那些电流或磁体离它足够近，以致对两个电路的作用并不相同。

图65

505．〕　安培的第一个实验是关于两个相等的电流的效应的，两个电流很靠近而方向相反。一根包有绝缘材料的导线被从中间折成双股，并被放在无定向秤的一个电路附近。当使一个电流通过导线和秤时，秤的平衡不受干扰，表明两个相距很近而方向相反的相等电流是互相中和的。如果不是用两根并在一起的导线，而是把一根绝了缘的导线放在一根金属管的中间，而电流通过导线并由金属管返回，则管外的作用不仅近似地而且是准确地等于零。这一原理在电学仪器的制造中是有很大重要性的，因为它提供了一种使电流通入并流出任一电流计或其他仪器的适当手段，可以保证电流在往来于仪器中时并不产生任何电磁效应。在实践中，一般把导线并在一起也就够了，这时必须注意使它们互相之间很好地绝缘，但是，在它们经过仪器的灵敏部件的地方，最好是把一个导体做成管状而把另一个导体做成管中的导线。请参阅第683节。

506．〕　在安培的第二个实验中，其中一根导线被弯上了一些小的弯曲，但是在它的每一部分，仍然和直导线靠得很近。经发现，通过曲导线并由直导线返回的一个电流，对无定向秤并无影响。这就证明，通过导线之任一弯曲部分的电流的效应，是和通过弯曲部分两端之连接直线的相同电流的效应相等价的，如果弯曲导线的任何部分都不是离直导线很远的话。由此可见，一个电路的任一元段都和两个或更多个分量元段相等价，分量元段和合元段之间的关系与分位移和合位移或分速度和合速度之间的关系相同。

图66

507．〕　在第三个实验中，一个只能沿其长度的方向而运动的导体代替了无定向秤。电流在一些空间固定点上进入和离开这一导体，而且经发现，放在导体附近的任何闭合电路都不能移动导体。

在这一实验中，导体是一根挂在架子上的圆弧形导线，可以绕竖直轴而转动。圆弧是水平的，其圆心在竖直轴上。两个小槽中注有汞，凸形的汞表面离出于槽面以上。二槽被放在圆弧下面，调节得汞面触及导线。导线为铜质，经过很好的汞齐化。电流从一个槽中通入，流经二槽之间的圆弧部分并从另一槽中流出。这样，圆弧的一部分就通有电流，而圆弧在同时又可以颇为自由地沿着它自己的方向运动。现在可以使任意的电流或磁体向这个活动导体靠近，而并不引起使它沿自身长度的方向发生运动的最小的倾向。

508．〕　在第四个实验中，和无定向秤一起，使用了两个电路；其中每一个，都和秤中的一个电路相似，但是其中之一即C，却具有n倍的线度，而另一个即A，则具有1/n的线度。这些电路被放在我们称之为B的秤电路的两侧，并且它们相对于秤电路来说是相似地摆放的，C到B的距离是B到A的距离的n倍。电流的方向和强度，在A和C中都是相同的。它在B中的方向可以相同或相反。在这些情况下就发现，只要各电路具有上述的关系，不论三个电路的形状和距离是什么，B都会在A和C的作用下处于平衡。

图67

既然整体电路之间的作用可以看成是由各电路元段之间的作用引起的，我们就可以应用确定这些作用的下述方法。

设图67中的A₁ 、B₁ 、C₁ 是三个电路中的对应元段，并设A₂ 、B₂ 、C₂ 是各电路其他部分的对应元段。于是，B₁ 对A₂ 而言的状况就和C₁ 对B₂ 而言的状况相似，但是C₁ 和B₂ 的距离和尺寸却分别是B₁ 和A₂ 的距离和尺寸的n倍。如果电磁力的定律是距离的函数，则不论其形式和性质如何，B₁ 和A₂ 之间的作用都可以写成

而C₁ 和B₂ 之间的作用可以写成 式中a、b、c是A、B、C中的电流强度。但是nB₁ ＝C₁ ，nA₂ ＝B₂ ， 而a＝c。由此即得 而由实验可知此力等于F，因此我们就有 或者说，力是反比于距离的平方而变的 ^〔9〕 。

509．〕　参照这些实验可以注意到，每一个电流都形成一个闭合的回路。安培所用的由电池产生的电流当然是形成闭合回路的。人们可能假设，在导体通过一个火花而放电的事例中，我们似乎有一种形成一条开放的有限的线段的电流，但是，按照本书的观点，即使这一事例也是一个闭合回路的事例。还不曾做过有关非闭合电流之相互作用的任何实验。因此，任何关于两个电路元的相互作用的说法都不能说是建筑在纯实验的基础上的。确实，我们可以把电路的一部分弄成活动的，以确定其他电流对它的作用，但是这些电流和活动部分中的电流一起，必然形成一些闭合回路，因此实验的最终结果就是一个或多个闭合电流对一个闭合电路的整体或部分的作用。

510．〕　然而，在现象的分析中，我们却可经把一个闭合电路对它自己的或另一电路的一个元段的作用看成若干个分开的力的合力；那些分开的力依赖于第一个电路可以为了数学的目的而被设想分成的那些分开的部分。

这只是作用力的一种数学的分析，从而是完全合理的，不论这些力是否真正分别地起作用。

511．〕　我们将从考虑空间中代表电路的两条曲线之间的以及这些曲线的元线段之间的纯几何关系开始。

图68

设空间中有两条曲线。在其中每一条曲线上各取一固定点，从该点开始在曲线上沿确定的方向测量弧长。设A，A′是这两个点。设PQ和P′Q′是两条曲线上的线段元。

设　　

并设距离PP′用r来代表。设角P′PQ用θ来代表，PP′Q′用θ′来代表，并设这些角的平面之间的夹角用η来代表。

两个线段元之间的相对位置由它们之间的距离r用三个角度θ、θ′及η来充分确定，因为，如果这些量已经给定，则它们的相对位置就像它们形成同一刚体的各部分一样的完全确定了。

512．〕　如果我们使用直角坐标，并设x、y、z为P的坐标，x′、y′、z′为P′的坐标，并用l、m、n和l′、m′、n′分别代表PQ和PQ′的方向余弦，则有

以及　　

式中ε是各线段元本身的方向之间的夹角，从而

再者　　

而且，对s′求 的导数，即得

因此我们可以把三个角θ、θ′和η以及辅助角ε用r对s和s′的微分系数表示出来如下：

513．〕　其次我们将考虑，可以用什么方式来数学地设想线段元PQ和P′Q′将会相互发生作用，而当这样做时，我们在起初并不假设它们的相互作用力一定是沿着它们的连线的。

我们已经看到，可以假设每一线段元被分解成一些别的线段元，如果这些分量当按照矢量加法的法则结合起来时将作为它们的合量而给出原有的线段元的话。

图69

因此我们将认为ds被分解成沿r方向的cosθds＝α和在平面P′PQ内沿垂直于r的方向的sinθds＝β。

我们也将认为ds′被分解成沿r之反方向的cosθ′ds′＝α′，平行于β之测量方向的sinθ′cosηds′＝β′和垂直于α′及β′的sinθ′sinηds′＝γ′。

一方面是分量α和β，另一方面是α′、β′、γ′，让我们考虑二者之间的作用。

（1）α和α′位于同一直线上。因此它们之间的力必然沿这一直线。我们将假设这是一个吸引力，等于Aαα′ii′，式中A是r的一个函数，而i、i′分别是ds和ds′中的电流强度。这个表示式满足随着i和随着i′而变号的条件。

（2）β和β′互相平行，并垂直于它们的连线。它们之间的作用力可以写成Bββ′ii′。这个力显然是沿着β和β′的连线的，因为它必然位于β和β′所在的平面内，而且如果我们沿相反的方向测量β和β′，这个表示式的值将保持不变，这就表明，如果它代表一个力，这个力就没有沿β的分量，从而必然是沿着r的。让我们假设，当这个表示式为正时，它就代表一个吸引力。

（3）β和r′互相垂直并垂直于它们的连线。有着这种关系的电路元之间的唯一可能的作用就是一个轴线平行于r的力偶。我们现在关心的是力，因此我们将对这个力偶不予考虑 ^〔10〕 。

（4）如果α和β′互相作用，则它们之间的作用力必须写成Cαβ′ii′。如果我们反转测量β′的方向，这个表示式就会变号。因此它必然不是代表一个沿β′方向的力就是代表一个位于α和β′的平面内的力偶。既然我们不研究力偶，我们将认为它是一个沿β′方向作用在α上的力。

当然也有一个相等的力沿相反的方向作用在β′上。

根据同样的理由，我们有一个力Cαγ′ii′沿着γ′方向而作用在α，和一个力Cβα′ii′沿着和β的测量方向相反的方向而作用在β上。

514．〕　将结果综合起来，我们发现对ds的作用是由下列各力组成的：

让我们假设，对ds的作用是三个力的合力，即沿r方向的Rii′dsds′，沿ds方向的Sii′dsds′和沿ds′方向的S′ii′dsds′；于是，用θ、θ′和η表示出来，就有

用r的微分系数表示出来，就有　　

用l、m、n和l′、m′、n′表示出来，就有

式中ξ、η、ζ分别代表x′－x、y′－y和z′－z。

515．〕　其次我们必须计算有限电流s′对有限电流s作用的力，电流s从s＝0的点延伸到使它具有值s的P点。电流s′从s′＝0的A′点延伸到使它具有值s′的P′点。其中任一电流上各点的坐标是s的函数或s′的函数。

如果F是点的位置的任一函数，我们就将利用下标（s，0）来标明它的值从A到p的增量，例如F_（s，0） ＝F_p －F_A 。当电路闭合时这样的［增量］函数必照为零。

设A′P′对AP作用的总力的分量是ii′X、ii′Y和ii′Z。于是ds′对ds作用的平行于X的分力就是

由此即得　　

按（12）式把R、S和S′的值代入，记得

并按l、m、n集合各项，我们就得到

既然A、B和C是r的函数，我们就可以写出

积分是从r到∞计算的，因为当r＝∞时A、B、C为零。

由此即得　　

516．〕　现在，我们由安培的第三个平衡事例可知，当s′是一个闭合的电路时作用在ds上的力是垂直于ds的，或者换句话说，力在ds本身的方向上的分量是零。因此，让我们通过取l＝1、m＝0、n＝0来把x轴的方向弄成平行于ds。于是方程（15）就变成

为了求出作用在ds的单位长度上的力 我们必须对s′求这一表示式的积分。对第一项进行分部积分，我们就得到　　

当s′是一个闭合电路时，这一表示式必为零。第一项将自动地等于零。然而第二项一般在闭合电路的事例中将不为零，除非积分号下的量恒为零。由此可见，为了满足安培的条件，我们必须令　　

517．〕　现在我们可消去P而求得 的普遍值了：

当s′是一个闭合电路时此式的第一项为零，而如果我们令

式中的积分沿闭合回路s′计算，我们就可以写出

同理可得　　

各量α′、β′、γ′有时被称为电路s′对P点而言的决定分量（determinants）。它们的合量被安培称为电磁作用的准线。

由方程可见，分量为 和 的力既垂直于ds又垂直于这一准线，而且在数值上是由以ds和准线为边的平行四边形的面积来代表的。

用四元数的语言来说，作用在ds上的力，是准线和ds的乘积的矢量部分。

既然我们已经知道准线和由电路s′中的单位电流引起的磁力是同一个东西，今后我们就将把准线叫做由该电路引起的磁力。

518．〕　现在我们将完成两个有限的、不论闭合与否的电路之间的作用分力的计算了。

设ρ是r的一个新函数，满足　　

则由（17）和（20）可得　　

而方程（11）变成　　

利用这些分力值，方程（13）就变为

519．〕　现在令　　

这些方程在空间的任一给定点上都有定值。当各电路是闭合的时，它们就对应于各电路的矢势的分量。

设L是r的一个新函数，满足　　

并设M是二重积分　　

此式当各电路是闭合的时就变成它们的相互作用势，于是（27）就可以写成

520．〕　在给定的积分限间对s和s′求积分，我们就得到

此处L的下标指示距离r，而L就是该距离的函数，F和F′的下标指示它们在那里取值的各点。

Y和Z的表示式可以仿照此式写出。分别用dx、dy、dz乘这些分量，我们就得到

式中D是全微分的符号。

既然Fdx＋Gdy＋Hdz通常并不是x、y、z的一个函数的全微分，对于其中有一个电流并不闭合的那些电流来说，通常Xdx＋Ydy＋Zdz就不是一个全微分。

521．〕　然而，如果两个电流都是闭合的，含L、F、G、H、F′、G′、H′的各项就都不存在，从而就有　　

式中M是两个载有单位电流的闭合电路的相互势。M这个量表示的是当其中一传导电路平行于自身而从无限远处移动到它的实际位置上时电磁力对它做的功。任何使M增大的位置变化都会受到电磁力的促进。

可以像在第490、596节中那样证明，当电路的运动并不平行于它自身时，作用在它上面的力仍然由一个电路对另一电路的势M的改变来确定。

522．〕　在这种研究中，我们所曾用到的唯一实验事实就是由安培确证的事实，那就是，一个闭合电路对另一电路之任一部分的作用力垂直于那一部分。本研究的每一其他部分都只依赖于和曲线在空间中的性质有关的纯数学的考虑。因此，利用特别适用于表示这种几种关系的一种数学方法即哈密顿的四元数方法的概念和语言，这种推理就可以用一种更加凝练得多和更加恰当得多的形式表达出来。

这一点已由泰特教授在Quarterly Journal of Mathematics，1866上和在他的著作Quaternions，§399中针对安培的原如研究做过了，而读者也很容易把相同的方法转用到这里给出的更普遍一些的研究方面来。

523．〕　到此为止，我们并没有针对A、B、C各量做出任何假设，只除了它们是二电路元之间的距离r的函数以外。我们其次必须确定这些函数的形式，而为此目的，我们将利用第508节中安培的第四个平衡事例。在那里曾经证明，如果一组两个电路的一切线度和距离都按同一比例发生了变化而其电流保持不变，则两个电路之间的作用将保持不变。

现在，对单位电流而言的电路之间的力是 而既然此量和体系的线度无关，它就必然是一个数字量。由此可见，M本身，即二电路之相互势的系数，必然是一个具有长度量纲的量。由方程（31）可以推知，ρ必然是长度的倒数，从而由（24）可知B－C必然是长度平方的倒数。但是，既然B和C都是r的函数，B－C就必然是r平方的倒数或该倒数的倍数。

524．〕　我们所采用的倍数依赖于我们的单位制。所谓电磁单位制的名称，是由于这种单位制和早先用于磁学测量的单位制相一致。如果我们采用电磁单位制，则M的值应该和分别以两个电路为边界的两个单位强度磁壳的势的值相重合。由第423节可知，这一事例中的M值是　　

积分是在两个电路上沿着正方向计算的。取此式作为M的数值并和（31）式相比较，我们就得到　　 而

525．〕　现在我们可以把由ds′的作用引起的对ds的作用力的分力表示成和实验事实相一致的最普遍形式了。

作用在ds上的力由三个吸引力组成，即

式中 而且，既然C是r的一个未知函数，我们就只知道Q是r的某一函数。

526．〕　不必做出某种假设，Q这个量就可以由实验测定；在实验中，主动电流形成一个闭合回路。如果我们像安培一样假设电路元ds和ds′之间的作用是沿着它们的连线的，则S和S′必然不存在，而Q必然是常量或零。于是力就简化为一个吸引力，其值是

安培在磁单位制被确定的很久以前就进行了这种研究，他使用了其数值为此值之一半的一个公式，那就是　　

这里的电流强度是用所谓电动力学单位来量度的。如果i、i′是用电磁单位来量度的电流强度，而j、j′是用电动力学单位来量度的同两个电流强度，则显然有

由此可见，电磁制中的电流单位大于电动力学制中的电流单位，二者之比为 比1。

考虑电动力学单位的唯一意义就在于电流之间的作用力定律的发现者安培本来是采用了这种单位的。在建筑在这种单位上的计算中， 将频繁地出现；这是不方便的，而且电磁单位还有一个很大的优点，那就是它可以和我们所有的磁学公式在数值上互相符合。既然学生很难记住是不是必须乘上或除上一个 我们从现在起将只使用电磁单位制，正如韦伯和大多数别的作者们所采用的那样。

既然Q的形式和值对迄今做过的至少主动电流永远是闭合电流的任一实验并无影响，那么，如果我们愿意，我们就可以采用任何看来可以简化公式的Q值。

例如，安培假设了两个电路元之间的力是沿着它们的连线的。这就给出Q＝0，

格喇斯曼 ^〔11〕 假设两个沿同一直线的电路元没有相互作用。这就给出

如果我们愿意，我们就可以假设相隔一个给定距离的两个电路元之间的吸引力正比于它们之间的夹角的余弦。在这种情况下，就有

最后，我们也可能假设吸引力和斜向力只依赖于各电路元和它们的连线之间的夹角，那么我们就会有　　

527．〕　在这四种不同的假设中，安培的假设无疑是最好的，因为它是唯一可以把作用在两个电路元上的力弄得不仅相等而反向而且还沿着二电路元之连线的一种假设。

第三十六章　论电流的感应

528．〕　奥斯特关于电流之磁作用的发现，通过一种直接的推理导致了由电流引起的磁化的发现，以及电流之间的机械力的发现。然而，直到1831年，已经在若干时间内努力尝试了用磁作用或电作用来产生电流的法拉第，才终于发现了磁电感应的条件。法拉第在他的研究中所用的方法，包括了对实验的一种首尾一贯的依靠，用来作为一种考验他的想法之真确性的手段，也包括了在实验的影响下对概念的一种不断培育。在他已发表的研究中，我们发现这些概念是用一种语言来表达的；那种语言特别适用于一门新生的科学，因为它在那些习惯于已确立的数学的思想形态的物理学家们看来是多少有点陌生的。

安培用以建立了电流之间的机械作用定律的那种实验研究，是科学中最辉煌的成就之一。

整个的东西，理论和实验，就仿佛是充分成长地和全身披挂地从“电学中的牛顿”的头脑中跑出来的一样。它在形式上是完美无缺的，在精确性上是无懈可击的，而且它被总结在一个公式中，由此公式可以推出所有的现象，从而它必将永远成为电动力学中的主导公式。

然而，尽管安培的方法已被塑造成一种归纳的形式，它却无助于我们追溯指引了它的形成的那些想法。我们几乎不能相信安培果真是借助于他所描述的那些实验来发现了作用定律的。事实上，我们不免猜想他本人所告诉我们的情况 ^〔12〕 ，就是说，他通过某种他不曾展示给我们的过程而发现了定律，而他在已经建立起了一种十全十美的演证之后，就销毁了借以建立这种演证的那个脚手架的一切痕迹。

另一方面，法拉第却向我们既展示了他那些成功的实验也展示了他那些不成功的实验，既展示了他那些发展成熟的想法也展示了他那些粗略的想法，而读者不论在归纳能力方面比他差了多少，却对他感到同情多于钦佩，而且会被诱使着相信，假若自己有机会，自己也将是一个发现家。因此，每一个学生都应该阅读安培的研究，把它看成叙述科学发现的风格的一种辉煌范例，但是他也应该研习法拉第的著作，以期借助于即将发生在法拉第向他介绍的那些新发现的事实和他自己头脑中那些新生的意念之间的作用和反作用，来培育一种科学精神。

也许是为了对科学有益，法拉第虽然彻底意识到了空间、时间和力的基本形态，但他却不是一个专业的数学家。他并没有被引诱着进入纯数学方面的许多有趣的研究，而假若他那些发现曾经用数学的形式展示出来，它们是会启迪人们去进行那许多研究的。另外，他也并没觉得有责任把他那些结果挤到一种当时的数学口味可以接受的样式中去，或者是把它们用一种数学家们会钻研的形式表示出来。因此他就可以随心所欲地做他的正题工作，把他的想法和他的事实协调起来，并且用一种自然的、非专门的语言把它们表达出来。

我决心撰写这本论著，主要就是希望把这些想法弄成一种数学方法的基础。

529．〕　我们习惯于认为宇宙是由一些部分构成的，而数学家们通常是首先考虑单独一个粒子，然后再考虑该粒子和另一粒子的关系，如此等等。一般认为这就是最自然的方法。然而，设想一个粒子却需要一种抽象过程，因为我们的一切感觉都是和一些有广延的物体联系着的，因此，关于一个在给定时刻存在于我们意识中的全部事物的概念，也许就是和关于任一个体事物的概念同样原始的一个概念。由此可见，有可能存在一种数学方法，在那种方法中，我们从整体进而考虑部分，而不是从部分进而考虑整体。例如，欧几里得在他的第一本书中把一条线设想成由一个点运动而成的，把一个面设想成由一条线扫掠而成的，把一个体设想成由一个曲面生成。但是他也把面定义为体的界面，把线定义为面的边沿，而把点定义为线的端。

按照类似的方式，我们可以把一个物质体系的势设想成通过某种按场中各物体的质量求积分的一种过程而求得的一个函数，或者，我们也可以假设质量本身除了 的体积分以外并无别的数学意义，此处ψ是势。

在电学研究中，我们可以利用一些公式，它们所包括的量是某些物体距离以及这些物体中的电量或电流，或者，我们也可以利用包括另一些量的公式，而其中每一个量都在空间中是到处连续的。

在第一种方法中用到的数学手续是沿曲线、在曲面上或在整个的有限空间内部求积分，而在第二种方法中用到的则是偏微分方程和各该方程在整个空间中的积分。

法拉第的方法似乎是和这两种处理方式中的第二种密切联系着的。他从来不认为物体是彼此之间除了距离以外没有任何的东西而存在着，而且是按照距离的某种函数而相互作用着的。他把整个空间设想成一个力场，力线一般是弯曲的，而由任一物体引起的那些力线都从该物体向一切方向延伸，其方向将受到其他物体之存在的影响。他甚至把属于一个物体的力线在某种意义上说成物体本身的一部分 ^〔13〕 ，因此在它对远处物体的作用中，它并不能说是在它不存在的地方起作用的。然而在法拉第看来这并不是一个主要的概念。我想他却或许会说，空间的场中是充满了力线的，它们的分布依赖于场中各物体的分布，而作用在每一物体上的机械作用力和电作用力则取决于连接在物体上的力线。

磁电感应现象 ^〔14〕

530．〕　1．由原电流的变化所引起的感应

设有两个导体电路，“原电路”和“副电路”。原电路中接有电池，利用这个电池，原电流可以被产生、保持、停止或反向。副电路中接有电流计，以指示可能在该电路中形成的任何电流。这个电流计被放在离原电路的所有各部分都很远的地方，以致原电流对它的示数并无可觉察的直接影响。

设原电路的一部分是一条直导线，而副电路的一部分是和这条直导线靠近并平行的另一条直导线，二电路的其他部分全都相距很远。

经发现，在向原电路中的直导线送入一个电流的那一瞬间，副电路中的电流计指示出第二条直导线中有一个反方向的电流。这叫做感生电流。如果使原电流保持恒定，感生电流很快就会消失，而原电流就显得对副电路并无任何影响。如果现在使原电流停止，一个副电流就会被观察到，它是和原电流同向的。原电流的每一变化都在副电路中引起电动势。当原电流增大时，电动势是沿着和电流相反的方向的。当原电流减小时，电动势是沿着和电流相同的方向的。当原电流不变时，不存在任何电动势。

这些感应效应会通过两个电路的靠拢而有所加强。它们也会由于把两个电路作成相距很近的两个圆形或螺线形的线圈而被加强，并且会通过在线圈中放入一棍铁棒或一束铁丝而被更大地加强。

2．由原电路的运动所引起的感应

我们已经看到，当原电路保持不变和静止时，副电流是顽强地不出现的。

现在让原电流保持不变，但是却使原直导线向副直导线靠拢。在靠拢的过程中，将出现一个和原电流反向的副电流。

如果让原电路远离副电路而运动，就会出现一个和原电流同向的副电流。

3．由副电路的运动所引起的感应

如果副电路被移动，则副电流当副导线靠近原导线时和原电流反向，而当副导线离开原导线而运动时和原电流同向。

在所有的事例中，副电流的方向都是使两个导体之间的机械作用力和运动方向相反，当导线互相靠拢时是一个推斥力，当导线互相远离时是一个吸引力。这个很重要的事实是由楞次 ^〔15〕 确定的。

4．由一个磁体和副电路的相对运动所引起的感应

如果我们把原电路换成一个磁壳，其边界和该电路相重合，其强度在数值上等于电路中的电流强度，而其表面对应于电路的正面，则由这个磁壳和副电路的相对运动所引起的现象和在原电路未被代换时观察到的现象相同。

531．〕　所有这些现象可以总结在一条定律中。当沿正方向穿过副电路的磁感线的数目变化时，就有一个电动势在该电路中起作用，这个电动势是用穿过电路的磁感的减少率来量度的。

532．〕　例如，设火车的两根铁轨是和地面绝缘的，但是在其一端却通过一电流计而互相连接，此外并假设电路通过离此端距离为x处的车轮和车轴而形成闭路。忽略车轴离铁轨水平面的高度，副电路中的感应就是由地球磁力的竖直分量引起的；在北半球，这一分量指向下方。由此可见，如果铁路的轨距是b，则电路的水平面积是bx，而通过它的磁感的面积分是Zbx，此处Z是地球的磁力的竖直分量。既然Z是向下的，电路的较低一面就应该被当做正面，而电路本身的正方向则是北、东、南、西，也就是太阳的表观昼夜运动的方向。

现在让火车开始运动起来，于是x就会变化，而电路中就会存在一个电动势，其值为

如果x是增大的，就是说，如果火车是远离轨端而运动的，则这个电动势是沿负方向的，或者说是沿北、西、南、东方向的。因此，通过车轴的电动势的方向是由右向左的。假如x是减小的，则电动势的绝对方向将反转，但是既然火车运动的方向也反过来了，车轴中的电动势就仍然是从右向左的，车上的观察者永远被假设为面向前方而运动。在磁针的南端向下倾斜的南半球，一个运动物体中的电动势是由左向右的。

由此我们就得到确定一根通过一个磁力场而运动的导线中的电动势的下述法则。设想把你的头和脚分别放在罗盘指针的指北端和指南端的位置上，把你的脸转向运动的前方，则由运动而引起的电动势将是从左向右的。

图70

533．〕　由于这些方向关系是很重要的，让我们再举一个例子。设有一条金属腰带绕在地球的赤道上，还有一条金属线通过格林尼治子午线从赤道通到北极。

制造一个金属的大圆象限弧，其一端支在北极处的支轴上，另一端在赤道处的大腰带上滑动，追随太阳的昼夜运动。沿赤道运动的象限弧将有一个电动势从北极指向赤道。

不论我们假设地球静止而象限弧从东向西运动，还是假设象限弧静止而地球从西向东转动，电动势都将是相同的。如果我们假设地球是转动的，则固定在空间中的一端接触地极而另一端接触赤道的一部分电路中的电动势将是确定的，不论这一部分电路具有什么样的形状。这一部分电路中的电流是从地极流向赤道的。

相对于地球为静止的电路的其他部分也可以有任意的形状，而且可以在地球以内或以外。在这一部分电路中，电流是从赤道流向某一地极的。

534．〕　磁电感应的电动势的强度是完全和它在那里起作用的导体物质的本性无关的，而且也是和载有施感电流的导体的本性无关的。

为了证明这一点，法拉第 ^〔16〕 用两根不同金属的导线做成了一个导体；二线之间用丝绸绝缘，它们被扭在一起，其一端焊接了起来。二线的另一端接了一个电流计。这样，两根导线相对于原电路来说就处在相同的状态，但是假若一根导线中的电动势比另一根导线中的电动势更强一些，它就将产生一个电流，这是将由电流计显示出来的。然而他却发现，这样一种组合导体可以受到由感应而引起的最强的电动势的作用，而电流计并不受任何影响。他也发现，不论组合导体是由两根导线构成还是由一根导线和一种电解质构成，电流计都是不受影响的 ^〔17〕 。

由此可见，作用在任一导体上的电动势，只依赖于该导体的形状和运动，以及场中电流的强度、形状和运动。

535．〕　电动势的另一种消极性质就是它本身并没有任何引起任何导体的机械运动的倾向，而只有在导体中引起一个电流的倾向。

如果它确实在物体中引起一个电流，则由于电流的存在，确实会有机械运动，但是如果我们阻止电流的形成，则物体并不会自己发生任何机械运动。然而，如果物体是带电的，则电动势将推动物体，正如我们在静电学中已经描述过的那样。

536．〕　固定电路中电流的感应定律的实验研究，可以用一种方法来相当精确地进行；在这种方法中，电流计中的电动势，从而还有电流，被调成了零。

例如，如果我们想要证明线圈A对线圈X的感应等于线圈B对线圈Y的感应，我们就把第一对线圈A和X放在离第二对线圈B和Y足够远的地方。然后我们就把A和B接在一个电池上，于是我们就能够使相同的原电流沿正方向通过A然后再沿负方向通过B。我们也把X和Y接在一个电流计上，于是如果有副电流的话，它就会沿相同的方向通过X和Y。

图71

于是如果A对X的感应等于B对Y的感应，则当电池接通和开断时电流计将不会指示任何感生电流。

这种方法的精确性随着原电流的强度和电流计对瞬时电流的灵敏性而增加，从而实验要比那些和电磁吸引力有关的实验容易做得多；在那些实验中，导体本身必须很精致地悬挂起来。

比萨的菲利西教授 ^〔18〕 描述了一系列很有教育意义的、设计得很好的这一类实验。

（1）一个电路对另一个电路的感应电动势，和导体的截面积以及制造导体所用的材料无关 ^〔19〕 。

因为我们可以把实验中的任一电路换成另一个不同截面和不同材料而形状却相同的电路，而并不改变实验结果。

（2）电路A对电路X的感应等于X对A的感应。

因为，如果我们把A接在电流计电路中而把X接在电池电路中，电动势的平衡不会受到扰乱。

（3）感应正比于施感电流。

因为，如果我们已经确证，A对X的感应等于B对Y的感应，而且也等于C对Z的感应，我们就可以使电池的电流先通过A，然后按任意比例在B和C中分流。然后，如果我们使X取反方向而Y和Z取正方向并把它们串联起来接到电流计上，则X中的电动势将平衡Y和Z中的电动势之和。

（4）在一对一对地形成几何相似体系的电路中，感应正比于它们的线度。

因为，如果前面提到的三对电路全都相似，但是第一对电路的线度等于第二对和第三对电路的对应电路之和，那么，如果A、B和C是串联起来而和电池相接的，而且X是反向而Y和Z是正向串联在一起而和电流计相接的，则平衡将成立。

（5）由一个m匝线圈中的电流在一个n匝线圈中引起的电动势，正比于乘积mn。

537．〕　对我们已在考虑的这种实验来说，电流计应该尽可能地灵敏，它的指针应该尽可能地轻，以便对一个很小的瞬变电流做出一种可觉察的显示。关于由运动引起的感应的实验，要求指针具有比较长一些的振动周期，以便反映导体的某些运动而指针离它的平衡位置并不很远。在以前的实验中，电流计电路中的电动势在全部时间内都是处于平衡的，从而没有任何电流通过电流计的线圈。在现在所描述的那些实验中，电动势起初沿一个方向起作用，而后又沿另一个方向起作用，于是就先后引起两个沿相反方向通过电流计的电流，从而我们就必须证明，由这些相继的电流引起的对电流计指针的冲量在某些事例中是相等而反向的。

电流计对瞬变电流之量度的应用的理论，将在第748节中进行更详细的考虑。在目前，注意到一点也就够了；那就是，只要电流计指针还离它的平衡位置较近，电流的致偏力就正比于电流本身，而如果电流的整个作用时间远小于指针的振动周期，磁体的末速度就将正比于电流中的总电量。因此，如果两个电流以很快的次序通过电流计，并沿相反的方向传递相等的电量，则指针不会留下任何末速度。

例如，为了证明由原电路的接通和开断而在副电路中引起的感生电流是在数量上相等和在方向上相反的，我们可以适当安排和电池相接的原电路，以便通过按下一个电钮就可以把电流送入原电路中，而手指一松，就可以随时把电路开断。如果电钮被按下了一段时间，则副电路中的电流计将在电钮接通的时刻指示一个和原电流反向的瞬变电流。如果接触被保持，则感生电流将简单地通过并消失。如果我们断开接触，则有另一个瞬变电流沿相反方向通过副电路，而电流计指针就沿相反方向受到一个冲击。

但是，如果我们只在一瞬间接通电路然后又把它断开，则两个感生电流将以如此快的顺序通过电流计，以致指针在受到第一个电流的作用时还来不及从它的平衡位置运动开一个可觉察的距离就会被第二个电流所阻止，而且由于这些瞬变电流在数量上确切相等，指针就会完全被阻止住。

如果仔细地注视指针，就会看到它似乎从一个静止位置突然跳到另一个相隔很近的静止位置。

用这种办法我们就能证明，当电路开断时，感生电流中的电量是和电路接通时感生电流中的电量确切相等而流向相反的。

538．〕　这种方法的另一种应用由菲利西在他的〈研究〉的第二个系列中给出如下。

永远可以找到副线圈B的许多不同的位置，使得原线圈的接通或开断在B中并不引起任何感生电流。在这样的情况下，两个线圈的位置被称为相互“共轭”。

设B₁ 和B₂ 是两个这样的位置。如果线圈B突然被从位置B₁ 挪动到B₂ ，则B中瞬变电流的代数和将恰好等于零，于是当B的运动完成时电流计指针就保持静止。

这一点是对的，不论线圈B是用什么方式从B₁ 挪动到B₂ ，也不论原线圈A中的电流在挪动过程中是保持不变还是正在变。

另外，设B′是B的任一不和A共轭的位置，于是当B是在位置B′上时，A中电流的接通或开断就在B中引起一个感生电流。

设电流是当B位于共轭位置B₁ 时接通的，这时将没有感生电流。把B挪动到B′，那就会有一个由运动引起的感生电流。但是如果把B很快地移动到B′，然后把电流开断，则由电流开断所引起的感生电流将恰好抵消由运动所引起的感生电流的效应，于是电流计指针就将保持静止。由此可见，从一个共轭位置到任一其他位置的运动所引起的电流，和由在该其他位置上的电路开断所引起的电流相等而反向。

既然电路接通的效应和电路开断的效应相等而反向，那就可以推知，当B在任一位置B′上时接通电路的效应，等于在电流通过A时把线圈从任一共轭位置B₁ 搬到B′的效应。

如果二线圈相对位置的变化是通过搬动原电路而不是通过搬动副电路来达成的，则人们发现结果仍相同。

539．〕　由这些实验可以推知，当A中的电流从γ₁ 变到γ₂ 时，在A从A₁ 到A₂ 而B从B₁ 到B₂ 的同时运动过程中，B中的总感生电流只依赖于初状态A₁ 、B₁ 、γ₁ 和末状态A₂ 、B₂ 、γ₂ ，而和体系可以通过的那些中间状态的性质完全无关。

由此可见，总的感生电流一定具有F（A₂ ，B₂ ，γ₂ ）－F（A₁ ，B₁ ，γ₁ ）的形式，此处F是A、B、γ的一个函数。

关于这个函数的形式，我们由第536节知道当不存在运动从而A₁ ＝A₂ 而B₁ ＝B₂ 时，感生电流是和原电流成正比的。因此γ只作为一个乘法因子而出现，另一个因子则是电路A和B的形状及位置的函数。

我们也知道，这个函数只依赖于A和B的相对位置而不依赖于它们的绝对位置，因此这个函数必将可以表示成构成二电路的那些电路元之间的距离和夹角的一个函数。

设M是这个函数，则总的感生电流可以写成C｛M₁ γ₁ －M₂ γ₂ ｝，

式中C是副电路的电导，M₁ 、γ₁ 是M和γ的初值，而M₂ 、γ₂ 是它们的末值。

因此，这些实验就证明，总的感生电流依赖于某量Mγ的改变量，而这个改变量可以起源于原电流γ的变化，也可以起源于原电路或副电路的任何改变M的变化。

540．〕　感生电流不是依赖于某个量的绝对值而是依赖于它的改变量，关于这样一个量的概念，是在法拉第的《研究》的早期阶段就被想到了的 ^〔20〕 。他曾观察到，当在一个强度恒定的电磁场中保持静止时，副电路并不显示任何电效应，但是，如果同样这种场状态是突然产生的，副电路中就会有一个电流。另外，如果原电路被从场中取走，或者说场被撤除，那就会有个相反种类的电流。因此，当副电路位于电磁场中时，他就在该电路中认识到一种“物质的特殊的电状况”，他把这种状况叫做“电壮状态”（electrotonic state）。后来他发现，借助于建筑在磁力线上的考虑，他可以不必使用这一概念 ^〔21〕 ，但是即使在他最后的《研究》中 ^〔22〕 ，他还说过：“一次又一次地，关于一种电壮状态 ^〔23〕 的想法曾被现实强加在我的头脑中。”

显示在他已发现的《研究》中的法拉第头脑中的这一想法的整个历史，是相当值得研讨的。在精心思维的指引下，但是没有用到数学计算的帮助，他被一系列实验引导到了关于某种东西之存在的认识，而现在我们知道那种东西是一个数学量，而且甚至可以说是电磁理论中的基本量。但是，既然他是被一种纯实验的路线引导到这一概念的，他就认为它有一种物理的存在，尽管一旦能够用任何更加习见的思维形式来解释现象，他就是很乐于放弃这种学说的。

其他的研究者在很久以后也被一种纯数学的路线引导到了同一个概念，但是就我所知，他们谁也不曾在两个电路的势这一精化了的数学概念中认识到法拉第的关于电壮状态的大胆假说。因此，沿着这些最初把这一课题的规律归结为数学形式的杰出研究者们所指示的路线而接近了这一课题的那些人们，有时就觉得很难领会法拉第在他头两个系列的《研究》以如此奇妙的完备性给出的那些规律的叙述的科学精确性。

法拉第的电壮状态概念的科学价值，就在于它指导人们的思想去把握某一个量，而实际的现象就是依赖于那个量的改变量的。如果不对它进行比法拉第的形式更加进步得多的发展，这一概念是很难用来解释现象的。我们将在第584节中再回到这一课题上来。

541.〕　在法拉第的手中更加有力得多的，就是那种利用磁力线的方法；当思索他的磁体或电流时，那些磁力线一直是存在于他的心目中的，而且他很有理由地认为 ^〔24〕 ，借助于铁屑来显示磁力线，就是对实验家的一种最有价值的帮助。

法拉第认为，这些磁力线不仅用它们的方向表示着磁力的方向，而且用它们的数目和密度表示着磁力的强度，而且他在自己较晚的《研究》中也指明了如何设想单位力线 ^〔25〕 ，我在本书的不同部分中曾经说明了法拉第在这些力线方面认识到的那些性质和电力及磁力的数学状况之间的关系，也说明了法拉第关于单位力线和力线数目的意念可以怎样在一定的限度内加以数学的精确化。参阅第82、404、490节。

在他的第一系列的《研究》 ^〔26〕 中，法拉第清楚地指明了一个部分活动的导体电路中的电流方向如何依赖于活动部分切割磁力线的方式。

在第二个系列中 ^〔27〕 ，他指明了由一个电流强度或磁体强度的变化而产生的现象，如何通过假设当功率增大或减小时磁力线族就从导线或磁体扩大出来或向它收缩过去来加以解释。

我不能肯定当时他以多大程度的明晰性认识了他后来非常明白地建立了的学说 ^〔28〕 ，那就是，当切割力线时，一个运动导体就将收集由力线的面积或截面引起的作用。然而，当把第二系列的研究 ^〔29〕 考虑在内时，这却显得并不是关于情况的新观点。

法拉第关于力线之连续性的观念，排除了力线在一个空间中突然无中生有的可能性。因此，如果想令穿过一个导体电路的力线数目发生变化，那就只可能或是通过电路运动而扫过力线，或是通过力线运动而扫过电路来达成。在任一事例中都会有一个电流在电路中产生出来。

在任一时刻穿过电路的磁力线数目，在数学上是和法拉第关于该电路之电壮状态的早期观念相等价的，从而是用Mγ这个量来代表的。

只有当在第69、274节中把电动势的定义弄得更加确切了以后，我们才算能够把磁电感应的真实定律叙述如下：

在任一时刻沿一个电路起作用的总电动势，是用穿过该电路的磁力线数目的减少率来量度的。

当对时间求了积分时，这一叙述就变成：

沿任一电路起作用的总电动势的时间积分，再加上穿过该电路的磁力线数目，是一个常量。

我们可以不谈论磁力线数目，而谈论穿过电路的磁感，或谈论在以电路为边界的任一曲面上求的磁感的面积分。

我们将再回到法拉第的这一方法上来。在此以前，我们必须列举建筑在其他一些考虑上的感应理论。

楞次定律

542．〕　在1834年，楞次 ^〔30〕 提出了由安培公式所定义的电流的机械作用现象和由导体的相对运动所引起的电流感应现象之间的下述惊人关系。叙述这样一种关系的一次更早的尝试，曾由瑞奇在同年一月份的《哲学杂志》上做出。但是在这两个事例中感生电流的方向都是叙述错了的。楞次的定律如下：

如果有一个恒定电流在原电路A中流动，并通过A的运动或副电路B的运动而在B中感生了一个电流，则这一感生电流的方向将是这样的：通过它对A的电磁作用，它将倾向于阻止二电路的相对运动。

以这一定律为基础，F. E. 诺依曼建立了他的有关感应的数学理论 ^〔31〕 ；在这种理论中，他确立了由原导体或副导体的运动所引起的感生电流的数学定律。他证明了，我们曾称之为一个电路对另一电路的势的M这个量，是和我已经联系到安培公式而研究过的一个电路对另一个电路的电磁势相等同的。因此，我们可以认为F. E. 诺依曼已经针对电流的感应来补全了安培曾经应用于电流的机械作用的那种数学处理。

543．〕　不久以后，一个具有更大的科学重要性的步骤就由亥姆霍兹在他的论文《论力的守恒》中给出了 ^〔32〕 ，也由工作开始得较晚但独立于亥姆霍兹的W. 汤姆孙爵士 ^〔33〕 做出了。他们证明了，法拉第所发现的电流的感应，可以通过能量守恒原理的应用而从奥斯特和安培所发现的电磁作用中数学地推导出来。

亥姆霍兹所取的是电阻为R的导体电路的事例，在电路中，有一个起源于电池装置或温差电装置的电动势在起作用。电路中任意时刻的电流是I，他假设在电路附近有一个磁体在运动，而其对导体而言的势是V，于是，在任一很小的时间阶段dt中，由电磁作用传给磁体的能量就是

由第242节中的焦耳定律，使电路发热所做的功是I² Rdt，而电动势A为在时间dt中保持电流I而消耗的功是AIdt。因此，既然做的功必然等于消耗的功，就有 由此我们就得出电流强度

现在，A的值可以是由我们任意选取的。因此，令A＝0，就得到　　

或者说，将存在一个由磁体的运动而引起的电流，它等于由一个电动势 所引起的电流。

在磁体从势为V₁ 的地方到势为V₂ 的地方的运动过程中，总的感生电流就是

从而总电流就不依赖于磁体的速度和路径而只依赖于它的初位置和末位置。

亥姆霍兹在他的原始研究中采用了一种单位制，那是建筑在导体中由电流所生的热的量度上的。把电流的单位看成任意的，电阻的单位就是那样一个导体的电阻，即这一单位电流在单位时间内应在该导体中产生单位的势量。这一单位制中的电动势单位，就是为在单位电阻的导体中产生单位电流所要求的电动势。这种单位制的采用，要求在各方程中引入一个量a，这就是单位热量的机械功当量。由于我们总是采用静电单位制或电磁单位制，这一因子并不出现在此处所给出的方程中。

544．〕　亥姆霍兹也导出了当使一个导体电路和一个载有恒定电流的电路发生相对运动时的感生电流 ^〔34〕 。

设R₁ 、R₂ 是电阻，I₁ 、I₂ 是电流，A₁ 、A₂ 是外电动势，而V是由每一电路中的单位电流所引起的一个电路在另一个电路上的势，于是我们就像以前那样得到

如果我们假设I₁ 是原电流，而I₂ 比I₁ 小得多以致它并不通过感应而在I₁ 中引起任何可觉察的变化，从而我们可以令 于是就有 这是恰好可以像在磁体的事例中一样加以阐释的一种结果。

如果我们假设I₂ 是原电流而I₁ 比I₂ 小得多，我们就得到I₁ 的表示式

这就证明，对于相同的电流来说，第一电路在第二电路中感生的电动势等于第二电路在第一电路中感生的电动势，不论各电路的形状如何。

亥姆霍兹在这一论著中没有讨论由原电流的加强或减弱所引起的感应，或者说没有讨论电流对自己的感应。汤姆孙 ^〔35〕 把同一原理应用到了电流之机械值的确定上，而且他已指出，当功是由两个恒定电流的相互作用所做出时，它们的机械作用就会增加一个相同的数量，从而电池就除了反抗电路的电阻而维持电流所需要的功以外，还必须供应两倍的功 ^〔36〕 。

545．〕　电学量的一个绝对测量单位制由W. 韦伯的引入，是科学进步的量重要步骤之一。在和高斯一起把磁学量的测量提高到头等的精确方法之列以后，韦伯就在他的《电动力学测量》中不但着手奠定了确定所用单位的牢固原理，而且开始利用这些单位来在一种未之前闻的精确度下测定一些特定的电学量。不论是电磁单位制还是静电单位制，它们的发展和实际应用都得力于这些研究。

韦伯也搞出了一种电作用的普遍理论，他由这种理论推出了静电力和电磁力，也推出了电流的感应。我们将在单独一章中考虑这一理论，并考虑它的某些较晚近的发展。参阅第846节。

第三十七章　论一个电流对它自己的感应

546．〕　法拉第曾经把他的第九系列的《研究》用于由一根导线中的电流所显示出来的一类现象，该导线形成一个电磁铁的线圈。

金肯先生曾经注意到，尽管不可能通过只包括一对金属板的伏打体系的直接作用来产生一次可觉察的电冲击，但是，如果使电流通过一个电磁铁的线圈，然后使握在两只手中的两根导线的端点脱离接触，却是会感觉到一次强烈的电冲击的。

法拉第证明了，这种现象以及他所描述的另一些现象，都是由他已经观察过的电流对邻近导体的同一种感应作用所引起的。然而在这一事例中，感应作用却是作用在载有电流的那同一个导体上的，而且它更加强烈得多，因为导线本身要比其他导线所能做到的更加靠近不同的电流元。

547．〕　然而他却谈到 ^〔37〕 ，“最先出现的想法就是，电是带着某种类似动量或惯性的性质而在导线中流动的”。确实，当我们只考虑一根特定的导线时，现象是和充满连续流动的水的管子的现象确切类似的。如果我们在水正流动时突然把管子的一端封住，水的动量就会产生一个突然的压强；这个压强比由水头造成的压强大得多，甚至足以把水管弄裂。

如果当主通道关闭时水可以通过一个小口逸出，它就会以一个比由水头造成的速度大得多的速度射出，而如果它可以通过一个阀门进入一个室中，它就会进入该室，即使室内的压强大于由水头造成的压强。

水力扬汲机正是根据这种原理制成的；利用这种机器，可以借助于从低得多的水平面流下来的大量的水来把少量的水提升到一个很大的高度。

548．〕　管中液体之惯性的这些效应，只依赖于经由管子流过的液量、管子的长度和管子不同部分的截面。它们不依赖于管子外面的任何东西，也不依赖于管子被弯成什么形状，如果管长不变的话。

对于一根载有电流的导线来说，情况却不是这样的。因为，如果一根长导线被从中间弯成双股，则效应是很小的；如果两股是互相离开的，则效应较大；如果导线被绕成螺绕线圈，则效应更大；如果再在线圈中放入一个铁芯，则效应最大。

再者，如果有第二根导线和第一根导线绕在一起，但是二导线互相绝缘，那么，如果第二根导线并不形成一个闭合电路，则现象仍和以前一样；但是如果第二根导线形成一个闭合电路，则有一个感生电流出现在第二根导线中，而第一根导线中的自感效应就会受到阻滞。

549．〕　这些结果清楚地表明，如果现象是由动量引起的，这种动量就肯定不是导线中的电荷的动量，因为载有相同电流的相同导体将按照其形状的不同而显示不同的效应，而且即使它的形状保持不变，一块铁或一个闭合金属电路之类的其他物体的存在也对结果有影响。

550．〕　然而，人们的思想一旦认识了自感现象和运动物质体的现象之间的类似性，就很难放弃这一类似性的协助或承认它完全是表面化的或引人误解的。有关物质的基本动力学概念，例如能够通过它的运动而成为动量和能量的承受者的那种概念，是如此紧密地和我们思想形式交织在一起，以致每当在大自然的任一部分中看到一点它的踪影时，我们都会觉得面前出现一条早晚会导致问题之完全了解的道路。

551．〕　在电流的事例中，我们发现了，当电动势开始起作用时，它并不是立即产生足额的电流，而是电流将逐渐增大。在反对的电阻不能平衡它的那段时间内，电动势在做着什么事呢？它正在增大电流。

现在，沿着物体的运动方向而作用在物体上的一个普通的力，将增大物体的动量并向它传送动能，或者说传送由于它的运动而具有的做功本领。

与此类似，电动势的未受阻部分曾被用于电流的增强。那么，当这样产生了以后，电流有没有动量或动能呢？

我们已经证明它有某种很像动量的东西，它反对被突然停止，它可以在一段短时间内作用一个大的电动势。

但是，里边已经建起了电流的一个导体电路具有由于这一电流而做功的本领，而且这种本领并不能说是“很像能量”的某种东西，因为它确确实实就是能量。

例如，如果让电流自行流动，它就将继续流动，直到被电路的电阻所阻止时为止。然而，在它被阻止住以前，它将已经产生了一定数量的热，而以动力学单位计，这一热量就等于起初存在于电流中的能量。

再者，当电流自行流动时，可以通过运动磁体而使它做功，而且由楞次定律可知，这种运动的感应效应将使电流停止，比只有电路的电阻起作用时停止得更快。用这种办法，电流能量的任一部分都可以被转换成机械功而不是转换成热。

552．〕　因此，看来一个含有电流的体系就是某种能量的所在之处；而且，既然除了作为一种运动现象以外我们对电流不能形成任何概念 ^〔38〕 ，它的能量就必然是动能，也就是运动物体由于它的运动而具有的能量。

我们已经证明，导体中的电荷不能看成我们将在它上面看到能量的那种运动物体，因为一个运动物体的能量并不依赖于物体以外的任何东西，而电流附近其他物体的存在却会改变电流的能量。

因此我们就被引导着探索在导线外面的空间中是否可能有某种运动正在进行着；那种空间并未被电流所占据，而电流的电磁效应却表现在那种空间中。

在目前，我不打算细说在一个地方而不在另一地方寻找这种运动，或是把这些运动看成一种运动而不看成另一种运动的那些理由。

现在我准备做的是检查一条假设的推论，该假设就是，电流的现象是一个运动体系的现象，其运动是由力从体系的一个部分传送到另一部分的，力的性质和规律我们甚至还不曾尝试去规定，因为我们可以通过拉格朗日针对任意连接体系给出的方法来把这些力从运动方程中消去。

在本书的以下五章中，我打算根据一个这一类型的动力学假说来导出电学理论的主要结构，而并不遵循曾经把韦伯和别的探索者们引导到许多引人注目的发现和实验、引导到其中某些是既大胆又美好的观念的那一路径。我曾经选择了这种方法，因为我愿意指明，存在另外一些看待现象的方式，它们在我看来是更加令人满意的，而同时也比那些根据远距作用的假说来进行的方式更加和本书的前几编所遵循的方法相协调。

第三十八章　关于一个连接体系的运动方程

553．〕　在他的《分析力学》的第四节中，拉格朗日曾经给出了一种把一个连接体系之各部分的普通动力学运动方程简化为其数目等于体系之自由度的一些方程的方法。

一个连接体系的运动方程曾由哈密顿以一种不同的形式给出，而且曾经导致了纯运动学之较高深部分的巨大推广 ^〔39〕 。

正如我们将发现这是必要的那样，在我们把电现象纳入动力学的范围、把我们的动力学概念纳入一种适合于对物理问题之直接应用的状态的努力中，我们将利用本章来从物理的观点对这些动力学概念作一介绍。

554．〕　拉格朗日的目的是把动力学置于微积分的管辖之下。他是从利用纯代数量的对应关系式来表示初等动力学关系式开始的，而从这样得出的那些方程，他通过一种纯代数的手续而推得了他那些最后的方程。某些量（表示着由体系的物理联系所引起的体系各部分之间的关系的量）出现在体系各组成部分的运动方程中，而从一种数学的观点看来，拉格朗日的研究就是一种从最后的方程中消去这些量的方法。

在追随这种消去法的步骤时是需要进行计算的思索的，从而我们在思想上必须避免动力学概念的侵入。另一方面，我们的目的却是发展我们的动力学概念。因此我们将利用数学家们的劳动，而把他们的结果从微积分的语言翻译成动力学的语言，以便我们的论述不是唤起关于某种代数运算的思维形象而是唤起有关运动物体的某种性质的思维形象。

动力学的语言已经被那些借助于通俗说法来阐述能量守恒学说的人们所大大扩充了，而且我们即将看到，以下的许多叙述已经由汤姆孙和泰特在《自然哲学》中的研究所暗示过，特别是那种从冲击力理论开始的方法。

我曾经应用了这种方法，以避免除了整个体系的运动所依赖的坐标或变量以外还要显露地考虑体系任一部分的运动。无疑很重要的是，学生应该追索体系每一部分的运动和各变量的变化之间的联系，但是在求得和这些联系之特定形式无关的最后方程的过程中，这种追索却是绝非必要的。

变　量

555．〕　一个体系的自由度数，就是为了完备地确定它的位置而必须给出的数据的个数。这些数据可以有不同的形式，但是它们的个数却依赖于体系本身的本性，从而是不能改变的。

为了明确，我们可以设想体系是借助于适当的机件而和一些活动部件连接起来的，其中每一个部件只能沿着一条直线而运动，而不能进行任何别的运动。把其中每一部件和体系连接起来的那种假想的机件，必须被想象为没有摩擦的、没有惯性的和不会通过所加力的作用而发生协变的。这种机件的用处仅仅在于当把位置、速度和动量指定给在拉格朗日研究中显得是一些纯代数量的各量时比较容易想象。

设q代表其中一个部件的位置，通过它离开自己的运动直线上一个固定点的距离来定义。我们将用下标1、2等等来区分对应于不同部件的q值。当我们处理只属于一个部件的一组量时，我们可以略去下标。

当所有变量（q）的值已经给定时，每一个部件的位置就都是已知的，而通过那种假想的机件，整个体系的位形也就确定了。

速　度

556.〕　在体系的运动过程中，位形以某种确定的方式发生变化，而既然每一时刻的位形都是由各变量（q）的值来充分定义的，那么，如果我们知道了各变量（q）的值以及它们的速度（ 或者采用牛顿的记号q），则体系每一部分的速度，以及体系的位形，就都将是完全确定的了。

力

557.〕　通过各变量之运动的适当控制，和连接的本性相容的任何体系运动都可以被产生。为了通过挪动各活动部件来产生这一运动，必须对这些部件施以力。

我们将把必须作用在任一变量q_r 上的力写成F_r ，力系（F）是在力学上和真正产生这种运动的那个力系（不论它可能是什么样的力系）相等价的（由于有体系的那些连接）。

动　量

558.〕　当一个物体的运动方式适足以使它相对于作用在它上面的力而言的位形永远保持相同时（例如当一个力沿着质点的运动直线作用在单一质点上时），主动力就用动量的增加率来量度。如果F是主动力而p是动量，则有 由此即得

一个力的时间积分叫做该力的冲量，从而我们可以断言，动量就是力使物体从静止状态变到一个给定的运动状态时的冲量。

在一个运动连接体系的事例中，位形是以依赖于各速度（ ）的快慢而连续变化的，从而我们不再能够假设动量就是作用在物体上的力的时间积分。

但是任一变量的增量δ_q 。不可能大于 ′δt，此处δt是增量发生的时间，而 ′是速度在这段时间中的最大值。在一个体系在永远沿同一直线的力的作用下从静止开始运动的事例中，这个最大速度显然就是末速度。

如果体系的末速度和末位形已经给定，我们就可以设想速度是在一段很小的时间δt内传给体系的，原位形和末位形相差若干个量δq₁ 、δq₂ 等等，它们分别小于 ₁ δt、 ₂ δt等等。

我们所假设的时间增量δt越短，所加的力就必须越大，但是每一个力的时间积分或冲量将仍为有限值。当时间无限缩短而趋于零时，冲量的极限值就定义为瞬时冲量，而对应于任一变量q的动量p就定义当体系从静止状态在一瞬间被纳入所给的运动状态时和该变量相对应的冲量。

这种认为动量可以由作用在静止体系上的瞬时冲量来产生的观念，只是作为定义动量之量值的一种方法而被引入的，因为体系的动量只依赖于体系的瞬时运动状态而不依赖于产生这一状态的过程。

在一个连接的体系中，和任一变量相对应的动量通常是所有各变量的速度的一个线性函数，而并不是像在质点动力学中那样简单地和速度成正比。

使体系的速度突然从 等等变成 等等时所需要的冲量，显然等于若干个变量的动量改变量 等等。

一个小冲量所做的功

559.〕　力F₁ 在冲量期间所做的功就是力的空间积分，或者说，

如果 是速度 在力的作用时间内的最大值而 是其最小值，则W必将小于 或 而大于 或

如果我们现在假设冲量∫Fdt无限地减小，则 和 的值将互相趋近而终于和 的相重合，而且我们可以写出 于是所做的功最后就是 或者说，一个很小的冲量所做的功，在极限下等于冲量和速度的乘积。

动能的增量

560.〕　当为使一个保守体系开始运动而对它做功时，能量就会被传送给它，而体系就变得能够在达到静止以前反抗阻力而做相等数量的功。

一个体系由于它的运动而具有的能量叫做它的“动能”，而且是由使它运动起来的那些力在所做的功的形式下传送给它的。

设T是体系的动能，并设它由于分量为δp₁ 、δp₂ 等等的一个无限小冲量的作用而变成了T＋δT，那么增量δT就必然是冲量所做的功的总和，或者，用符号表示出来就是

如果各位形变量和各动量都已给定，体系的瞬时状态就是完全确定的。由此可见，依赖于体系之瞬时状态的动能，可以用各变量（q）和各动量（p）表示出来。这就是哈密顿所引入的表示T的方式。当T是用这种方式表示出来时，我们将用下标p来区分它，于是就把它写成T_p 。

T_p 的全变分是　　

最后一项可以写成 此式随δt而减小，而当冲量变为瞬时的时终于变为零。

由此可见，使方程（1）和（2）中δp的系数相等，我们就得到　　

或者说，和变量q相对应的速度，就是T_p 对相应动量p的微分系数。

我们通过考虑冲击力而得到了这一结果。利用这种方法，我们避免了考虑位形在力的作用时间内的变化。但是，体系的瞬时状态在一切方面都是相同的，不论体系是否通过冲击力的瞬时作用而从静止状态被带到所给的运动状态，或者说，不论它是否以无论多慢的任意方式而到达该状态。

换句话说，各变量以及对应的速度和动量，都只依赖于体系在一个给定时刻的实际运动状态，而不依赖于它的以前历史。

由此可见，不论体系的运动状态被假设为由冲击力所引起还是被假设为由以随便什么方式来起作用的力所引起，方程（3）都是同样成立的。

因此我们现在可以舍去关于冲击力的考虑，以及加在它们的作用时间上的限制和加在位形在各力作用时间内的变化上的限制。

哈密顿运动方程

561.〕　我们已经证明，　　

设体系以满足加在它的连接上的那些条件的任意方式而进行运动，于是p和q的变分就是　　

由此即得　　

从而T_p 的全变分就是　　

但是动能的增量来源于所加力做的功，或者说，　　

在这两个表示式中，所有各变分δq都是互相独立的，因此我们可以令两个表示式（7）和（8）中每一个变分的系数彼此相等。于是我们就得到　　

式中的动量p_r 和力F_r 属于变量q_r ^〔40〕 。

有多少个变量，就有多少个这种形式的方程。这些方程是由哈密顿给出的。它们表明，和任一变量相对应的力都是两项之和。第一项是该变量之动量对时间而言的增加率。第二项是每单位变量增量的动能增加率，这时假设其他的变量和所有的动量都保持不变。

用动量和速度来表示的动能

562.〕　设p₁ 、p₂ 等等是在给定时刻的动量而 等等是在该时刻的速度，并设P₁ 、P₂ 等等和 等等是另一组动量和速度，满足　　

很显然，如果p、 组是自洽的，则p、q组也是自洽的。

现在令n改变一个δn。力F₁ 所做的功是　　

令n从0增加到1，体系就从静止状态被带到运动状态 而在造成这一运动时所消耗的总功是　　

但是 而且产生运动时所消耗的功是和动能等价的。由此即得

式中 代表用动量和速度表示出来的动能。各变量q₁ 、q₂ 等等并不出现在这一表示式中。

因此动能等于动量及其对应速度之积的总和的二分之一。

当动能用这种方式来表示时，我们就将用符号 来代表它。它只是动量和速度的函数而并不包括那些位形变量本身。

563.〕　还有第三种表示动能的方法，而事实上这种方法通常认为是基本的方法。通过求解方程组（3），我们可以把动量用速度表示出来，然后把这些值代入（13）中，我们就将有一个只包含速度和变量的T的表示式。当T被表示成这种形式时，我们就将用符号T 来代表它。这就是动能在拉格朗日方程中被表示的形式。

564.〕　很显然，既然T_p 、 和 是同一个量的三种不同的表示式，就有

或者写成　　

由此可见，如果所有各量p、q和 都是变化的，就有

各变分δp并不是和各变分δq及δ 相互独立的，因此我们并不能立即断定方程中每一个变分的系数都等于零。但是，我们由方程组（3）可知，　　

因此包含各变分δp的那些项自动地等于零。

剩下来的各变分δ 和δq现在全都是独立的了，因此我们就通过令 等等的系数等于零而得到　　

或者说，动量的各个分量是T 对相应速度的微分系数。

再者，通过令δq₁ 等等的系数等于零，就得到　　

或者说，动能对任一变量q₁ 的微分系数是等值而异号的，当T被表示成速度的函数而不是表示成动量的函数时 ^〔41〕 。

由于有方程（18），我们可以把运动方程（9）写成　　

或者写成　　

这就是由拉格朗日给出的运动方程的形式。

565.〕　在以上的探讨中，我们曾经避免了考虑用速度或用动量来表示动能的那种函数形式。我们曾经指定给它的唯一显函数形式就是

在这种形式下，动能被表示成了每一动量及其对应速度之积的总和的一半。

就像在方程（3）中那样，我们可以把速度用T_p 对动量的微分系数表示出来，

这就表明，T_p 是动量p₁ 、p₂ 等等的二次齐次函数。

我们也可以把各动量用 表示出来，而且我们得到

这就表明， 是各速度q₁ 、q₂ 等等的二次齐次函数。

如果我们用P₁₁ 代表 P₁₂ 代表 并用Q₁₁ 代表 Q₁₂ 代表 那么，既然T 和T_p 分别是 和p的二次函数，各个p和各个Q就都将只是各变量q的函数而和速度及动量无关。于是我们就得到T的两个表示式：

各动量通过一些线性方程而用速度表示出来，

而各速度也通过一些线性方程而用动量表示出来，

在刚体运动力学的论著中，对应于P₁₁ 的两个下标相同的系数被称为“惯量矩”，而对应于P₁₂ 的两个下标不同的系数被称为“惯量积”。我们可以把这些名称推广到现在所面临的更加普遍的问题；在这种问题中，这些量并不像在刚体的事例中那样是一些绝对的常量，却是变量q₁ 、q₂ 等等的函数。

同样，我们可以把形如Q₁₁ 的系数称为“动性矩”（moments of mobility），而把形如Q₁₂ 的系数称为“动性积”。然而，我们并不经常有机会谈到这些动性系数。

566.〕　一个体系的动能是一个永远为正或者为零的量。因此，不论它是用速度还是用动量表示出来的，各个系数必须保证没有任何的实数变量值可以使T成为负的。

因此就有各系数P所必须满足的一套必要条件。这些条件如下：

各系数P₁₁ 、P₁₂ 等等都必须是正的。

通过在行列式　　

中略去具有下标1的各项，然后再略去具有下标1或2的各项，依此类推而逐次得出的n－1个行列式都必须是正的。

因此，对于n个变量来说，条件的个数就是2n－1，

各系数Q也必须满足种类相同的条件。

567.〕　在这种关于连接体系动力学之基本原理的概述中，我们没有考虑把体系的各部分连接起来的那种机件。我们甚至没有写出一组方程来表明体系任一部分的运动是怎样依赖于各个变量的变化的，我们曾经把自己的注意力限制在各个变量、它们的速度和动量以及作用在表示着各个变量的各个部件上的力上。我们仅有的一些假设就是，体系的连接适足以保证时间并不显式地出现在条件方程中，而且能量守恒原理对体系是适用的。

纯动力学方法的这样一种描述并不是不必要的，因为给我们提供了这些方法的拉格朗日及其后继者们一般都把自己限制到了这些原理的一种例示方面，而且，为了把自己的注意力集中在所遇到的各个符号上，他们曾经尽力摒弃了除关于纯数量的概念以外的一切概念，以致不仅避免了图解的应用，而且在一劳永逸地用原始方程中的符号代替了速度、动量和能量以后，就把这些概念也排除掉了。为了能够用普通动力学的语言来谈论这种分析的一些结果，我们曾经尽力把这种方法的主要方程重新翻译成了一种不用符号也能理解的语言。

纯数学的概念和方法的发展，已经使人们有可能通过构成一种动力学的数学理论来揭示出许多真理，而没有数学的训练是不太可能发现这些真理的。因此，如果我们要形成其他科学的动力学理论，我们就必须既精通数学方法又熟悉这些动力学真理。

在追随和任何一门像电学这样的涉及力及其效应的科学有关的概念和术语时，我们必须时刻记得适合于动力学这一基础科学的那些概念，以便我们在这门科学的早期发展过程中可以避免和已经确立了的东西发生矛盾，而当我们的观点变得更加明确了时，我们已经采用了的那种语言也可以成为我们的助力而不是成为我们的障碍。

第三十九章　电磁现象的动力学理论

568.〕　我们在第552节中曾经证明，当一个电流存在于一个导体电路中时，它就有一种作一定数量的机械功的本领，而且这是和保持电流的任何外电动势都无关的。现在，做功的本领必然是能量，不论它的来源如何，而一切能量都是同一种东西，不论它在形式上可以多么不同。一个电流的能量不是具有存在于物质的实际运动中的那种形式，就是具有存在于由作用在位于某种相对位置的物体之间的力所引起被推动的可能性中的那种形式。

第一种能量，即运动的能量，被称为“动能”，而且一旦被理解了以后，它就显得是自然界中如此基本的一个事实，以致我们很难设想再把它分解成任何别的东西了。第二种能量，即依赖于位置的能量，被称为“势能”；它是由我们称之为力的东西所引起的，也就是由改变相对位置的那种趋势所引起的。关于这些力，虽然我们可以承认它们的存在是一种明显的事实，但是我们总觉得，对于使物体运动起来的那种机制的每一次解释都形成我们的知识的一种实在的增加。

569.〕　电流只能被设想成一种运动的现象。法拉第总是力图使他的思想从“电流”和“电流体”之类字眼所暗示的影响下解脱出来，但是就连他也把电流说成“某种进行的东西，而不是一种单纯的排列” ^〔42〕 。

电流的效应，例如电解效应，以及电从一个物体到另一个物体的传送，都是必须有一定的时间才能完成的一些进行的作用，从而都是具有运动的本性的。

至于电流的速度，我们已经表明我们对它毫无所知；它可以等于每小时十分之一英寸，或等于每秒十万英里 ^〔43〕 。我们对任一事例中电流速度的绝对值都如此无知，以致我们甚至不知道我们所说的正方向是真正的运动方向呢还是它的反方向。

然而我们在这里所假设的一切只是电流和某种运动有关。造成电流的原因曾被称为“电动势”。这一名词已经很有裨益地使用了很久，而且从来不曾在科学的语言中引起过麻烦。电动势永远要被理解为只对电起作用，而不是对电存在于其上的那些物体起作用。它永远不应该和只对物体起作用而不对物体中的电起作用的普通的机械力混为一谈。如果我们有一天能够知道了电和普通物质之间的形式化的关系，我们或许就也能知道电动势和普通力之间的关系了。

570.〕　当普通的力作用在一个物体上而该物体对力退让时，力所做的功就用力和物体退让的数量的乘积来量度。例如，在水被压迫而通过一根水管的事例中，在任一截面处所做的功就用截面上压强和流过截面的水量的乘积来量度。

同样，一个电动势所做的功，是用电动势和在该电动势作用下通过导体截面的电量的乘积来量度的。

一个电动势所做的功和一个普通力所做的功属于确切相同的种类，而且二者都是用相同的标准或单位来量度的。

作用在一个导体电路上的电动势所做的功的一部分，用来克服电路的电阻，而这一部分功就由此而转化成热。另一部分功用来产生安培所观察到的电磁现象，在那种现象中一些导体被电磁力弄得运动起来。其余的功用来增加电流的动能，而这一部分作用的效应可以在法拉第所观察到的电流感应现象中被显示出来。

因此，我们对电流所知够多，可以把载有电流的一个物质导体体系看成一个作为能量之存在处所的动力学体系了；这里的能量可以一部分是动能而一部分是势能。

这一体系之各部分的连接本性是我们所不得而知的。但是既然我们有一些并不要求有关体系机构的知识的动力学研究方法，我们就可以把它们应用于这一事例。

我们首先将检查，当假设表示体系动能的函数具有最普遍的形式时将得到哪些结论。

571.〕　设体系由若干个导体电路组成，各电路的形状和位置由一组变量x₁ 、x₂ 等等的值来确定，变量的个数等于体系的自由度数。

假如体系的总动量是由这些导体的运动引起的，则它将被表示成如下的形式：

式中符号（x₁ x₁ ）等等代表我们已经称之为惯量矩的那些量，而（x₁ x₂ ）等等则代表惯量积。

设X′是所加的倾向于增大坐标x的力，而x的增大也是产生实际运动时所要求的，则由拉格朗日方程可得

当T代表只由可以看到的运动所引起的动能时，我们将用下标m来标明它，例如T_m 。

但是，在一组载有电流的导体中，一部分动能是因为这些电流的存在而存在的。设电的运动以及其运动受电运动的支配的任何东西都由另一组坐标y₁ 、y₂ 等等来确定，则T将是这两组坐标之一切速度的平方和乘积的齐次函数。因此我们可以把T分成三部分：在第一部分T_m 中，只出现各坐标x的速度；在第二部分T_e 中，只出现各坐标y的速度；在第三部分中，每一项都包括两个坐标的速度的乘积，其中一个坐标属于x组而另一个坐标属于y组。

因此我们就有T＝T_m ＋T_e ＋T_me ，式中

572.〕　在普遍的动力学理论中，每一项的系数都可以是既包括x又包括y的所有坐标的函数。然而在电流的事例中却容易看到，y类的坐标并不出现在各系数中。

因为，如果所有的电流都保持恒定，而各个导体也都处于静止，则场的整个状态也将保持不变。但是，在这一事例中，各坐标y是可以变化的，尽管各速度y是不变的。由此可见，各坐标y不能出现在T的表示式中，也不能出现在实际过程的任何其他表示式中。

除此以外，由于连续性方程的存在，如果各导体具有线性电路的性质，则只需要用一个变量来表示每一导体中的电流强度。设速度 等等代表若干个导体中的电流强度。

所有的结果也应成立，如果我们考虑的不是电流而是一些柔性管子中的不可压缩的液体流的话。在这一事例中，液流的速度将出现在T的表示式中，但是各系数却将只依赖于确定着各管子的形状及位置的那些变量x。

在液体的事例中，一根管子中液体的运动并不直接影响任一其他管子的运动或管中液体的运动。由此可见，在T_e 的值中，只会出现各速度 的平方而不会出现它们的乘积，而在T_me 中，任一速度 是只和属于它自己的管子的那些形如 的速度相联系的。

在电流的事例中，我们知道这种限制并不成立，因为不同电路中的电流是互相作用的。因此我们必须承认一些包含着形如 _{1 2} 之乘积的项的存在，而这就涉及某种运动着的东西的存在，其运动是依赖于两个电流强度 ₁ 和 ₂ 的。不论这种运动的东西到底是什么，它都不是局限在载有两个电流的导体的内部，而是或许会扩展到各导体周围的整个空间之中。

573.〕　其次让我们考虑拉格朗日运动方程在这一事例中所采取的形式。设X′是所加的和确定各导体电路之形状及位置的坐标之一x相对应的力。这是一个通常意义上的力，即一种改变位置的趋势。这个力由下列方程给出：

我们可以认为这个力是三个部分之和，它们对应于我们把体系的动能分成的那三个部分，从而我们可以用同样的下标来区分它们。于是就有

这一部分是依赖于普通的动力学考虑的那一部分，从而我们用不着留意它。

既然T_e 并不包含 表示式中的第一项就是零，从而它的值就简化为

这就是必须作用在一个导体上以平衡电磁力的那个机械力的表示式，而且此式表明，这个力是用坐标x的变化所引起的纯动电能量的减小率来量度的。唤起外机械力之作用的电磁力X_e 和 相等而反向，从而是用和坐标x之增量相对应的动电能量增加率来量度的。既然依赖于电流的平方和乘积，X_e 的值就将保持不变，如果我们使所有的电流反向的话。

X′的第三部分是 量T_me 只包含形如 的乘积，从而 是各电流强度 的线性函数。因此第一项就依赖于各电流强度的变化率，并指示一个作用在导体上的力；这个力当各电流不变时是零，它按照各电流强度的增大或减小而为正或为负。

第二项不是依赖于电流的变化而是依赖于电流的实际强度。既然它对这些电流来说是一个线性函数，当电流变号时它也就会变号。既然每一项都包含一个速度 ，当各导体静止时它就会等于零。也有一些项起源于 中 的系数的时间变化；这些说法也适用于它们。

574.〕　既然很重要的是确定动能的任何部分是否具有包括普通速度和电流强度之乘积的T_me 的形式，很仔细地对这一课题进行一些实验就是很有必要的。

作用在迅速运动物体上的力的测定是困难的。因此让我们注意依赖于电流强度之变化的第一项。

如果动能的任一部分依赖于一个普通的速度和一个电流的强度的乘积，则当速度和电流同向或反向时或许最容易观察它。因此让我们取一个匝数很大的线圈，用一根很细的竖直悬线挂起来，使它的各匝都处于水平位置，而且线圈可以绕着一条竖直轴线而转动，既可以沿着线圈中电流的方向转动也可以反着电流的方向而转动。

既然当线圈中有电流时地磁水平分量的作用将倾向于使线圈绕着一个水平轴而转动，我们就将假设地磁的水平分量是借助于一些固定的磁体而确切中和了的，或者假设实验是在地球的磁极上作的。一个竖直的小镜被装在线圈上，以检测方位方面的任何运动。

图72

现在设使一个电流沿北—西—南—东的方向通过线圈。假如电是像水那样的一种液体，沿着导线而流动，那么，在电流开始的时刻，以及在速度增大的时间内，就要求加一个力来产生液体在绕着线圈流动时的角动量，而且，既然这个力必须由悬线的弹性来提供，在开始时线圈就将沿着相反的方向即西—南—东—北的方向而转动，而且这种转动将被小镜检测出来。在使电流停止时，小镜就会有另一次运动，这一次是沿着和电流相同的方向而转动的。

任何这种现象还都不曾被观察到。这样一种作用如果存在，它就将是很容易通过下述的特点而和已经知道的电流作用区别开来的。

（1）只有当电流的强度变化时，例如在接通或开断电流时，这种作用才会出现，而在电流不变时则不出现。

所有已知的电流的机械作用都依赖于电流的强度而不依赖于变化率。感生电流事例中的电动势不能和这种电磁作用混为一谈。

（2）当在场的一切电流都反向时，这一作用的方向也反转。

当所有的电流都反向时，所有已知的电流的机械作用都保持不变，因为它们是依赖于这些电流的平方和乘积的。

假如任何这样一种作用被发现了，我们就将能够把所说的正、负电中的一种看成一种实在的物质，从而我们就将能够把电流描述成这种物质沿着一个特定方向的真实运动。事实上，假如电运动不论怎样可以和普通物质的运动相比拟，则形如T_me 的项将存在，而且它们的存在将由机械力X_me 显示出来。

菲希诺尔设想，电流就是相等的正电和负电在同一导体中沿相反方向的流动；按照这种假设，第二类的项T_me 应该为零，因为属于正电流的每一项都和一个属于负电流的相等而异号的项相伴随，从而依赖于这些项的现象就将不存在。

然而在我看来，尽管我们由于认识到电流和物质性的液体流之间的许多类似性而获益匪浅，我们还是必须小心地避免作出没有实验资料保证的任何假设，而且，迄今还没有任何实验证据可以指明电流是否果然是一种实在物质的流动，或是不是一种双重流动，或电流的速度以英尺每秒计是大还是小。

关于这些问题的一种知识将至少意味着电的一种完全的动力学理论的开始；在那种理论中，我们将不是像在本书中一样把电作用看成一种由未知的原因所引起的、只服从动力学的普遍定律的现象，而是把它看成物质之已知部分的已知运动的结果；在那种理论中，不仅是运动的总效应和最后结果，而且还有运动的整个中间机制和细节都将被看成研究的对象。

575.〕　X_me 的第二项即 的实验研究更加困难，因为它涉及作用在迅速运动物体上的力的效应的观察。

图73所示的我在1861年制造的仪器，是打算用来测试这一种力的存在的。

电磁铁A可以在一个圆环中绕水平轴BB′而转动，圆环本身则绕竖直轴而转动。

设A、B、C分别是电磁铁对线圈轴线、水平轴BB′和第三条轴线CC′而言的惯量矩。

设θ是CC′和竖直线之间的夹角，φ是轴BB′的方位角，而 是线圈中电的运动所依赖的一个变量。

于是电磁铁的动能T就可以写成 式中E是可以称为线圈中的电的惯量矩的一个量。

如果 是所加力倾向于使θ增大的力矩，我们由动力学方程就得到

令所加的倾向于使 增大的力Ψ等于零，我们得到 这是一个常量，我们可以认为它代表线圈中的电流强度。

如果C比A大一些，Θ就将是零，而当 时绕BB′的平衡就将是稳定的。

这个θ值依赖于电流强度γ的值，而且按照电流方向的不同而为正或为负。

电流通过线圈的轴承B和B′而进入线圈中，轴承通过和放在竖直轴上的金属环相摩擦的弹簧片而和电池相接。

为了确定θ的值，在C上放了一个纸质圆盘，一条平行于BB′的直径把圆盘分成两半，一半涂成红色而另一半涂成绿色。

设仪器正在转动中，当θ为正时就在C处看到一个红色的圆，其半径大致地表示着θ的值。当θ为负时，就在C处看到一个绿色的圆。

通过套在和电磁铁相连的螺丝上的螺母，可以把CC′调成一个主轴，并使它的惯量矩刚刚超过绕轴A的惯量矩，这样就把仪器弄得对力的作用很敏感，如果力存在的话。

实验中的主要困难起源于地球磁力的干扰，它使电磁铁像一个倾角针那样地起作用。由于这种原因，所得到的结果是很粗略的，但是甚至当把一个铁芯插入线圈中，而使它成为一个强力的电磁铁时，也没有能够得到关于θ的任何变化的任何证据。

因此，如果一个磁体包含着迅速转动的物质，则这种转动的角动量和我们所能量度的任何量相比都必然是很小的，而且我们迄今还没有关于由转动的机械作用得出的关于T_me 项的存在的任何证据。

图73

576.〕　其次让我们考虑作用在电流上的力，也就是电磁力。

设Y是由感应引起的有效电动势，则必须由外界作用在电路上以平衡Y的电动势是Y′＝-Y，从而由拉格朗日方程就有

既然T中没有任何含坐标y的项，上式中的第二项就是零，而Y就简化为它的第一项。由此可见，电动势不可能存在于一个载有恒定电流的静止体系中。

此外，如果我们把Y分成和T的三个部分相对应的三部分Y_m 、Y_e 和Y_me ，我们就发现，既然T_m 不包含 ，应有Y_m ＝0。

我们也得到 这里的 是各电流的线性函数，而这一部分电动势就等于这一函数的变化率。这就是由法拉第发现了的感生电动势。以后我们还将更详细地考虑它。

577.〕　我们由依赖于速度和电流之乘积的那一部分T就得到

现在， 是各导体的速度的线性函数。因此，如果T_me 的任何项是实际存在的，那就将有可能通过只改变各导体的速度而不依赖于一切存在的电流来产生一个电动势。例如，在第574节的悬挂线圈的事例中，当线圈静止而我们使它突然绕着竖直轴而转动起来时，就会有一个正比于这一运动之加速度的电动势开始起作用。当运动变成均匀的时，这个电动势将消失，而当运动减速时电动势就会反向。

喏，很少有什么科学观测是可以做得比用一个电流计来确定一个电流存在或不存在的观测更加精确的。这种方法的灵敏度远远超过用来测量作用在一个物体上的力的大多数装置的灵敏度。因此，假如任保电流可以用这种办法来产生，它们就将会被发现，即使它们是很微弱的。它们将在下述的特征方面和普通的感生电流有所不同。

（1）它们将完全依赖于各导体的运动，而一点也不依赖于场中已有的电流强度或磁力。

（2）它们将不是依赖于各导体的绝对速度而是依赖于各导体的加速度，也依赖于各速度的平方和乘积，而且它们当加速度变成减速度时也会变化，即使绝对速度是相同的。

喏，在实际观察过的一切事例中，感生电流完全依赖于场中电流的强度和变化，而且不可能在一个没有磁力和没有电流的地方被激起。既然它们依赖于各导体的运动，它们就依赖于这些运动的绝对速度，而不是依赖于速度的变化。

这样，我们就有三种检测形如T_me 的项之存在的方法，其中任何一种方法都还一直不曾导致正面的结果。我曾经比较细心地指出了这些方法，因为在我看来很重要的是，我们在和真实的电学理论如此关系密切的一个问题上应该获取所能得到的最大量的证据。

然而，既然迄今不曾得到有关这种项的任何证据，我现在就将根据一个假设来进行工作，那就是，这些项并不存在，或者至少是并不引起可觉察的效应。这是一条将使我们的动力学理论大为简化的假设。然而我们将来会有机会讨论磁和光的关系，以证明构成光的那种运动会出现在涉及构成磁的运动的一些项中。

第四十章　电路理论

578.〕　我们现在可以把我们的注意力限制在体系的依赖于各电流强度的平方和乘积的那一部分动能上。我们可以把这种动能称为动电能量。依赖于各导体之运动的那一部分动能属于普通的动力学，而我们已经看到依赖于速度和电流之乘积的部分是并不存在的。

设A₁ 、A₂ 等等代表不同的导体电路。设它们的形状和相对应位置用一些变量x₁ 、x₂ 等等来确定，变量的个数等于力学体系的自由度数。我们将把这些变量叫做“几何变量”。

设y₁ 代表自时间t开始以来已经通过导体A₁ 的一个给定截面的电量。电流强度将用这个量的流数［fluxion，即导数］ 来代表。

我们将把 叫做实际电流，而把y₁ 叫做积分电流。对于体系中的每一个电路，各有一个这样的变量。

设T代表体系的动电能量。它是对各电流强度而言的一个二次齐次函数，其形式是

式中各系数L、M等等是各几何变量x₁ 、x₂ 等等的函数。电变量y₁ 、y₂ 等等并不进入表示式中。

我们可以把L₁ 、L₂ 等等叫做电路A₁ 、A₂ 等等的电惯量矩，而把M₁₂ 叫做两个路A₁ 、A₂ 的电惯量积。当我们想要避免使用动力学理论的语言时，我们将把L₁ 叫做电路A₁ 的自感系数，而把M₁₂ 叫做电路A₁ 和A₂ 的互感系数。M₁₂ 也叫做电路A₁ 对电路A₂ 而言的势。这些量只依赖于各电路的形状和相对位置。我们将发现，在电磁单位制中，它们是一些具有长度量纲的量。

对 微分T，我们就得到一个量p₁ ；这个量在动力学理论中可以叫做对应于y₁ 的动量。在电学理论中，我们将把p₁ 叫做电路A₁ 的动电动量。它的值是

因此，电路A₁ 的动电动量就等于它自己的电流乘以它的自感系数，再加上其他电路的电流分别乘以A₁ 和各该电路的互感系数所得之乘积的和。

电　动　势

579.〕　设E是由化学电池或温差电池之类的原因加在电路A上的电动势，它将独立于磁电感应而产生一个电流。

设R是电路的电阻，则由欧姆定律可知，需要一个电动势 来克服阻力，剩下一个电动势来改变电路的动量。把对应的力称为Y′，我们就由普遍方程得到

但是既然T不含y，后一项就是不出现的。

由此可见，由动势的方程是 或作

因此所加电动势就是两项之和。第一项， 是反抗阻力而保持电流 所需要的。第二项是增加电磁动量p所需要的。这就是必须由和磁电感应无关的电源供给的电动势。仅仅起源于磁电感应的电动势显然是 或者说是电路之动电动量的减小率。

电　磁　力

580.〕　设X′是由外界原因所引起的倾向于增大变量x的机械力。由普遍方程可得

既然动电能量的表示式并不包含速度 右端的第一项就不出现，从而我们就得到

此处X′是需要用来平衡起源于电学原因的力的外力。通常人们把这个力看成反抗电磁力的反作用；我们将把电磁力写成X，它和X′相等而反向。

由此即得

或者说，倾向于增大任一变量的电磁力等于对该变量每单位增量而言的动电能量增加率，若这时各电流保持不变。

如果各电流在电动势做功W的一次位移中由电池来保持不变，则体系的动电能量将同时增大一个量W。由此可见，除了由于在电路中产生热而消耗的能量以外，电池还要消耗双倍的能量即2W。这一点是由W. 汤姆孙爵士 ^〔44〕 首先指出的。请把这一结果和第93节中的静电性质作一比较。

二电路事例

581.〕　设A₁ 被称为“原电路”而A₂ 被称为“副电路”。体系的动电能量可以写成

式中L和N分别是原电路的副电路和自感系数，而M是它们的互感系数。

让我们假设，除了由原电路的感应所引起的电动势以外，没有任何别的电动势作用在副电路上。于是我们就有

把这一方程对t求积分，我们就有 即为常量，式中y₂ 是副电路中的积分电流。

测量一个短时间内的积分电流的方法将在第748节中加以描述，而且在多数事例中是不难保证副电流的持续时间为很短的。

设用撇号来标明方程中各变量在时间t的末时刻的值，如果y₂ 是积分电流，或者说是在时间t内流过副电路的一个截面的总电量，则有

设副电流完全是由感应引起的。如果在时间t开始以前原电流不变而各导体都处于静止，则副电流的初值 ₂ 必为零。

如果时间够长，可以允许副电流衰减完毕，则它的末值也为零，于是方程就变为

在这一事例中，副电路的积分电流依赖于M ₁ 的初值和末值。

感生电流

582.〕　让我们在开始时假设原电路是断开的，或者说 ₁ ＝0；设在电路接通时有一个电流 被建立了起来。

确定副积分电流的方程是

当各电路互相并排而方向相同时，M′是一个正量。因此，当原电路被接通时就在副电路中感应出一个负电流。

当原电路被断开时，原电流就停止，从而感生的积分电流就是y₂ ，且有

在这一事例中，副电流是正的。

如果原电流保持不变而各电路的形状和相对位置变化以致M变成了M′，则积分副电流是y₂ ，而

在两个电路相并排而方向相同的事例中，当电路间的距离增大时M就减小。因此感生电流当距离增大时为正而当距离减小时为负。

二电路之间的机械作用

583.〕　设x是二电路之形状及相对位置所依赖的几何变量之一，倾向于增大x的电磁力就是

如果和x的变化相对应的体系运动使得每一个电路都像一个刚体那样地运动，则L和N将不依赖于x，从而方程将简化为

由此可见，如果原电流和副电流符号相同，则作用于电路之间的力将倾向于使它们运动以增大M。

如果二电路是并排的而二电流是沿相同方向流动的，则M将由于二电路的靠拢而增大。由此可见，力X在这一事例中是一个吸引力。

584.〕　两个电路相互作用的整个现象，不论是电流感应现象还是二者之间的机械力，都依赖于我们已称之为互感系数的M。由二电路的几何关系来推算这个量的方法已在第524节中给出，但是在下一章的探讨中我们将并不假设有关这个量的数学形式的知识。我们将认为它已从关于感应的实验中推得，例如已经通过当把副电路突然从一个给定的位置挪动到无限远处或挪动到我们已知其M＝0的位置上时观测积分电流而求得。

注　卡文迪什实验室有一个由麦克斯韦设计的仪器，它很清楚地例示了电流的感应定律。

图74

这个仪器如图74所示。P和Q是两个圆盘。P的转动代表原电路，Q的转动代表副电路。两个圆盘通过一个差动齿轮而互相连接。中间的轮子携带一个飞轮，其惯量矩可以通过向里或向外移动重物来加以改变。副电路的电阻用一根绳子的摩擦来代表，绳子绕在Q上并用一个弹性带子来保持拉紧。如果P被弄得转动起来（电流在原电路中开始流动），则圆盘Q将向相反的方向转动（当原电流开始时副电路中出现反向电流）。当P的转动速度变成均匀的时，Q就是静止的（当原电流不变时副电路中没有电流）；如果圆盘P受到阻力，Q就开始沿着P的原有转动方向而转动（当原路被开断时副电路中出现正向电流）。铁芯的增强感应的效应可以通过增大飞轮的惯量矩来加以演示。

第四十一章　利用副电路来勘查场

585.〕　我们在第582、583、584节中已经证明，原电路和副电路之间的电磁作用依赖于一个用M来代表的量，这是两个电路的形状及相对位置的一个函数。

虽然M这个量和两个电路的势事实上是相同的，而那个势的数学形式和性质我们已在第423、492、521、539节中由磁现象和电磁现象推出，但是我们在这儿将只字不提那些结果而从一个新的基础重新开始；这时我们除了在第七章中叙述了的那些动力学理论的假设以外不再作任务别的假设。

副电路的动电动量包括两部分（第578节）：一部分是Mi₁ ，依赖于原电流i₁ ；另一部分是Mi₂ ，依赖于副电流i₂ 。现在我们要研究第一部分。我们用p来代表它，即

我们也将假设原电路是固定的，而原电流也是不变的。p这个量，即副电路的动电动量，在这一事例中将只依赖于副电路的形状和位置，于是，如果取任一闭合曲线作为副电路，并选定一个沿着曲线的方向作为正方向，则这条闭合曲线的p值是确定的。假若当初取了相反的沿曲线的方向作为正方向，则量p的符号将相反。

586.〕　既然量p依赖于电路的形状和位置，我们就可以假设，电路的每一部分都对p的值有某些贡献，而且电路的每一部分的贡献都只依赖于该部分的形状和位置，而并不依赖于电路的其他部分的位置。

这一假设是合理的，因为我们现在考虑的并不是一个各部分可能而且确实互相作用的电流，而只是一个电路，也就是电流可能沿着它运行的一条闭合曲线，从而这只是一个纯几何的图形，它的各个部分是不能被设想为彼此有什么物理的作用的。

因此我们可以假设，由线段元ds贡献的那一部分是Jds，此处J是一个依赖于ds之位置及方向的量。由此可见，p的值可以表示成一个线积分

式中的积分要沿电路计算一周。

587.〕　其次我们必须确定J这个量的形式。首先，如果ds的方向倒转，则J将变号。由此可见，如果两个电路ABCE和AECD具有一个公共部分AEC，但是这一部分在两个电路中是沿相反方向计算的，则两个电路ABCE和AECD上的p值将等于由该二电路合成的电路ABCD上的p值。

图75

因为，依赖于线段AEC的那一部分线积分在两个分电路中是相等而反号的，从而当加在一起时将互相抵消，剩下来的只是依赖于ABCD的外边界的那些线积分部分。

同样我们可以证明，如果一个以一条闭合曲线为边界的曲面被分成任意多个部分，如果其中每一个部分的边界线被看成一个电路，而每一个电路的正绕行方向和最外的闭合曲线的正绕行方向相同，则闭合曲线上的p值等于所有各电路的p值之和。请参阅第483节。

588.〕　现在让我们考虑曲面的一个部分，其线度和曲面的主曲率半径相比是如此的小，以致法线方向在该部分内部的变化可以忽略不计。我们也将假设，如果把任何一个很小的电路从一部分平行移动到另一部分，则小电路的p值不会有很大的变化。如果曲面部分的线度远小于它离原电路的距离，情况显然就是如此的。

如果在曲面的这一部分上画一条任意的闭合曲线，则其p值将正比于其面积。

因为，任何两个电路的面积都可以分成许多大小相同并有相同的p值的面积元。两个电路的面积之比等于它们所含的面积元数目之比，从而二电路的p值也有相同的比值。

由此可见，作为曲面上面积元dS之边界的电路的p值应有IdS，的形式，式中I是一个依赖于dS的位置及其法线方向的量。因此我们就有p的一个新表示式

此处的双重积分是在以电路为边的曲面上计算的。

589.〕　设ABCD是一个电路，其中AC是一个线段元，短得可以看成直线。设APB和CQB是同一平面上相等的面积，于是小电路APB和CQB的p值将相同。或者说，p（APB）＝p（CQB）。由此可见p（APBQCD）＝p（ABQCD）＋p（APB）＝p（ABQCD）＋p（CQB）＝p（ABCD），或者说，用折线APQC来代替直线AC，并不会改变p值，如果电路的面积并未显著地改变的话。事实上，这就是由安培的第二个实验确立了的原理（第506节），在那个实验中曾经证明，一个曲折的部分和一个直部分相等价，如果曲折部分的任何段都和直线部分相距不很远的话。

图76

因此，如果代替了ds，我们画出三个线段元dx、dy、dz，它们是一个接一个地画出并从ds的起点到达ds的终点而形成一条连续路径的，如果Fdx、Gdy、Hdz是分别对应于dx、dy、dz的线积分元，则有

590.〕　现在我们能够确定J这个量依赖于ds的方向的那种方式了。因为由（4）即得　　

这就是一个矢量投影在ds方向上的那一部分的表示式，该矢量x、y、z在各轴上的投影分别是F、G、H。

如果把这个矢量写成ρ，而把从原点到电路上一点的矢量写成ρ，则电路元将是dρ，而Jds的四元数表示式将是

现在我们可以把方程（2）写成下列形式：　　

或作　　

矢量 及其分量F、G、H依赖于ds在场中的位置而不依赖它被画出的方向。因此它们是ds的坐标x、y、z的函数而不是ds的方向余弦l、m、n的函数。

矢量 在方向和量值上代表一个电动强度的时间积分，该电动强度就是当原电路突然断开时一个位于点（x，y，z）上的粒子将经受到的。因此我们将把它叫做点（x，y，z）上的“动电动量”。它是和我们在第405节中在磁感之矢势的名义下研究过的那个量相等同的。

任一有限线段或电路的动电动量就是路径各点上动电动量沿该路径的分量的线积分。

591.〕　其次让我们确定元长方形ABCD的p值，长方形的各边是dy和dz，其绕行方向是从y轴方向转向z轴方向。

设元电路的重心O的坐标为x₀ 、y₀ 、z₀ ，并设这一点上的G值和H值是G₀ 和H₀ 。

长方形第一个边的中点A的坐标是y₀ 和 对应的G值是

图77

而起源于A边的p值部分近似地是　　

同理得到，

在B边上，　　

在C边上，　　

在D边上，　　

把这四个量加起来，我们就得到长方形上的p值，即

如果我们现在假设三个新量a、b、c，满足　　

并把这三个量看成一个新矢量 的分量，则由第24节的定理四，我们可把 沿任一回路的线积分用 在以该回路为边的一个曲面上的面积分表示出来，于是就有

或者写成　　

式中ε是 和ds之间的夹角，η是 和dS上方向余弦为l、m、n的法线之间的夹角，而 和 代表 和 的数值。

把这一结果和方程（3）相比较，就显然可知该方程中的I等于 或者说等于 在dS的法线上的投影。

592.〕　我们已经看到（第490、541节），按照法拉第的理论，电路中的电磁力及感应现象，依赖于穿过该电路的磁感线数目的变化。喏，这些线的数目是用磁感在以电路为边的任一曲面上的面积分来数学地表示的。由此可见，我们必须把矢量 及其分量a、b、看成我们已经熟悉的磁感及其分量。

在此处的探讨中，我们打算从在上一章中叙述了的动力学原理出发并尽可能少地求助于实验来导出这一矢量的性质。

当把作为数学探讨的结果而出现的这一矢量和我们通过有关磁体的实验而知道了它的性质的磁感等同看待时，我们并没有背离这一方法，因为我们并没有把任何新的事实引入到理论中来，而是只给一个数学量加上了一个名称，而这种作法的恰当性是按照数学量的各关系式和该名称所指示的那一物理量的各关系式的一致性来判断的。

既然矢量 出现在一个面积分中，它就显然属于第12节所描述的那种流量密度的范畴。另一方面，矢量 却属于力的范畴，因为它是出现在一个线积分中的。

593.〕　在这儿，我们必须回忆关于量的和方向的正负的约定，其中某些约定已在第23节中叙述过。我们采用右手坐标系，就是说，如果沿着x轴的方向放一个右手螺旋，而螺旋上的螺母是沿着正方向即从y方向转向z方向而被转动的，则螺母将沿着x的正方向而在螺旋上前进。

我们也把玻璃电和指北磁极算作正的。一个电路或一条电感线的正方向就是正电的运动方向或它倾向于运动的方向，而一条磁感线的正方向就是一个罗盘指针的指北极所指的方向。请参阅第498节的图63和第501节的图64。

图78

我们建议学生自选一种在他看来是最有效的方法来把这些约定牢记在心中，因为要记住关于在以前是不同的两种方式中到底选用哪一种来进行叙述的规则，比记住从多种方式中选出一种方式的法则还要困难得多。

594.〕　其次我们必须由动力学原理导出通过磁场而作用在一个载流导体上的电磁力的表示式，以及作用在磁场中的一个导体内的电上的电动势的表示式。我们所采用的数学方法可以和法拉第 ^〔45〕 借助于一根导线来探测场的实验方法相对比，也可以和我们在第490节中利用一种建筑在实验上的方法已经做到的那些事情相对比。我们现在必须做的就是确定由副电路形状的给定变化所引起的对该电路动电动量p的值的影响。

设AA′、BB′是两个平行的直导体，用一个形状可以任意的导电弧C来互相连接，并用一个直导体AB来互相连接；AB可以平行于自身而在导体轨道AA′和BB′上滑动。

设把这样形成的电路看成副电路，并把方向ABC取作正方向。

设滑动部分平行于自身而从位置AB滑到了位置A′B′。我们必须确定滑动部分的位移所引起的电路之动电动量p的变化。

副电路由ABC变成了A′B′C′，因此由第597节可得

因此我们必须确定平行四边形AA′B′B上的p值。如果这个平行四边形足够小，以致我们可以忽略磁感的方向和量值在它的平面的不同各点上的变化，则由第591节可知，p的值是 AA′B′B，式中 是磁感，而η是它和平行四边形AA′B′B的正向法线之间的夹角。

我们可以用一个平行六面体的体积来几何地表示上述结果；该平行六面体的底是平行四边形AA′B′B，而它的一个棱是在方向和量值上都代表磁感V的一个线段AM。如果平行四边形位于纸面上，而AM的方向由纸面向上，或者说得更普遍些，如果电路AB的方向、磁感AM的方向和位移AA′的方向当按循环次序来看时形成一个右手系，则平行六面体的体积取作正值。

这个平行六面体的体积就代表由于滑动部分从AB到A′B′的位移而引起的副电路之p值的增量。

作用在滑动部分上的电动势

595.〕　由第597节可知，滑动部分的运动在副电路中引起的电动势是

如果我们假设AA′是单位时间内的位移，则AA′将代表速度，而平行六面体将代表 从而由方程（14）可知它就代表沿负方向BA的电动势。

由此可见，由于滑动部分AB在磁场中的运动而引起的作用在该部分上的电动势，用其各棱在方向和量值上代表速度、磁感和滑动部分本身的一个平行六面体的体积来表示，而且当这三个方向具有右手循环的次序时电动势为正。

作用在滑动部分上的电磁力

596.〕　设i₂ 代表副电路中沿正方向ABC的电流，则当AB从位置AB滑到位置A′B′上时电磁力对它做的功是（M′－M）i₁ i₂ ，此处M和M′是AB的初位置和末位置上的M₁₂ 值。但是（M′－M）i₁ 等于p′－p，而且是用以AB、AM和AA′为棱画出的平行六面体的体积来表示的。因此，如果我们用一条平行于AB的线来表示AB. i₂ ，则这条线和磁感AM以及位移AA′所包含的平行六面体将表示在这一位移时间内所做的功。

对于一个给定大小的位移来说，当位移垂直于以AB和AM为边的平行四边形时功为最大。因此电磁力就用以AB和AM为边的平行四边形的面积乘以i₂ 来表示，而其方向沿着这一平行四边形的法线，该法线画得使AB、AM和法线成右手循环的次序。

磁感线的四种定义

597.〕　如果滑动部分的运动方向AA′和磁感的方向AM相重合，滑动部分的运动就不会引起电动势，而如果AB载有一个电流，它也不会有沿AA′而滑动的趋势。

再者，如果滑动部分AB的方向和磁感的方向AM相重合，则AB的任何运动都不会引起电动势，而且AB中的一个电流也不会使AB受到机械力的作用。

因此我们就可以用四种不同的方式来定义磁感线。

（1）如果一个导体平行于自身而沿着磁感线运动，该导体就不会受到电动势的作用。

（2）如果一个载流导体可以沿着一条磁感线而自由运动，则该导体不会有如此运动的倾向。

（3）如果一个线性导体在方向上和一条磁感线相重合，而且被迫使平行于自身而沿任一方向运动，则该导体不会受到沿其长度方向的电动势的作用。

（4）如果一个载有电流的线性导体在方向上和一条磁感线相重合，则该导体不会受到任何机械力的作用。

电动强度的普遍方程

598.〕　我们已经看到，作用在副电路上的由感应引起的电动势E等于 此处

为了确定E，让我们对t求被积函数的导数；这时要记得，如果副电路是运动的，则x、y、z是时间的函数。我们得到

现在考虑第二行中的积分并按照第591节中的方程组（A）把 和 的值代入此式。于是这一行就变成 此式也可以写成

用同样办法处理第三行和第四行并计算含 和 的各项；这时要记得

从而当沿闭合曲线计算时积分为零，于是即得　　

我们可以把这一表示式写成下列形式：　　

式中　　

引入含新量Ψ的各项是为了使P、Q、R的表示式具有普遍性。当沿闭合曲线求积分时，这些项将不出现。因此，从我们现在所面对的问题来看，量Ψ是中间性的，因为现在的问题正是要确定沿电路的电动势。然而我们即将发现，我们可以给Ψ指定一个确定的值，而且它在一种确定的定义下代表（x，y，z）点的电势。

方程（5）中积分号下的表示式代表作用在电路元ds上的电动强度。

如果我们用T. 来代表P、Q、R的合矢量的数值，并用ε来代表这一合矢量的方向和ds的方向之间的夹角，我们就可以把方程（5）写成　　

矢量 就是运动电路元ds上的电动强度。它的方向和量值依赖于ds的位置和运动，也依赖于磁场的变化，但并不依赖于ds的方向。因此我们现在就可以不必考虑ds形成电路之一部分的这一事实，而只把它看成一个运动物体上受到电动强度 作用的一部分。电动强度早在第68节中已经定义过了。它也被称为合电场强度，也就是位于该点上的一个单位正电荷所将受到的力。现在我们已经在磁场中的运动物体的事例中求得了由一个变化的电体系所引起的这个量的最普遍的值。

如果物体是一个导体，则电动势将产生一个电流；如果物体是一个电介体，则电动势将只产生电位移。

电动强度，或者说作用在一个粒子上的力，必须和作用在一个曲线弧上的电动势仔细地区分开来；后一个量是前一个量的线积分。请参阅第69节。

599.〕　其分量由方程组（B）来定义的电动强度依赖于三种情况。其中第一种就是粒子在磁场中的运动。依赖于这种运动的那一部分力由每一方程右端的前两项来表示。它依赖于粒子扫过磁感线的速度。如果 是一个表示着速度的矢量，而 是另一个表示着磁感的矢量，那么，如果 是依赖于运动的那一部分电动强度，就有

或者说，这一部分电动强度就等于磁感和速度之乘积的矢量部分；这就是说，电动强度的量值用以速度和磁感二矢量为边的平行四边形的面积来表示，其方向沿这一平行四边形的法线，而法线的画法要使速度、磁感和电动强度成右手循环的次序。

方程组（B）中每一方程的第三项依赖于磁场的时间变化率。这可以起源于原电路中电流的时间变化率，也可以起源于原电路的运动。设 是依赖于这些项的那一部分电动强度。它的分量是 和 而这些就是矢量 或 的分量。由此可见　　

方程组（B）中每一方程的最后一项是由函数Ψ在场的不同部分中的变化引起的。我们可以把由这种原因引起的这个第三部分电动强度写成　　

因此，由方程组（B）定义的电动强度就可以写成四元数的形式如下

当所参照的坐标系是在空间中运动的时对电动强度方程组的修订

600.〕　设x′、y′、z′是相对于一个在空间中运动着的直角坐标系而言的一点的坐标，并设x、y、z是相对于固定坐标系而言的同一点的坐标。

设运动系的原点相对于固定系的速度的分量是u、v、w，而其角速度分量是ω₁ 、ω₂ 、ω₃ ，而且让我们选择各固定坐标轴使它们在给定的时刻和各运动坐标轴相重合，于是在两个坐标轴中有所不同的量将只是那些对时间求了导数的量。如果 代表和运动坐标系刚性连接着的点的分速度，而 和 代表任何一个具有相同瞬时位置的点分别相对于固定坐标系和运动坐标系的分速度，则有 ^〔46〕 　　

其他分速的方程与此相似。

由一个固定形状的物体的运动理论可知，　　

既然F是一个有向量的平行于x轴的分量，如果 是 相对于运动坐标系而言的值，则可以证明　　

把由方程组（A）导出的 和 的值代入此式中，并记得由（2）应有

我们得到　　

如果我们现在令　　

就有　　

由（B）可知，相对于固定坐标系来说，电动强度平行于x轴的分量P的方程是

把相对于运动坐标系而言的各量的值代入此式，我们就得到相对于运动坐标系而言的P′的方程如下：　　

601.〕　由这一方程看来，不论导体的运动是相对于固定坐标系还是相对于运动坐标系而言的，电动强度都是用同一种形式的公式来表示的，唯一的不同就是在运动坐标系的事例中必须把电势Ψ换成Ψ＋Ψ′。

在电流是出现在一个导体电路中的一切事例中，电动势都是沿电路计算的线积分，

Ψ的值并不出现在这一积分中，从而Ψ′的引入对积分值毫无影响。因此，在涉及闭合电路及电路中的电流的一切现象中，我们所用的坐标系是固定的还是运动的就全都无所谓了。请参阅第668节。

关于作用在一个通过磁场的载流导体上的电磁力

602.〕　我们在第583节的普遍探索中已经看到，如果x₁ 是确定着副电路之位置及形状的变量之一，而X₁ 是作用在副电路上而倾向于增大这一变量的力，则有

既然i₁ 是和x₁ 无关的，我们就可以写出

于是关于X₁ 的值我们就有　　

现在让我们假设，位移就是使电路上的每一点沿x方向移动一个距离δx，此处δx可以是s的任意连续函数，从而电路的不同部分是互相独立地运动的，而电路则保持为连续的和闭合的。

另外，设X是沿x方向作用在从s＝0到s＝s的电路部分上的总力，则和电路元ds相对应的那一部分力将是 于是我们就将得到力在位移过程中所做的功的下列表示式：　　

式中的积分是沿着闭合曲线计算的，此时要记得δx是s的一个任意函数。因此我们可以按照第598节中对t微分的同样方式来完成对δx的微分，这时要记得

于是我们就得到　　

当积分沿闭合曲线计算时，最后一项就变为零，而既然方程必须对一切形式的函数δx都成立，我们就必须有　　

这个方程就给出作用在任一单位电路元上的平行于x方向的力，平行于y轴的和平行于z轴的力是　　

作用在电路元上的合力在方向上和量值上由四元数表示式 来给出，式中i₂ 是电流的量值，dρ和 是表示着电路元和磁感的两个矢量，而乘积是按哈密顿意义来理解的。

603.〕　如果导线不应该被看成一条线而应该被看成一个体，我们就必须用一些表示着单位体积的力和单位面积的电流的符号来把作用于在线段元上的力表示出来。

现在令X、Y、Z代表按单位体积来计算的分力，并令u、v、w代表按单位面积来计算的电流的分量。于是，如果S代表我们将假设为很小的导体截面，则电路元ds的体积将是Sds，而 由此可见方程（7）将变成　　

在这里，X、Y、Z是作用在导体的一个体积元上的电磁力的分量除以该体积元的体积；u、v、w是针对单位面积来计算的通过体积元的电流的分量，而a、b、c也是针对单位面积来计算的该体积元处的磁感分量。

如果矢量 在量值和方向上表示作用在导体的单位体积上的力，而 表示通过它的电流，则有　　

［第598节中的方程组（B）可以用下列方法证明，此法导源于麦克斯韦教授的〈电磁场的一种动力学理论〉一文，见Phil. Trans. 1865, pp. 459～512.

-p的时间变化率可以分成两部分，一部分依赖于电路的运动而另一部分则不依赖于导体的运动。后一部分显然是

为了求出前一部分，让我们考虑形成电路之一部分的一个弧δs；让我们设想这个弧是以分量为 、 、 的速度ν而沿着导轨运动的，导轨可以被认为是平行的，这时电路的其余部分被假设为保持静止。于是我们可以假设运动弧生成一个小的平行四边形，其法线的方向余弦是 式中l、m、n是δs的方向余弦，而θ是ν和δs之间的夹角。

为了验证λ、µ、ν的符号，我们可以取m＝-1而 这时它们就变成0、0、-1，正如在一个右手坐标系中所应该出现的那样。

现在设a、b、c是磁感的分量，于是由于δs在时间δt中的运动，我们就有

δp＝（aλ＋bμ＋cν）vδtδssinθ。

如果我们假设电路的每一部分都以类似的方式而运动，则总的效果将是整个导体的运动，而导轨中的电流在两个相邻弧的每一事例中都互相抵消。因此，由电路的运动所引起的-p的时间变化率就是 两个类似的项｝ds。

沿电路求积分，即得 两个类似的积分。

第602节中关于电磁力分量的结果，可以从上面的δp表示式中推导出来；就是说，令弧δs沿方向l′、m′、n′运动一个距离δs′，就有δp＝｛l′（cm－bn）＋两个类似的项｝δsδs′。

现在设X是作用在弧s上的力的x分量，则对单位电流来说，我们由第596节即得

电磁场方程组

如果假设电流永远是沿着闭合电路运行的，我们就可以不必引入矢势而导出一些方程，而这些方程将确定电磁场的状态。

因为，设i是任意一条我们将假设它为静止的电路中的电流强度。由这一电流引起的动电能量T是 式中dS是以电路为边界的一个曲面上的面积元。

由此可见，电路中倾向于增大i的总电动势即 就等于

因此，如果X、Y、Z是电动强度的分量，就有

但是由斯托克斯定理，此式左端等于

使这一积分和方程（1）的右端相等，既然包围电流的曲面是完全任意的，我们就得到

这些方程，以及在比电阻为σ的导体中的各关系式

或在比感本领为K的绝缘体中的各关系式 一起，就足以确定电磁场的状态了。任一曲面上的边界条件是，垂直于曲面的磁感应该连续，而平行于曲面的磁力也应该连续。

这种研究电磁场方法的一种优点就在于它的简单性。这种方法曾受到亥维赛先生的大力支持。然而它却不像正文中的方法那样普遍，因为正文中的方法即使在电流并不是永远在闭合电路中运行时也能适用。

第四十二章　电磁场的普遍方程组

604.〕　在我们关于电动力学的理论讨论中，我们是从一条假设开始的，那就是，一组载流电路形成一个动力学体系，体系中的电流可以看成一些速度，而和这些速度相对应的各个坐标本身并不出现在方程中。由这一假设可以推知，体系的动能就其对电流的关系来看是各电流的一个二次齐次函数，其中的各个系数只依赖于各电路的形状和相对位置。假设了这些系数已由实验或其他方法求出，我们用纯动力学的推理导出了电流的感应定律，以及电磁吸引力的定律。在这种探讨中，我们引用了一个电流组的动电能量的概念、一个电路的电磁动量的概念以及两个电路的相互势的概念。

然后我们就着手借助于副电路的各种位形来勘查了场，并从而被引导到了一个在场中任一点上都有确定的量值和方向的矢量 的概念。我们把这个矢量叫做该点的电磁动量。这个量可以看成一个电动强度的时间积分，而如果把所有的电流突然从场中撤走，那就会在该点上引起这个电动强度。这个量是和在第405节中已经作为磁感之矢势而研究过的那个量相等同的。它的平行于x、y、z的分量是F、G、H。一个回路的电磁动量就是 在回路上的线积分。

然后我们就利用第24节中的定理回来把 的线积分变换成了另一个矢量 的面积分；这个矢量的分量是a、b、c，而且我们发现，由导体的运动而引起的感应现象以及电磁力的现象都可以用 表示出来。我们把 命名为磁感，因为它的性质和法拉第所研究过的磁感线的性质相等同。

我们也建立了三组方程。第一组（A）是磁感方程组，把磁感用电磁动量表示了出来。第二组（B）是电动强度方程组，把电动强度用导体扫过磁感线的运动和电磁动量的变化率表示了出来。第三组（C）是电磁力方程组，把电磁力用电流和磁感表示了出来。

在所有这些事例中，电流都应该被理解为实际的电流，即不仅包括传导电流而且包括电位移的变化。

磁感 就是我们在第400节中已经考虑过的那个量。在一个未磁化的物体中，它和作用在一个单位磁极上的力相等同，但是如果物体是永久性地被磁化或是通过感应而被磁化了的，它就将是作用在一个位于物体中的扁平空腔中单位磁极上的力，空腔的平面垂直于磁化的方向。 的分量是a、b、c。

由定义了a、b、c的方程组（A）可以推得

这在第403节中已经证明正是磁感的一种性质。

605.〕　不同于磁感，我们曾经把一个磁体内部的磁力定义为作用在一个位于细长空腔中的单位磁极上的力，该空腔的长轴平行于磁化的方向。这个量用 来代表，它的分量用α、β、γ来代表。请参阅第398节。

如果 是磁化强度，而A、B、C是它的分量，则由第400节得到

我们可以把这些方程叫做磁化方程组，而且它们表明，在电磁单位制中，看成一个矢量的磁感 是两个矢量在哈密顿意义下的和，那两个矢量就是磁力 和乘以4π的磁化 ，或者说， ＝ ＋4π 。

在某些物质中，磁化依赖于磁力，而且这是用在第426节和第435节中给出的感生磁性的方程组表示了的。

606.〕　研究到这个地方，我们已经根据纯动力学的考虑导出了一切结果而根本没有提及电和磁方面的定量实验。我们所曾用到的实验知识，仅在于承认了一些由理论推出的抽象的量就是一些由实验发现了的具体的量，并且用了一些名词来代表它们，这些名词指示着各该量的物理关系而不是它们的数学起源。

利用这种办法，我们曾经指出了电磁动量 作为一个在空间中从一部分到另一部分而变化着的矢量的存在，而且由此出发，我们曾经通过数学的手续而推得了作为一个导出矢量的磁感 。然而我们并不曾用到关于由场中的电流分布来确定 或 的任何资料。为此目的，我们必须找出这些量和电流的数学联系。

我们从承认永久磁体的存在开始，各该磁体的相互作用满足能量守恒原理。除了服从这一原理，即认为作用在一个磁极上的力必须可以从一个势函数导出以外，我们在磁力定律方面并不提出任何假设。

然后我们就观察电流和磁体之间的作用，而且我们发现，一个电流对一个磁体的作用方式和另一个磁体对那个磁体的作用方式在表观上相同，如果这另一个磁体的强度、形状和位置都调节得适当的话；而且我们也发现，磁体对电流的作用方式也和另一个电流对该电流的作用方式相同。这些观察不一定被假设为是和力的实际测量相伴随的。因此它们不应该被看成是提供着数值资料的，它们只不过在给我们提出供考虑的问题方面是有用的而已。

这些观察所提出的问题是，在许多方面和由磁体产生的磁场相似的由电流产生的磁场，是不是在和势的关系方面也和前一种磁场相似？

一个载流电路在它周围的空间中产生一些磁效应，它们和由一个以电路为边界的磁壳所产生的磁效应确切相同；这一事实的证据已经在第482～485节中叙述过了。

我们知道在磁壳的事例中是存在一个势的；这个势在磁壳物质之外的一切点上都有确定的值，但是它在磁壳两侧的两个邻近点上的值却相差一个有限的量。

如果一个电流周围的磁场和一个磁壳周围的磁场相似，则作为磁力的线积分而求出的磁势对于两条积分曲线来说将相同，如果其中一条曲线可以通过不和电流相交的连续运动而转化为另一条曲线的话。

然而，如果一条积分曲线不能不和电流相交而转化为另一条积分曲线，则磁力沿一条曲线的线积分将和它沿另一条曲线的线积分相差一个依赖于电流强度的量。因此，由一个电流引起的磁势就具有一系列无限多个彼此之间有一公共差的值，而特定的值则依赖于积分曲线的画法。在导体物质的内部，并不存在磁势之类的量。

607.〕　假设了一个电流的磁作用有一个这样的磁势，我们就开始来数学地表示这一假设了。

首先，如果一条闭合曲线并不包围电流，则磁力在这条闭合曲线上的线积分为零。

其次，如果电流沿正方向穿过闭合曲线一次，而且只穿过一次，则线积分有一个确定的值，而这个值就可以用来作为电流强度的一种量度。因为，如果闭合曲线按任何连续方式改变其形状而并不切割电流，则线积分将保持不变。

在电磁单位制中，磁力沿一条闭合曲线的线积分在数值上等于穿过闭合曲线的电流乘以4π。

如果我们把其边为dy和dz的长方形取作闭合曲线，则磁力沿长方形各边的线积分是 而如果u、v、w是电流的分量，则穿过该长方形的电流是udydz。

将此式乘以4π并使它和线积分的结果相等，我们就得到一个方程

同理即得　　

当每一点上的磁力已经给定时，这一方程组就能确定电流的方向和量值。

当没有任何电流时，这些方程就和条件αdx＋βdy＋γdz＝-DΩ相等价，或者说，在场中没有电流的一切点上，磁力可以从一个磁势中导出。

把方程组（E）中的各式分别对x、y和z求导数并相加，我们就得到方程

此式就表明，分量为u、v、w的电流服从一种不可压缩的液体的运动条件，而且它必然是沿着闭合的路线在流动的。

这一方程，只有当我们把u、v、w看成那种既由真正的导电又由电位移的变化所引起的电的流动的分量时才是正确的。

关于由电介质中电位移的变化所引起的电流的电磁作用，我们掌握的实验证据非常少，但是把电磁定律和非闭合电流的存在互相协调起来的极大困难，就是我们之所以必须承认由电位移的变化所引起的瞬变电流存在的许多原因之一。这些电流的重要性，当我们考虑到光的电磁理论时就会被看出。

608.〕　我们现在已经确定了和奥斯特、安培及法拉第所发现的那些现象有关的各主要量之间的关系。为了把这些量和在本论著的前几编中描述了的现象联系起来，还需要另外一些关系式。

当电动强度作用在一个物质体上时，它就在物质体中产生两种电效应，而法拉第称这两种效应为“感应”和“传导”；第一种效应在电介体中最为突出，而第二种效应在导体中最为突出。

在本书中，静电感应是用我们称之为电位移的那个量来量度的。这是一个有向量或矢量，我们曾经用 来代表它，并用f、g、h来代表它的分量。

在各向同性的物质中，电位移和产生它的电动强度同向，并和电动强度成正比，至少当电动强度的值很小时是如此。这一事实可以用一个方程表示出来，即

式中K是物质的介电本领。请参阅第68节。

在并非各向同性的物质中，电位移 的分量f、g、h是电动强度 的分量P、Q、R的线性函数。

电位移方程组的形式和在第289节中给出的电传导方程组的形式相仿。

这些关系可以用下述说法来表达：K在各向同性的物体中是一个标量，但在别的物体中却是一个作用在矢量 上的线性矢量函数。

609.〕　电动强度的另一种效应就是传导。作为电动强度之结果的电传导定律是由欧姆建立的，而且是在本书第二编的第241节中已经解释过的。这些定律总结为一个方程　　

式中 是一点上的电动强度， 是传导电流的密度，其分量为p、q、r，而C是物质的电导率；在各向同性物质的事例中C是一个简单的标量，但在其他物质中却变成一个作用在矢量 上的线性矢量函数。这个函数的形式已在第298节中在笛卡儿坐标下给出。

610.〕　本论著的主要特点之一就在于一个学说，它主张电磁现象所依赖的真实电流 和传导电流 并不相同，而是在估计总的电荷运动时必须把电位移 的时间变化率考虑在内，因此我们必须写出

或者，用分量表示出来，就是　　

611.〕　既然 和 都依赖于电动强度 ，我们就可以把真实电流 用电动强度表示出来，于是就有　　

或者，在C和K为常量的事例中就有　　

612.〕　任意一点上的自由电荷的体密度可以通过方程　　

而由电位移的分量求得。

613.〕　电荷的面密度是　　

式中l、m、n是从曲面指向电位移分量为f、g、h的那种媒质的法线的方向余弦，而l′、m′、n′是从曲面指向电位移分量为f′、g′、h′的那种媒质的法线的方向余弦。

614.〕　当媒质的磁化完全是由作用在它上面的磁力所感生的时，我们就可以写出感生磁化方程　　

式中μ是磁导系数，它可以被看成一个标量或一个作用在 上的线性矢量函数，随媒质是否各向同性而定。

615.〕　这些关系式可以看成我们所曾考虑过的各量之间的主要关系式。它们可以互相联立，以消去其中某些量，但是我们目前的目的不在于获得数学公式的紧凑性而在于表示我们对之有所知的每一种关系。消去一个表示着有用概念的量，在我们目前的探索阶段上将不是一种收获而是一种损失。

然而却有一种结果，是我们可以通过把方程组（A）和（E）结合起来而求得的，而且是具有很大重要性的。

如果我们假设，除了在载流电路的形式下以外场中没有其他的磁体，则我们一直保留了的磁力和磁感之间的区别将不复存在，因为只有在磁化了的物质中这些量才是彼此不同的。

按照即将在第833节中加以阐释的安培的假说，我们所说的磁化物质的性质是由分子性的电路引起的，因此只有当我们考虑大块的物质时，我们的关于磁化的理论才是适用的，而如果我们的数学方法被假设为能够把发生在个体分子中的过程照顾在内，则这些方法将只会看到电路而看不到任何别的东西，从而我们就将发现磁力和磁感是互相等同的。然而，为了能够随心所欲地应用静电单位制或电磁单位制，我们将保留系数μ，并记住它在电磁单位制中的值是1。

616.〕　由第591节的方程组（A），磁感的分量是

由第607节的方程组（E），电流的分量由下列方程组给出：　　

按照我们的假说，a、b、c是分别和μα、μβ、μγ相等同的。因此我们就得到｛当μ为常数时｝，

如果我们写出　　

并写出 ^〔47〕

我们就可以把方程（1）写成

同理，　　

如果我们写出

就有　　

式中r是从体积元（x、y、z）到所给点的距离，而积分是遍及于全部空间的。于是即得

量 从方程组（A）中消失了，从而它是和任何物理现象都没有联系的。如果我们假设它到处等于零，J就将也到处等于零。略去方程组（5）中各量上的撇号，该方程组就将给出 的各分量的真实值。

617.〕　因此，作为 的一种定义，我们可以把它看成电流的矢势，它和电流之间的关系类似于标势和引起标势的物质之间的关系，而且也是用一个类似的积分手续求得的。这个积分手续可以描述如下：

设从一个给定点开始画一个在量值和方向上表示着一个给定的电流元除以电流元到该给定点的距离的数值。设针对每一电流元都画了这样的矢量。这样得到的所有各矢量的合矢量就是全部电流的矢势。既然电流是一个矢量性的量，它的势也是一个矢量。请参阅第422节。

当电流的分布已经给定时，就存在一种、而且只存在一种 值的分布，使得 到处都为有限的和连续的，并满足方程∆² ＝4πμ ，S. ∆ ＝0，而且在离电体系为无限远处变为零。这个值就是由方程（5）所给出的那个值，该方程可以写成四元数的形式，

各电磁方程的四元数表示式

618.〕　在本论著中，我们曾经努力避免了任何要求读者具有四元数计算知识的推理过程。与此同时，当必要时，我们曾经毫不迟疑地引用了矢量概念。当我们有机会用一个符号来代表一个矢量时，我们曾经用了德文字母，因为不同矢量的数目是如此之大，以致哈密顿所喜爱的符号很快就会不够用了。因此，每当用了一个德文字母时，它就代表一个哈密顿式的矢量，它既表示矢量的量值又表示矢量的方向。矢量的分量用罗马字母或希腊字母来表示。

我们必须考虑的主要矢量是：

我们也有下列的标量函数：

电势Ψ。

磁势（在它存在之处）Ω。

电荷密度e。

磁“质”密度m。

除此以外，我们还有指示着每一点上的媒质性质的下列各量：

C，电流的传导率。

K，介电感应本领。

μ，磁感应本领。

这些量在各向同性的媒质中是ρ的简单标量函数，但是在普遍情况下则是作用在它们被应用上去的那些矢量函数上的线性矢量算符。K和μ肯定都是自轭的，而C或许也如此。

619.〕　磁感方程组（A）的第一个方程是 现在该方程组可以写成下列形式了： ＝V. ∇ ，式中∇是算符 而V则表示应取这一运算结果的矢量部分。

既然 是满足条件S. ∇ ＝0的，∇ 就是一个纯矢量，从而符号V是不必要的。

电动势方程组（B）的第一个方程是 现在该方程组变成了 ＝V. － －∇Ψ。

机械力方程组（C）的第一个方程是 ^〔48〕 现在该方程组变成了 ＝ A ＋e －m∆Ω。

磁化方程组（D）的第一个方程是a＝α＋4πA，现在该方程组变成了 ＝ ＋4π 。

电流方程组（E）的第一个方程是 现在该方程组变成了4π ＝V. ∇∇ 。

由欧姆定律可知，传导电流的方程是 ＝C 。电位移的方程是 既由电传导又由电位移的变化所引起的全电流的方程是

当磁化起源于磁感应时，有 ＝μ 。为了确定电荷的体密度，我们也有e＝S. ∇ 。为了确定磁的体密度，有m＝S. ∇ 。当磁力可以由一个势导出时，有 ＝-∇Ω。

第九章附录

如果电磁场中包含一些具有不同磁导率的物质，则表示式（5）一般是并不准确的，因为，在那种事例中，在两个不同磁导率的分界表面上，通常会有自由磁；这就会在矢势的表示式中引起一些项，由第35页上的方程（22）来表示。如果两种媒质的磁导率是μ₁ 和μ₂ ，分界面两侧的矢势分量用F₁ 、G₁ 、H₁ 和F₂ 、G₂ 、H₂ 来代表，而l、m、n是分界面法线的方向余弦，那么，两种媒质的分界面上的边界条件就包括两部分：第一，既然法向磁感是连续的，就有

第二，既然沿分界面的［分］磁力是连续的，就有

表示式（5）通常并不满足这些边界条件。因此，最好认为F、G、H是由方程

∇² F＝4πμu

∇² G＝4πμv

∇² H＝4πμw

以及上述那些边界条件来给出的。

当导体是运动的时，看来假设方程组（B）中的Ψ就代表静电势是并不合理的，因为麦克斯韦在推导这些方程时舍去了一项 理由是这一项当沿着一条闭合回路求积分以后将变为零。如果我们把这一项加进去，则Ψ不再是静电势而是该势 之和。

这一点对一个曾经吸引了很多注意力的问题有一种重要的应用；那就是一个在磁场中以角速度ω绕竖直轴而转动的球的问题，设磁场中的磁力是竖直的并等于c。假设球的转动已经达到稳定状态，方程组（B）在这一事例中就变成

既然球是一个处于稳定状态的导体，而且 由此即得

这一方程通常被诠释为意味着在整个球内有一种体密度为-cω/2π的电荷分布，然而只有当我们假设Ψ是静电势时这种诠释才是合理的。

如果我们试着导出方程组（B）的那种研究来假设Φ是静电势，而

或者，在这一事例中就是Ψ＝Φ＋ω（Gx－Fy），那么，既然 我们就看到，由于 故有 就是说，在整个球体中并不存在自由电荷的分布。

因此，在电磁场的各个方程中，并没有任何东西引导我们去假设一个转动的球体中会含有自由电荷。

用球极坐标和柱坐标来表示的电磁场的方程

如果F、G、H分别是矢势沿矢径、子午线和纬度平行线的分量，a、b、c是磁感在这些方向上的分量，α、β、γ是磁力在这些方向上的分量，而u、v、w是电流在这些方向上的分量，则我们可以很容易地证明

如果P、Q、R是电动强度沿矢径、子午线和纬度平行线的分量，则有

如果柱坐标是ρ、θ、z，而F、G、H是矢势平行于ρ、θ、z的分量，a、b、c是磁感在这些方向上的分量，α、β、γ是磁力在这些方向上的分量，u、v、w是电流在这些方向上的分量，则有

如果P、Q、R是电动强度沿ρ、θ、z的分量，则有

第四十三章　电学单位的量纲

620.〕　每一个电磁量都可以参照基本量长度、质量和时间的单位来加以定义。如果我们从第65节中所给出的那种电量的定义开始，我们就可以利用包括某一电磁量和电量的方程来得到每一个电磁量的单位，这样得到的单位制叫做“静电单位制”。

另一方面，如果我们从第374节所给出的那种磁极的单位开始，我们就会得到同一套量的一种不同的单位制。这种单位制和前一种单位制并不一致，叫做“电磁单位制”。

我们将从叙述不同单位之间在两种单位制中都成立的那些关系式开始，然后我们按照每一单位制作出各单位的一个量纲表。

621.〕　我们将把我们所必须考虑的主要量配成对。在前三对中，每一对中两个量的乘积都是一个能量或功。在后三对中，每一对量的乘积都是对单位体积而言的能量。

前三对

静电对

磁对

动电对

后三对

静电对

磁对

动电对

622.〕　下述各关式在这些量之间成立。首先，既然能量的量纲是 而单位体积的能量的量纲是 我们就有以下的量纲方程：

其次，既然e、p和 分别是C、E和 的时间积分，就有

第三，既然E、Ω和p分别是 ， 和 的线积分，就有

^〔49〕

最后，既然e、C和m分别是 、 和 的面积分，就有

623.〕　这15个方程并不是独立的，而且，为了导出所包含的12个单位的量纲，我们还需要另一个方程。然而，如果我们把e或m看成一个独立的单位，我们就能导出其余各量的含有e或m的量纲。

624.〕　这些量中的前10个量的关系可以利用下面的排列显示出来：

第一行中的各量通过一些运算而从e导出，第二行中各对应量也通过相同的运算而从m导出。可以看到，第一行中各量的顺序恰好和第二行中各量的顺序相反。每一行中的第四个量在分子上包含着第一个符号，而每一行中的后四个量则在分母上包含着该符号。

以上给出的所有这些关系，不论我们采用什么单位制都是正确的。

625.〕　具有一定科学价值的只有静电单位制和电磁单位制。静电单位制是建立在第41、42节中的电量单位的定义上的，而且是可以由下一方程导出的： 此式表明，一个电量e在距离L处一点上引起的合电场强度，通过将e除以L² 来求得。代入量纲方程（1）和（8）中，我们就得到 由此，在静电单位制中就有

电磁单位制是建立在第374节中关于磁极强度单位的一种完全相似的定义上的。这种定义导致 由此，在电磁单位制中就有 由这些结果，我们就得到其他各量的量纲。

626.〕

量　纲　表

627.〕　我们已经按照它们出现的次序考虑过这些量的配对乘积。它们的比值在某些事例中是有科学重要性的。于是就有

628.〕　如果长度、质量和时间的单位在两种单位制中是相同的，则电量的一个电磁单位中所含有的静电单位倍数在数值上等于某一个速度，其绝对值和所用基本单位的大小无关。这个速度是一个重要的物理量，我们将用v来代表它。

一个电磁单位所含静电单位的倍数

对静电电容、介电感应本领和电导率来说是

确定速度v的几种方法将在第768～780节中给出。

在电磁单位制中，空气的磁比感本领被假设为等于1，因此这个量在静电单位制中用 来代表。

电学单位的实用制

629.〕　在这两种单位制中，电磁制对那些从事于电磁电报的实用电学家们来说用处较大。然而，如果长度、时间和质量的单位是在其他科学工作中通用的那些，例如米或厘米、秒和克，则电阻和电动势的单位将太小，以致要表示出现在实用中的那些量就必须用一些非常大的数字，而电量和电容的单位又将太大，以致只有一些极小的分数才会出现在实用中。因此，实用电学家们曾经采用了一套电学单位，这是依据一个大的长度单位和一个小的质量单位而通过电磁单位制推导出来的。

为此目的而使用的长度单位是一千万米，或者说近似地等于地球子午线的四分之一的长度。

时间的单位仍和从前一样是秒。

质量的单位是10^-11 克，或者说是一亿分之一毫克。

由这些基本单位导出的电学单位曾经根据一些杰出的电学发现者来命名。例如电阻的实用单位是“欧姆”，并且是用大英科学促进协会所发布的在第340节中描述了的那种电阻线圈来代表的。在电磁制中，它用一个10,000,000米／秒的速度来代表。

电动势的实用单位叫做“伏特”，它和一个丹聂耳电池的电动势相差不大。拉提摩·克拉克先生近来曾经发明了一种很稳定的电池，其电动势几乎确切地等于1.454伏特。

电容的实用单位叫做“法拉”。在一伏特的电动势作用下在一秒钟内流过一欧姆电阻的电量，等于由一伏特的电动势在电容为一法拉的电容器上产生的电荷。

人们发现，这些名称的使用在实用上比不断重复“电磁单位”一词并附带说明各单位所依据的特定基本单位要方便得多。

当必须测量很大的量时，可以把原有单位乘以一百万并在它的名称前加一个“兆”字来形成一个新的单位。

同样，通过在前面加一个“微”字，就可以形成一个小的单位，它是原有单位的一百万之一。

下表给出在不同时期被采用的不同单位制中的这些实用单位的值。

第四十四章　论电磁场中的能量和胁强

静电能量

630.〕　体系的能量可以分成“势能”和“动能”。

由带电而引起的势能已经在第85节中考虑过了。它曾被写成

式中e是电势为Ψ处的电荷，而求和遍及于存在电荷的一切地方。

如果f、g、h是电位移的分量，则体积元dx dy dz中的电量是

从而　　

式中的积分遍及整个空间。

631.〕　把这一表示式分部积分，并记得当从一个有限带电体系的一个给定点算起的距离r变为无限大时，势Ψ就变成一个r^-1 级的无限小量，而f、g、h就变成r^-2 级的无限小量，就可以把表示式简化成　　

式中的积分遍及整个空间。

如果我们现在把电动强度的分量写成P、Q、R而不写成 和 我们就得到 ^〔50〕

由此可见，如果我们假设整个场的静电能量存在于场中电力和电位移不为零的每一部分中而不是只局限在可以找到电荷的地方，这个能量也将是相同的。

单位体积中的能量是电动强度和电位移的乘积的一半乘以这两个矢量之间的夹角。

在四元数语言中这就是

磁　能　量

^〔51〕 632.〕　我们可以利用和在第85节的带电事例中所用的方法相仿的方法来处理由磁化引起的能量。如果A、B、C是磁化的分量，而α、β、γ是磁力的分量，则由第389节可知磁体系的势能是　　

积分遍及于磁化物质所占据的空间。然而，这一部分能量却将在一种我们即将求得的形式下包含动能。

633.〕　当没有电流时，我们可变换这一表示式如下，我们知道，

因此，由第97节可知，如果正像当不存在电流时在磁现象中永远成立的那样有

则有　　

积分遍及整个空间，或者写作

由此可见，由一个磁体系引起的能量是

动电能量

634.〕　在第578节中，我们已经把一个电流组的动能表示成下列形式：

式中p是一个电路的电磁动量，而i是在电路中流动着的电流的强度，求和遍及所有的电路。

但是我们在第590节中已经证明，p可以表示成一个形式如下的线积分：

式中F、G、H是点（x，y，z）上电磁动量 的分量，而积分是沿闭合回路s计算的。因此我们就得到　　

如果u，v，w是传导电路中任一点上的电流密度的分量，而S是覆盖在电路上的曲面，我们就可以写出　　

而且我们也可以把体积元写成Sds＝dxdydz，于是我们现在就得到

式中的积分应该遍及于空间中存在电流的每一部分。

635.〕　现在让我们把u、v、w代换成由第607节中的方程组（E）给出的用磁力的分量α、β、γ表示出来的它们的值，于是我们就得到

式中的积分遍及包含了所有电流的那一部分空间。

如果我们进行分部积分，并且记得在很大距离处α、β和γ具有r³ 的数量级（而且在两种媒质的分界面上F、G、H和切向磁力都是连续的），我们就会发现，当积分扩展到全部空间时，表示式就简化为

由第591节中的磁感方程组（A），我们可以把小括号中的各量代换成磁感分量a、b、c，于是动能就可以写成　　

式中的积分应该遍及空间中磁力和磁感的值异于零的每一个部分。

这一表示式的括号中的那个量，就是磁感和磁力在磁感方向上的投影的乘积。

在四元数的语言中，此式可以简单地写成-S. ，式中 是磁感，其分量为a、b、c，而 是磁力，其分量为α、β、γ。

636.〕　因此，体系的动能可以或是表示成在存在电流的地方求的积分。或是表示成在存在磁力的每一部分场中求的积分。然而，第一个积分是假设各电流直接互相发生远距作用的那种理论的自然表示，而第二个积分则对力图用各电流之间的空间中的某种中介作用来解释电流间的作用的那种理论是合适的。由于我们在本书中曾经采用了后一种研究方法，我们就很自然地把第二个表示式取作动能的最重要的表示形式。

按照我们的假说，我们认为动能是存在于任何有磁力的地方的，就是说，在一般情况是存在于场的每一部分中的。单位体积的能量是 而且这种能量是以物质的某种运动的形式而存在于空间的每一部分中的。

当我们讨论到法拉第关于磁对偏振光的效应的发现时，我们将举出相信有磁力线的地方就有物质绕该磁力线的转动的理由。请参阅第821节。

磁能量和动电能量的比较

637.〕　我们在第423节中已经求出，强度分别为φ和φ′而又分别以闭合曲线s和s′为边界的两个磁壳，其相互势能是 式中ε是ds和ds′的方向之间的夹角，而r是它们之间的距离。

我们在第521节中也求得，载有电流i和i′的两个电路s和s′所引起的相互能量是 如果i、i′分别等于φ、φ′，则磁壳之间的机械力等于对应载流电路之间的机械力，而且方向也相同。在磁壳的事例中，力倾向于减小它们的相互势能；在电路的事例中，力倾向于增大它们的相互能量，因为这种能量是动能。

通过磁化物质的任何布置来造成一个在一切方面都和一个载流电路相对应的体系是不可能的，因为磁体系的势在空间中的每一点上都是单值的，而电体系的势则是多值的。

但是通过一些无限小电路的适当布置来造成一个在一切方面都和任一磁壳相对应的体系却是可能的，如果我们在计算势时所取的积分曲线不许穿过任何一个这种小电路的话。这一点将在第833节中更充分地加以解释。

磁体在远处的作用是和载流电路在远处的作用完全等同的。因此我们就力图把它们归之于相同的原因；而既然我们不能借助于磁体来解释电流，我们就必须采取另一种办法，即借助于分子电路来解释磁体。

638.〕　在本书第三编中关于磁现象的研究中，我们没有试图解释在一段距离上的磁作用，而只是把这种作用看成了一种基本的经验事实。因此我们假设了一个磁体系的能量是势能，并假设了当体系的各部分被作用在它们上的磁力所推动时这一势能是减小的。

然而，如果我们认为各磁体的性质起源于在它们的分子内部运行着的电流，它们的能量就是动能，而它们之间的力就将倾向于使它们沿一种方向而运动，以致如果各电流强度保持不变则动能将会增大。

这种解释磁性的方式也要求我们放弃在第三编中所用的方法；在那种方法中，我们把磁体看成了一种连续的和均匀的物体，其最小的部分和整体具有相同的磁性。

现在我们必须认为一个磁体含有为数虽多但却是有限的一些电路，因此它就在本质上具有一种分子性的而不是连续的结构。

如果我们假设我们的数学工具是如此的粗糙，以致我们的积分曲线不可能穿过一个分子电路，并假设我们的体积元中含有为数甚巨的磁分子，我们就仍会得到和第三编的结果相类似的结果；但是，如果我们假设我们的数学工具更加精致并能够用来研究发生在分子内部的一切情况，我们就必须放弃旧有的磁性理论而采用安培的理论；这种理论除了由电流组成的磁体以外不承认任何别的磁体。

我们必须把磁能量和电磁能量都看成动能并给予它们以相同的正负号，正如在第635节中的作法那样。

在下面，尽管我们偶尔也像在第639节等处那样试图使用旧的磁性理论，但是我们却将发现，只有当像在第644节中那样放弃旧理论而采用安培的分子电流理论时，我们才能得到一种完全自洽的理论体系。

因此场的能量只有两部分，静电能或势能 和电磁能或动能

关于作用在位于电磁场中的物体的一个体积元上的力

作用在一个磁体元上的力

^〔52〕 639.〕　设一物体被磁化到磁化强度分量为A、B、C的程度，并位于磁力分量为α、β、γ的场中，则它的体积元dxdydz的势能是-（Aα＋Bβ＋Cγ）dxdydz。

由此可见，如果促使体积元沿x方向移动而不转动的力是X₁ dxdydz，则

而如果倾向于使体积元绕着x轴而从y向z转动的力偶矩是Ldxdydz，则

和y轴及z轴相对应的力及力矩可以通过适当的代换来写出。

640.〕　如果被磁化的物体载有其分量为u、v、w的电流，则由第603节中的方程组（C）可知将存在一个其分量为X₂ 、Y₂ 、Z₂ 的附加的力，其中X₂ 由下式给出：

由此可得，既起源于分子的磁性又起源于通过物体的电流的总力就是

各量a、b、c是磁感的分量，而且是通过在第400节中给出的方程组来和磁力的分量α、β、γ相联系的：

电流的分量u、v、w、可以通过第607节中的方程组而用α、β、γ表示出来

由此即得

由第403节可得　　

把这个方程（8）乘以α并除以4π，我们就可以把所得结果和（7）相加，于是就得到

另外由（2）也得到　　

式中X是按单位体积来计算的沿x方向的力，而L是绕该轴的力矩（每单位体积）。

关于用一种处于胁强状态的媒质来对这些力作出的解释

641.〕　让我们用一个形如P_hk 的符号来代表对单位面积而言的任意种类的胁强，此处的第一个下标h表明胁强被假设作用于其上的那个面积的法线平行于h轴，而第二个下标k则表明位于面积之正侧的那一部分物体作用在位于面积之负侧的那一部分物体上的胁强是平行于k轴的。

h和k两个方向可以相同，在那种事例中胁强就是一种直胁强。它们也可以互相斜交，在那种事例中胁强就是一种斜胁强；或者，它们也可以互相垂直，在那种事例中胁强就是一种切胁强。

各胁强不会在物体的元部分中引起任何转动趋势的条件是P_hk ＝P_kh 。

然而，在一个磁化物体的事例中却存在这样一种转动趋势，从而在普通胁强理论中成立的这一条件是并没有得到满足的。

让我们考虑作用在物体之元部分dxdydz的六个面上的各胁强的效应，这时取坐标原点作为该元部分的重心。

正表面dydz的x值是 这一表面上的力是

作用在反面上的力-X_-x 、-Y_-x 、-Z_-x 可以通过令dx变号而从这些表示式求得。我们可以用同样的方式把作用在体积元之每一其他表面上的力系表示出来，力的方向用大写字母来指示，而它的作用面则用下标来指示。

如果Xdxdydz是作用在体积元上的平行于x的总力，则有

由此即得　　

如果Ldxdydz是倾向于使体积元绕着x轴而从y向z转动的力矩，则有

由此即得　　

把由方程（9）及（10）给出的和由方程（13）及（14）给出的X及L的值互相比较一下，我们就发现，如果令

则起源于以这些值作为分量的那一胁强系的力，将在对物体中每一体积元的效应方面是和起源于磁化及电流的力互相静力学等价的。

642.〕　通过令x平分磁力方向和磁感方向之间的夹角，并把y轴取在这些方向的平面上，而其方向指向磁力一边，就很容易找出以这些量为其分量的那种胁强的本性。

如果我们用 代表磁力的数值，用 代表磁感的数值，并用2ε代表它们的方向之间的夹角，就有　　

由此可见，胁强状态可以被看成由下列各量组成：

（1）一个 的沿一切方向的压强。

（2）一个 的沿磁力方向和磁感方向之夹角分角线的张力。

（3）一个 的沿该二方向之外角分角线的压强。

（4）一个 的力偶矩，倾向于使位于该二方向之平面内的每一物质元从磁感方向向着磁力方向而发生转动。

在流体或未磁化的固体中，磁感永远是和磁力同方向的。在这种事例中，ε＝0，而当令x轴和磁力的方向相重合时，就有

而切胁强则不复存在。

因此，在这种事例中，胁强就是一个液体压强 和一个沿着力线的张力

643.〕　当不存在磁化时， ＝ ，于是胁强就进一步得到简化，变成一个等于 的沿力线的张力和一个数值上等于 的沿一切垂直于力线的方向的压强。这种重要事例中的胁强分量是　　

由这些胁强引起的作用在一个媒质体积元上的x分力，当折算成单位体积的力时是

现在， 式中m是朱磁质对单位体积而言的密度，而v和w分别是垂直于y和z的电流强度。由此即得

同理也得　　

644.〕　如果我们采用安培和韦伯关于磁性物体和抗磁性物体之本性的理论，并假设磁性极化和抗磁性极化是由分子电流所引起的，我们就能排除假想的磁质，并且在任何地方都有m＝0，即　　

于是电磁力方程组就变成　　

这些就是按单位体积来看的机械力的分量。磁力的分量是α、β、γ，而电流的分量是u、v、w。这些方程是和已经建立了的那些方程相等同的。（第603节，方程组（C）。）

645.〕　在借助于媒质中的一种胁强状态来解释电磁力时，我们只是在追随法拉第 ^〔53〕 的观念，即认为磁力线倾向于自己缩短而且当并排存在时就互相推斥。我们所做的一切就是用数学语言来表示沿磁力线的张力的值以及垂直于磁力线的压强的值，并证明这样假设为存在于媒质中的胁强状态实际上就能产生观察到的作用在载有电流的导体上的力。

关于这种胁强状态在媒质中被引起和被保持的方式，我们还没有肯定过任何东西。我们只曾证明，有可能设想电流的相互作用依赖于周围媒质中的一种特定的胁强，而不是一种直接的和即时的远距作用。

任何一种借助于媒质的运动或用其他方式来对胁强状态作出的进一步解释，应被看成理论的一个另外的和独立的部分，它的成立或垮台并不影响我们目前的观点。请参阅第832节。

在本书第一编第108节中我们证明了观察到的静电力可被设想为是通过周围媒质中的一种胁强状态的介入而起作用的。现在我们针对电磁力作了同样的事情，而剩下来要考察的就是，关于能够支持这些胁强状态的一种媒质的观念是否能够和其他的已知现象相容，或者说，我们是否必须认为这种观念没有成果而把它放弃掉。

在一个既存在电磁作用又存在静电作用的场中，我们必须假设在第一编中描述了的那种静电胁强是叠加在我们刚才还在考虑的电磁胁强上的。

646.〕　如果我们假设总的地磁力是10大英单位（格令，英尺，秒），正如在英国情况差不多是如此的那样，则沿力线的张力是每平方英尺0.128格令重。焦耳 ^〔54〕 用电磁铁得到的最大的磁张力约为每平方英寸140磅重。

附　录　Ⅰ

［导源于克勒克·麦克斯韦教授致克瑞斯托教授的一封信的下列注释，对第389节和第632节来说是重要的。

在第389节中，由于放在磁力分量为α₂ 、β₂ 、γ₂ 的磁场中而其磁化分量为A₁ 、B₁ 、C₁ 的一个磁体的存在而引起的能量是-∭（A₁ α₂ ＋B₁ β₂ ＋C₁ γ₂ ）dxdydz，此处的积分以磁体为限，因为在任何别的地方A₁ 、B₁ 、C₁ 都为零。但是，总的能量却具有如下的形式 积分遍及于空间中存在磁化物体的每一部分，而A₂ 、B₂ 、C₂ 代表磁体外面任何一点上的磁化分量。

于是总能量就包括四个部分：　　

如果磁体的磁化是固定的，则这一部分能量不变；

而由格林定理，此式等于　　

以及　　

我们可以假设最后一式起源于固定的磁化，从而是一个常量。

因此，看成固定磁化了的活动磁体的能量中的变化部分，就是表示式（2）和（3）之和，即-∭（A₁ α₂ ＋B₁ β₂ ＋C₁ γ₂ ）dxdydz。磁体的移动将改变α₂ 、β₂ 、γ₂ 的值而不改变A₁ 、B₁ 、C₁ 的值。记得这一点，我们就能求出作用在磁体上的力沿任一方向φ中的分量：

如果我们不是有一个磁体而是有一个被感应磁化了的物体，则力的表示式也应该相同；就是说，写出A₁ ＝ 等，我们就得到　　

在这一表示式中，a代替了a₁ ＋a₂ ，余类推，但是如果磁化物体很小或是 很小，则和a₂ 相比a₁ 可以忽略不计，于是力的表示式就像在第440节中那样变成

当一个感应本领很小的由感应而磁化的物体被带到无限远处时，磁力所做的功只是对被固定磁化到同一初强度的同一物体做的功的一半，因为当感生磁体被带走时它的强度是会逐步消失的。］

附　录　Ⅱ

［对于第639节中的由磁力引起的单位体积媒质的势能表示式曾经提出一些反对意见，其理由是，当在第389节中求得这一表示式时，我们假设了分力α、β、γ可以从一个势函数推出，而在第639～640节中则情况并非如此。这种反驳也波及于力X的表示式，它是能量的空间变化率。这一注释的目的就在于提出一些倾向于肯定正文之准确性的想法。］

｛为了计算的方便，可以把作用在一块载流磁性物质上的力分成两部分：（1）由于电流的存在而作用在体积元上的力，（2）由体积元中的磁性所引起的力。第一部分将和作用在一个非磁性物质体积元上的力相同，其分量分别是

为了计算第二个力，设想从磁性物质中切出一个细柱，柱体的轴线平行于磁化的方向。

如果I是磁化强度，则作用在单位体积之磁体上的平行于X的力是 或者，如果A、B、C是I的分量，则有 或者写成 因此，作用在体积元上的平行于X的总力就是 或者写成 即 这就是正文中的表示式。｝

第四十五章　电　流　层

647.〕　一个“电流层”就是导电物质的一个无限薄的层，两侧都以绝缘媒质为界，从而电流可以在层内流动，但除了在某些称为“电极”的点上以外却不能从层中逸出，而电流就是经由那些电极而进入层中和流出层外的。

为了传导一个有限大小的电流，一个实在的层必须有一个有限的厚度，从而必须被看成一个三维的导体。然而，在许多事例中，从以上定义的那种电流层的电学性质来推出一个实在导电层或一薄层螺绕线圈的电学性质却在实际上是很方便的。

因此我们可以把一个任意形状的曲面看成一个电流层。既经选定了这一曲面的一侧作为正侧以后，我们将永远假设在曲面上画出的任何曲线都是从曲面的正侧来观察的。在一个闭合曲面的事例中，我们将把它的外侧看成正侧。然而请参阅第294节，在那里，电流的方向被定义成了从电流层的内侧所看到的方向。

电流函数

648.〕　设把曲面上的一个固定点A取作原点，并在曲面上从A到另一点P画一条曲线。设在单位时间内从左侧向右侧而越过这条曲线的电量是φ，则φ叫做点P上的“电流函数”。

电流函数只依赖于P点的位置，而且对于曲线AP的任意两种形状来说都是相同的，如果曲线可以不扫过一个电极而通过连续的运动从一种形状变换成另一种形状的话。因为曲线的这两种形状将包围一个面积，而面积上不存在任何电极，从而越过其中一条曲线而进入这一面积的电量必将越过另一条曲线而流走。

如果s代表曲线AP的长度，则从左向右而越过ds的电流将是

如果φ在任一曲线上为常量，则不会有电流越过它。这样的曲线叫做“电流线”或“流线”。

649.〕　设 为层上任一点的电势，则沿一条曲线之任一线段元ds的电动势将是 如果除了起源于电势差的电动势以外不存在任何别的电动势的话。

650.〕　现在我们可以假设，层上一点的位置由该点的φ值和 值来确定。设ds₁ 是交截在两条流线φ和φ＋dφ之间的等势线 的线段元的长度，并设ds₂ 是交截在两条等势线 和 ＋d 之间的流线φ的线段元的长度，我们可以把ds₁ 和ds₂ 看成层上的面积元dφd 的边。沿ds₂ 方向的电动势-d 产生越过ds₁ 的电流dφ。

设层上长度为ds₂ 而宽度为ds₁ 的一个部分的电阻为 式中σ是层的对单位面积而言的比电阻，于是就有 由此即得

651.〕　如果层的材料在所有各方向上是同样导电的，则ds₁ 垂直于ds₂ 。在均匀电阻的导电的事例中，σ为常量，而如果令 ＝σ ′，我们就有 而各流线和各等势线就把层面划分成一些小方块。

由此可以推知，如果φ₁ 和 ₁ ′是φ和 ′的共轭函数（见第183节），曲线φ₁ 就可以是一个层中的流线，对该层来说曲线 ₁ ′是对应的等势线。当然，一个事例就是φ₁ ＝ ′而 ₁ ′＝-φ时的事例。在这个事例中，等势线变成了流线而流线变成了等势线 ^〔55〕 。

如果我们已经针对任一特例得出了有关一个任意形状的均匀层中的电流分布的解，我们就能按照在第190节中给出的方法而利用共轭函数的适当变换来推出另一事例中的分布。

652.〕　其次我们必须确定一个电流层的磁作用，这时假设电流是完全限制在层中的，没有任何电极把电流送入层中或传出层外。

在这一事例中，电流函数φ在每一点上都有一个确定的值，所有的流线都是互不相交的闭合曲线，尽管任一流线都可以和自己相交。

试考虑层上介于流线φ和φ＋δφ之间的带状部分。层的这一部分是一个传导电路，它里边有一个强度为δφ的电流在φ大于所给值的那一部分层中沿正方向而运行。这个电路的磁效应，在并不位于磁壳物质之内的任一点上和一个强度为δφ的磁壳的效应相同。让我们假设，磁壳和电流层上φ值大于所给流线的φ值的那一部分相重合。

从φ具有最大值的流线开始到φ具有最小值的流线为止画出相继的流线，我们就把电流层分成一系列电路。把每一个电路代换成和它相对应的磁壳，我们就发现电流层的磁效应在任何并不位于电流层厚度之内的点上都和一个复杂磁壳的效应相同，该复杂磁壳的任意点上的强度是C＋φ，此处C是一个常量。

如果电流层是有界的，我们就必须在边界线上令C＋φ＝0。如果电流层形成一个闭合的或无限的曲面，就没有任何条件可以确定常量C。

653.〕　电流层每一侧的任一点上的磁势，正如在第415节中一样由下列表示式给出： 式中r是所给点离面积元ds的距离，而θ是r的方向和从ds的正面画起的法线方向之间的夹角。

这一表示式给出了并不位于电流层厚度之内的一切点上的磁势，而我们知道，对于载有电流的导体内部各点来说，是不存在什么矢势的。

Ω的值在电流层上是不连续的，因为，如果Ω₁ 是它在刚好位于电流层之内的一点上的值，而Ω₂ 是它在和第一个点很靠近但刚刚位于电流层之外的一个点上的值，则有Ω₂ ＝Ω₁ ＋4πφ，式中φ是层上该点处的电流函数。

垂直于层的磁力分量的值是连续的，在层的两侧都相同。平行于流线的磁力分量也是连续的，但是垂直于流线的切向分量却在层上并不连续。如果s是在层上画出的一条曲线的长度，则磁力沿ds方向的分量在层的负侧为 而在层的正侧为

因此，磁力在正侧的分量比在负侧的分量大了一个量 在一个给定的点上，这个量当ds垂直于电流线时将有最大值。

关于一个具有无限大电导率的层中的电流的感应

654.〕　在第579节中已经证明，在任一电路中都有 式中E是所加的电动势，p是电路的动电动量，R是电路的电阻，而i是电路中的电流。如果不存在所加的电动势也不存在电阻，则 或者说p是常量。

喏，在第588节中已经证明，电路的动电动量p是用穿过电路的磁感的面积分来量度的。因此，在一个没有电阻的电流层的事例中，穿过在曲面上画出的任一闭合曲线的磁感的面积分都必然是常量，而这就意味着，磁感的法向分量在电流层的每一点上都保持为常量。

655.〕　因此，如果磁场由于附近的磁体运动或电流变化而以任意方式发生了变化，则电流层中就会开始出现一些电流，以致它们的磁效应和磁体或电流的磁效应结合起来，将使磁感的法向分量在层的每一点上都保持不变。如果最初没有磁作用，而层中也没有电流，则磁感的法向分量将在层的每一点上永远为零。

因此，层就可以被看成对磁感来说是不可透过的，从而磁感线将在层上受到偏转，其方式和一个无限大均匀导电物质中电流的流线由于一个形状相同而用无限大电阻的材料做成的层的引入而受到偏转的那种方式完全相同。

如果层形成一个闭合的或无限大的曲面，则在其一侧可能发生的任何磁作用都不会在其另一侧产生任何磁效应。

平面电流层的理论

656.〕　我们已经看到，一个电流层的层外磁作用和一个磁壳的体外磁作用相等价，该磁壳的每一点上的强度在数值上等于电流函数φ。当层是一个平面层时，我们就可以把确定电磁效应所必需的一切量都用单独一个函数P表示出来，这个函数就是由一层展布在平面上并带有面密度φ的假想物质所引起的势函数。P的值当然就是

式中r是从计算P的一点（x，y，z）到平面上面积元dx′dy′所在之点（x′，y′，0）的距离。

为了求出磁势，我们可以把磁壳看成由平行于xy平面的两个表面组成。第一个表面的方程是 其面密度是 第二个表面的方程是 其面密度是

由这些表面引起的势，分别是 和 式中的下标表明，在第一个表示式中要把z代成 而在第二个表示式中要把z代成 按照泰勒定理来把这些表示式展开，把它们相加，然后取c为无限小，我们就得到由层在其外面任一点上引起的磁势　　

657.〕　量P对层的平面来说是对称的，从而当把z换成-z时是不变的。

磁势Ω当把z换成-z时将变号。

在层的正表面上，　　

在层的负表面上，　　

在层的内部，如果它的磁效应起源于它的物质的磁化，则磁势将从正表面上的2πφ连续地变化到负表面上的-2πφ。

如果层中含有电流，则层内的磁力并不满足具有一个势函数的条件。然而层内的磁力却是完全确定的。

法向分力，　　

在层的两侧以及在整个层的物质中是相同的。

如果α和β′是在正表面上平行于x和平行于y的磁力分量，而α′和β′是负表面上的对应分量，则有　　

在层的内部，各分量从α和β连续地变到α′和β′。

把由电流层引起的矢势的分量F、G、H和标势Ω联系起来的方程组

将得到满足，如果我们令　　

我们也可以通过直接求积分来得到这些值，例如在F的情况｛如果μ到处等于1则我们由第616节得到｝，　　

既然积分运算要在无限大的平面层上进行估计，而第一项在无限远处变为零，表示式就会简化为第二项；而通过把 代换成 ，并记得φ依赖于x′和y′而不依赖于x、y、z，我们就得到　　

如果Ω′是由层外的任何磁体系或电体系引起的磁势，我们就可以写出

于是，关于由这一体系引起的矢势的分量，我们就将有

658.〕　现在让我们假设层是固定的并确定层上任意点处的电动强度。

设X和Y分别是平行于x和y的电动强度的分量，则我们由第598节得到｛把Ψ改成 ｝

如果层的电阻率是均匀的并等于σ，则有　　

式中u和v是电流的分量；而如果φ是电流函数，则　　

但是由方程（3）可知，在电流层的正表面上有　　

因此方程（12）和（13）就可以写成　　

此处各表示式的值是和层的正表面相对应的。

如果把第一式对x求导数，把第二式对y求导数，并把结果加起来，我们就得到

唯一满足这一方程并在层的每一点上都为有限和连续而且在无限远处变为零的函数就是　　

由此可见，一个具有均匀电导率的无限大平面层中的电流的感应是并不和层的不同部分的电势差相伴随的。

将这一 值代入并把方程（16）和（17）求积分，我们就得到

既然层中电流的值是通过对x或y求导数来得出的，z和t的任意函数就将消失。因此我们将对这种函数不予考虑。

如果我们也把 用单独一个代表某一速度的符号R来代替，则P和P′之间的方程将变为　　

659.〕　让我们首先假设不存在对电流层起作用的外界磁体系。因此我们可以假设P′＝0。于是事例就变成一个不受外界作用的电流系，但是各电流却通过它们的互感而相互作用，而同时又因层的电阻而消耗它们的能量。结果由下列方程来表示：

它的解是　　

由此可见 ^〔56〕 ，层的正侧其坐标为x、y、z的任意点上在时刻t的P值，等于一点x、y、（z＋Rt）上在时刻t＝0的P值。

因此，如果在一个无限大的均匀平面层中激起一些电流然后不再影响它，则它在层的正侧任一点上的磁效应，将和使电流保持不变而使层沿其负侧法线方向以一个常速度R而运动时的磁效应相同。由于实际事例中的电流衰减而引起的电磁力的减弱，用假想事例中距离的增大所引起的力的减弱来准确地代表。

660.〕　把方程（21）对t求积分，我们就得到　　

如果我们假设起初P和P′都是零，而一个磁体或电磁体突然被磁化或从无限远处搬过来，以致使P′的值突然从零变成了P′，那么，既然（24）式右端的时间积分随时间而变为零，我们在最初的时刻就必然在层的表面上得到P′＝-P′。

因此，由引起P′的那一体系的突然引入而在层中激起的电流系，恰好分布得足以在层的表面上抵消由那一体系引起的磁效应。

因此，在层的表面上，从而也在层负侧的一切点上，初电流系就产生一种恰好和磁体系在正侧产生的效应相等而反向的效应。我们可以用一种说法来表示这一情况；那就是说，电流的效应和磁体系的一个像的效应相等价，那个像在位置上和原体系相重合，但是在磁化方向及电流方向上却和原体系相反。这样的像叫做负像。

层中的电流在层的正侧一点上的效应，和磁体系的一个正像在层的负侧所产生的效应相等价，这时对应点的连线被层所垂直平分。

因此，由层中的电流在层的任一侧的一点上引起的作用，可以看成由和该点异侧的一个磁体系的像所引起的作用；这个像是一个正像或负像，随该点位于层的正侧或负侧而定。

661.〕　如果层的电导率为无限大，则R＝0，从而（24）式的右端为零，于是像就将代表层中的电流在任何时刻的效应。

在实在层的事例中，R具有某一个有限的值。因此，刚刚描述的那种像就只能在突然引入磁体系以后的最初时刻代表电流的效应。电流将立即开始衰减，而这种衰减的效应将准确地得到表示，如果我们假设两个像开始以常速度R从它们的原始位置而沿着由层画起的法线方向运动的话。

662.〕　现在我们已经准备好，可以考察由位于层的正侧的任何一个磁体系或电磁体系M在层中感应出来的电流系了，这时M的位置和强度可以按任意方式发生变化。

和以前一样，设P′是通过方程（3）、（9）等等来据以导出这一体系之直接作用的那个函数，则 将是和由 来表示的体系相对应的函数。这个量就是M在时间δt中的增量，它可以看成本身就表示着一个磁体系。

如果我们假设在时刻t在层的负侧构成了体系 的一个正像，则由这个像在层的正侧的任一点上引起的磁作用将和在M变化以后的最初时刻由这种变化在层中感应出来的电流的磁作用相等价；而且这个像将继续和层中的电流相等价，如果它一旦形成就以常速度R沿负z方向而运动的话。

如果假设在每一相继的时间元中都构成一个这样的像，而且它一旦形成就开始以速度R由层离去，我们就将得到一种像列的观念，列中的最后一个像正在形成中，而所有其余的像则正在像一个刚体那样以速度R而离开层。

663.〕　如果P′是起源于磁体系之作用的一个随便什么样的函数，我们就可以通过下述手续来求出起源于层中的电流的对应函数P，而这种手续不过是像列理论的符号表示而已。

设P_τ 代表P（起源于层中电流的函数）在时刻t－τ在点（x，y，z＋R_τ ）上的值，并设 代表P′（起源于磁体系的函数）在时刻t－τ在点（x，y，-（z＋R_τ ）上的值。于是就得到　　

从而方程（21）就变成　　

而对τ从τ＝0积分到τ＝∞，我们就得到作为函数P的值的

由此我们就将像在方程（3）、（9）等等中一样通过导数而得出层的一切性质。 ^〔57〕

664.〕　作为此处所示手续的一个例子，让我们考虑以均匀速度沿直线而运动的一个具有单位强度的单独磁极的事例。

设磁极在时刻t的坐标是ξ＝ut，η＝0，ζ＝c＋wt。

在时刻t－τ求得的磁极之像的坐标是ξ＝u（t－τ），η＝0，ζ＝-（c＋w（t－τ）＋Rτ），而如果τ是这个像离开点（x，y，z）的距离，则r² ＝（x－u（t－τ））² ＋y² ＋（z＋c＋w（t－τ）十Rτ）² 。为了求出由像列引起的势，我们必须计算积分 如果我们写出Q² ＝u² ＋（R－w）² ，则有 一个无限大的项，但是当对t微分时后一项就会消失，因为这一表示式中的r值是通过在上面的r表示式中令τ＝0来求得的。把这一表示式对t求异数并令t＝0，我们就得到由像列引起的磁势

通过对x或z求这一表示式的导数，我们就得到任意点上分别平行于x或z的磁力分量；而通过在这些表示式中令x＝0、z＝c以及r＝2c，我们就得到作用在运动磁极本身上的各分力的值如下：　　 ^〔58〕

665.〕　在这些表示式中，我们必须记得运动被假设为在所考虑的时间以前就已经进行了一段无限长的时间。因此我们就不应该把w看成一个正量，因为不然的话磁极就必曾在一段有限的时间内穿过层。

如果我们令u＝0而w为负，则X＝0，而 或者说当磁极向层靠近时它就受到层的推斥。如果令w＝0，我们就得到Q² ＝u² ＋R² ， 和

分力代表一种阻力，沿着和磁极运动方向相反的方向而作用在磁极上。对于给定的R值来说，X当u＝1.27R时有极大值。

当层是一个非导体时，R＝∞而X＝0。当层是一个理想导体时，R＝0而X＝O。

分力Z代表层对磁极的一个推斥力。它随速度的增大而增大，而最后当速度为无限大时变成 当R为零时它也具有同一个值。

666.〕　当磁极沿着一条平行于层的曲线而运动时，计算就变得更加繁复，但是很容易看出，像列之最靠近的部分的效应就在于产生一个沿着和磁极运动方向相反的方向而作用在磁极上的力。直接跟在这一部分后面的那一部分像列的效应，和其磁轴在某一时间以前平行于磁极运动方向的一个磁体的效应种类相同。既然这一磁体的最近磁极是和运动磁极同名的，力就包括两部分：一部分是推斥力，另一部分是一个平行于以前的运动方向的力，但其方向是向后的。这个力可以分解成一个阻力和一个指向运动磁极的路径的凹侧的力。

667.〕　我们的探讨不足以使我们能够解决那种由于导电层的不连续性或具有边界而致使电流系不能完全形成的事例。

然而很容易看出，如果磁极是平行于层的边沿而运动的，则靠近边沿的电流将被削弱。由此可见，由这些电流所引起的力将较小，从而就不仅会有一个较小的阻力，而且，既然推斥力在靠近边沿的那一侧是最小的，磁极就会受到指向边沿的吸引力。

阿喇戈旋转盘的理论

668.〕 阿拉戈发现 ^〔59〕 ，放在一个旋转着的金属盘附近的磁体会受到一个倾向于使它随盘而转动的力，尽管当盘为静止时在它和磁体之间是没有作用力的。

这种旋转盘的作用起初被认为是起源于一个新种类的感生磁化，直到法拉第 ^〔60〕 利用盘子通过磁力场的运动而在盘中感应出来的电流来解释了它为止。

为了确定这些感生电流的分布以及它们对磁体的影响，我们可以利用已经求得的关于受到运动磁体作用的一个静止导电层的结果，这时我们要用到在第600节中给出的相对于运动坐标系来处理电磁方程的方法。然而，既然这个事例有一种特殊的重要性，我们就将用一种直接的方式来处理它；我们将从这样一条假设开始：磁体的各个极都离盘的边沿很远，以致导电层的有界性的效应可以忽略不计。

利用以前各节（656～667）中的相同符号，我们就求得｛第598节中的方程组（B），将Ψ改写成 ｝分别平行于x和y的电动强度分量　　

式中γ是磁力垂直于盘的分量。

如果我们把u和v用电流函数φ表示出来，就有　　

而如果盘子是以角速度ω而绕z轴转动的，就有　　

把这些值代入方程组（1）中，我们就得到　　　　

用x乘（4）式而用y乘（5）式并相加，我们就得到

用y乘（4）式而用-x乘（5）式并相加，我们就得到

如果现在我们把这些方程用r和θ表示出来，此处　　

则这些方程变成　　

方程（10）可以得到满足，如果我们假设r和θ的一个任意函数并令

把这些值代入方程（9）中，该方程就变成　　

用σr² 去除一下并回到坐标x和y，此式就变成　　

这就是理论的基本方程，它表示了函数 和磁力垂直于盘的分量γ之间的关系。

设Q是由以面密度 分布在盘上的吸引性的假想物质在盘的正侧任一点上引起的势。

在盘的正表面上，有　　

由此可见，方程（14）的左端变成　　

但是，既然Q在盘外面的所有各点上都满足拉普拉斯方程，那就有

而方程（14）就变成　　

再者，既然Q是由分布 所引起的势，那么由分布φ或者说由 所引起的势就将是 由此我们就得到由盘中的电流所引起的磁势的表示式　　

而关于由电流引起的磁力垂直于盘的分量就有　　

如果Q₂ 是由外界磁体引起的磁势，而且我们写出　　

则由各该磁体引起的磁力垂直于盘的分量将是　　

现在，记得γ＝γ₁ ＋γ₂ ，

我们就可以把方程（18）写成　　

对z求两次积分并把 写成R，就有　　

如果用从盘轴量起的距离r以及两个满足　　 的新变量ξ和ζ把P和Q的值表示出来，则通过对ζ求积分，方程（24）就变成

669.〕　当把这个表示式的形式和在第662节中给出的方法联系起来加以考虑时，它就表明盘中电流的磁作用是和磁体系的一个螺纹线状的像列的作用相等价的。

如果磁体系只包括单独一个强度为一单位的磁极，则螺纹线将位于一个柱面上，该柱面的轴线就是盘子的轴线，而柱面则通过磁极。螺纹线将从磁极对盘而言的光学像的位置开始。相邻螺纹之间的平行于轴线的距离将是 像列的磁效应将和螺纹线受到磁化时的效应相同，如果磁化到处是沿着垂直于轴线的螺纹线切线方向的，而其磁化强度则恰好使每一小部分螺纹线的磁矩在数值上等于该部分在盘面上的投影长度。

关于对磁极的影响的计算将是很繁复的，但是很容易看到这种影响包括以下各部分：（1）一个平行于盘的运动方向的拖曳力。（2）一个从盘开始的推斥力。（3）一个指向盘轴的力。

当磁极靠近盘的边沿时，这些力中的第三个力可能被在第667节中指出了的那个指向盘沿的力所超过 ^〔61〕 。

所有这些力都由阿喇戈观察到了，并且由他在1826年的Annales de Chimie上描述过了。也请参阅Felici, in Tortolini's Annals, iv, p. 173 (1853), and v, p. 35; and E. Jochmann, in Crelle's Journal, lxiii, pp. 158 and 329; also in Pogg. Ann. cxxii, p. 214 (1864)。在后一篇论文中，给出了确定各电流对它们自己的感应所必需的方程，但是这一部分作用在结果的后来计算中却被略去了。此处所给出的像方法发表在1872年2月15日的Proceedings of the Royal Society上。

球形电流层

670.〕　设φ是一个球形电流层上任一点Q处的电流函数，而P是由展布在球面上而面密度为φ的一个假想物质层在一个给定点上引起的势，现在要求作为P的函数来求出电流层的磁势和矢势。

图79

用a代表球的半径，用r代表从球心到一个给定点的距离，而用p代表给定点和球面上电流函数为φ的那个点Q之间的距离的倒数。

电流层在任何一个并不位于层物质内部的点上的作用，和一个其强度在任何一点上都在数值上等于电流函数的磁壳的作用相等同。

按照第410节，磁壳和一个位于点P的单位磁极之间的相互势是 既然p是r和a的一个-1次的齐次函数，就有 或者写成 而且也有

既然r和a在整个面积分的计算中都为常量，就有

但是，如果P是由面密度为φ的一个假想物质层所引起的势，则 而电流层的磁势Ω就可以用P表示出来如下：

671.〕　我们可以根据第416节中的表示式来确定矢势的x分量F， 式中ξ、η、ζ是面积元dS的坐标，而l、m、n是法线的方向余弦。

既然层是一个球面，法线的方向余弦就是 但是 而且 于是就得到

乘以φdS并在球面上求积分，我们就得到

同理可得， 分量为F、G、H的矢量 显然垂直于矢径r，而且也垂直于其分量为 和 的那个矢量。如果我们定出半径为r的球面和按照等差间隔而表示着P值的那些等势面的交线，则这些交线的方向将指示 的方向，而其密度则将指示这一矢量的量值。

按照四元数的语言，就有

672.〕　如果作为球内的P值，我们假设　　 式中Y_i 是i阶的球谐函数，则在球外将有　　 既然 电流函数φ就由下列方程给出：　　

球内的磁势是 而球外的磁势是

例如，设要借助于绕成球壳状的一根导线来在壳内产生一个均匀磁力M。在这一事例中，球内的磁势是一个一阶的体谐函数，其形式是Ω＝-Mrcosθ，式中M是磁力。由此即得 而

因此，电流函数和到球的赤道面的距离成正比，从而任何两个小圆之间的匝数必须正比于二圆之间的距离。

如果N是总匝数而γ是每一匝中的电流强度，则 由此可得，线圈内的磁力是

673.〕　现在让我们确定一种绕线方法，来在球内产生一个具有二阶带谐体函数形式的磁势 此处

如果总匝数是N，则极点和极角距离θ之间的匝数是

纬度45°处的匝数最密。在赤道上，绕线方向改变，而在另一半球上的各匝是反向绕成的。

设γ是导线中的电流强度，则在球壳内部有

现在让我们考虑形如一条平面闭合曲线的导体，放在球壳内部的任何地方，而其平面垂直于球壳的轴线。为了求得它的感应系数，我们必须令γ＝1并在曲线所包围的平面上求 的面积分。我们有 以及 因此，如果S是闭合曲线所包围的面积，则感应系数是 如果这个导体中的电流是γ′，则由第583节可知将有一个沿z方向的作用力Z，此处 而既然此式并不依赖于x、y、z，这个力就将是相同的，不论电路放在壳内的什么地方。

674.〕　设一物体沿z方向被磁化到强度I，通过把这个物体换成其形状如物体的表面而其电流函数是

的一个电流层，就可以把在第437节中描述了的由泊松给出的方法应用到这个电流层上。层中的电流将是出现在平行于xy面的平面的，而沿着厚度为dz的一个薄片运行的电流强度将是Idz。这一电流层在其外部任一点上引起的磁势将是

式中V是当面密度为1时由层引起的重力势。

在球内的任一点上，磁势将是　　

矢势的分量是　　

这些结果可以应用于出现在实际中的若干事例。

675.〕　（1）任意形状的平面电路。

设V是由一个任意形状的而其面密度为1的平面层所引起的势。如果我们把这个平面层换成一个强度为I的磁壳或换成一个沿其边界运行的强度为I的电流，则Ω的值和F、G、H的值将是上面所给出的那些。

（2）对于一个半径为a的实心球来说，

由此可得，如果球被沿z方向磁化到强度I，则磁势将是

如果球不是被磁化而是沿着等距的圆周绕上了导线，设其平面相距一个单位距离的两个小圆之间的总电流强度为I，则球外的Ω值仍和从前一样，但在球内却有

这就是在第672节中已经讨论过的那个事例。

（3）沿着给定的直线而被均匀磁化的一个椭球的事例已经在第437节中讨论过了。

如果椭球被在平行而等距的平面上绕有导线，则椭球内部的磁力将是均匀的。

一个柱状的磁体或螺线管

676.〕　如果物体是一个截面形状为任意的柱体，两端的底面垂直于它的母线，如果V₁ 是由一个和柱体的正底面相重合的面密度为1的平面层在点（x、y、z）上引起的势，而V₂ 是由一个和负底面相重合的面密度为1的平面层在同一点上引起的势，设柱体是沿纵向被均匀磁化到单位强度的，则点（x，y，z）上的势将是　　

如果柱体不是一个被磁化了的物体而是在上面均匀地绕了导线，每单位长度上的匝数是n，而且导线中通有强度为γ的电流，则螺线管外的磁势仍和从前一样是

但是在由螺线管及其两个平面端所限定的空间中却有　　

磁势在螺线管的平面端上是不连续的，但磁力却是连续的。

如果正负平面端的质心分别到点（x，y，z）的距离r₁ 、r₂ 和螺线管的横向线度相比是很大的，我们就可以写出　　

式中A是每一截面的面积。

因此，螺线管外面的磁力是很小的，而螺线管内部的磁力则近似地是平行于轴的正方向并等于4πnγ的一个力。

如果柱体的截面是一个半径为a的圆，则V₁ 和V₂ 的值可以表示成在Thomson and Tait's Natural Philosophy, Art. 546, Ex. Ⅱ. 中给出的球谐函数的级数，

在这些表示式中，r是从螺线管的一个圆形端的中心到点（x，y，z）的距离，而带谐函数P₁ 、P₂ 等等则是对应于r和柱轴之间的夹角θ的那些函数。

其中第一个表示式对z的微分系数当 时是不连续的，但是我们必须记得，在螺线管的内部，我们必须在由这一表示式导出的磁力上加一个纵向力4πnγ。

677.〕　现在让我们考虑一个很长螺线管，它长得使依赖于到端点的距离的各项在我们所考虑的空间部分中可以忽略不计。

穿过在螺线管内部画出的任一闭合曲线的磁感是4πnγA′，此处A′是曲线在垂直于螺线管轴线的平面上的投影面积。

如果闭合曲线位于螺线管之外，则当它包围螺线管时穿过它的磁感是4πnγA，此处A是螺线管截面的面积。如果闭合曲线并不包围螺线管，则穿过它的磁感是零。

如果一根导线在螺线管上绕了n′匝，则它和螺线管之间的感应系数是

通过假设这些匝和螺线管上的n匝相重合，我们就发现，在离两端足够远的地方，螺线管的单位长度的自感系数是　　

在一个螺线管的端点附近，我们必须照顾到那些依赖于螺线管平面端上的假想磁量分布的项。这些项的效应，就是使螺线管和一个包围它的电路之间的感应系数小于当电路在远离两端处绕过一个很长的螺线管时它所具有的值4πnA。

让我们考虑具有相同长度l的两个同轴圆柱螺线管。设外面一个螺线管的半径是c₁ ，它上面绕有每单位长度n₁ 匝的导线。设里面一个螺线管的半径为c₂ ，其单位长度上的匝数是n₂ ，于是，如果我们忽略端效应，则二螺线管间的感应系数是

式中　　

而　　

678.〕　为了确定螺线管的正端的效应，我们必须计算形成内管之端面的一个圆盘对外管的感应系数。为此目的，我们取在方程（15）中给出的V的第二个表示式并把它对r求导数。然后我们用2πr² dμ去乘这个表示式并把它从μ＝1到 对μ求积分。这就给出在离正端z距离处对外螺线管上单独一匝而言的感应系数。然后我们把这一结果乘以dz并从z＝l到z＝0对z求积分。最后我们再把结果乘以n₁ n₂ ，于是就得到其中一个管端在减小感应系数方面的效应。

于是我们就得到两个柱状螺线管之间的互感系数M的表示式，

式中

此处为了简单用r代替了

由此可见，在计算两个同轴螺线管的互感系数时，我们必须在表示式（20）中用改正过的长度l－2c₁ a来代替真实长度l；在这种改正中，人们假设从每一端上切掉了一个等于ac₁ 的部分。当螺线管和它的外半径相比是很长的时，就有

679.〕　当一个螺线管有若干层导线而其直径的单位长度上有n层时，在一个厚度dr上就有ndr层，从而我们就有　　

设导线的粗细是均匀的，而感应发生在一个外螺线管和一个内螺线管之间，外管的外半径和内半径分别是x和y，而内管的外半径和内半径分别是y和z，那么，忽略端效应，就有　　

当x和z给定而y可以变化时，此式有极大值的条件是　　

对于一个无铁心的感应机来说，此式给出了原线圈和副线圈的厚度之间的最佳关系。

如果存在一个半径为z的铁心，则G仍和以前一样，但是g却变成

如果y已给定，则使g有极大值的z值是　　

当就像在铁的事例中那样 是一个很大的数时，就近似地有

如果我们现在令x保持不变而令y和z变化，则当 很大时得到Gg的最大值条件如下：　　

设一个长螺线管的外半径和内半径为x和y，并有一个半径为z的长铁芯，则它的单位长度的自感系数是

680.〕　到此为止，我们一直假设导线具有均匀的粗细。现在我们将确定不同层中导线粗细的变化所必须遵循的定律，以求在原线圈或副线圈的一个给定的电阻值下得到互感系数的一个极大值。

设在螺线管的每单位长度上绕有n匝导线，而单位长度的导线的电阻是ρn² 。

整个螺线管的电阻是　　

在R的给定值下，G具有极大值的条件是 式中C是某一常量。

这就给出n² 正比于 或者说，外管的导线粗细必须和该层半径的平方根成正比。

为了在给定的R值下g可以取极大值，应有　　

由此可见，如果铁芯不存在，则内管的导线粗细应和该层半径的平方根成反比；但是，如果有一个磁化本领很高的铁芯，则导线的粗细应该更近似于和半径的平方根成正比。

无端的螺线管

681.〕　如果一个物体是由一个平面图形A绕着一条在它的平面上而不与它相交的轴线旋转而生成的，它就会有一个环的形状。如果这个环上绕有导线，使得各匝导线都位于通过环的轴线的平面上，而其总匝数是n，则导线层的电流函数是 式中θ是对环轴而言的方位角。

如果Ω是环内的磁势而Ω′是环外的磁势，则有Ω－Ω′＝-4πφ＋C＝-2nγθ＋C。在环外，Ω′必须满足拉普拉斯方程并在无限远处变为零。由问题的本性可知它必然只是θ的函数。唯一满足这些条件的Ω′值是零。因此就有Ω′＝0，Ω＝-2nγθ＋C。

环内任一点上的磁力垂直于通过环轴的平面，而且等于 式中r是到环轴的距离。环外没有任何磁力。

如果一条闭合曲线的形状由作为s之函数的它的描迹点的坐标z、γ和θ来给出，此处s是从一个固定点算起的曲线的长度，则穿过闭合曲线的磁感可以通过沿曲线求矢势的积分来求得。矢势的分量是 H＝0。于是就得到 积分沿曲线计算，如果整条曲线都位于环内的话。如果曲线完全位于环外但是包围了环，则穿过曲线的磁感是 式中a是线性量 而带撇的坐标不是属于闭合曲线而是属于螺线管上的单独一匝导线的。

因此，穿过包围了环的任何一条闭合曲线的磁感都是相同的，而且都等于2nγa。如果闭合曲线并不包围环，则穿过它的磁感是零。

设有第二条导线以任意方式绕在环上，不一定和环相接触，但是却包围环共n′次。穿过这条导线［电路〕的磁感是2nn′γa，从而一个线圈对另一线圈的感应系数M就是M＝2nn′a。

既然这是完全不依赖于第二条导线的形状和位置的，这些导线如果载有电流的话也不会受到作用于它们之间的任何机械力。通过令第二条导线和第一条相重合，我们就得到螺线环的自感系数L＝2n² a。

第四十六章　平行电流

柱状导体

682.〕　在很重要的一类电装置中，电流是由一些截面近似均匀的圆柱导线来传导的；这些导线或是直的，或是它们的曲率半径远远大于它们的横截面的半径。为了做好准备来数学地处理这样的装置，我们将从一个事例开始。在这个事例中，电路包括两个很长的平行导体，两端用另外的导体互相连接，而我们将把自己的注意力集中在离导体两端很远的那一部分电路上，以便它们并非无限长这一事实不会对力的分布有任何可觉察的影响。

我们将把z轴取得平行于导体的方向，于是，由所考虑的那一部分场中的装置的对称性可知，一切事物都将依赖于矢势的平行于z的分量H。

由方程组（A）可知，磁感的分量变成　　

为了保持普遍性，我们将假设磁感系数为μ，于是就有a＝μα，b＝μβ，式中α和β是磁力的分量。

第607节中的电流方程组（E）给出　　

683.〕　如果电流是离z轴的距离r的函数，而我们写出

并且用β来代表沿着一个方向的磁力，在那个方向上θ是垂直于通过z轴的平面来量度的，那么我们就有　　

考虑一个截面，由xy平面上的一个以原点为心而以r为半径的圆包围而成，如果C是通过这一截面的总电流，则有　　

因此就可以看到，由分布在以x轴为公共轴的一些柱状层中的电流在给定点上引起的磁力，只依赖于通过介于所给点和轴线之间的那些层的电流的总强度，而不依赖于电流在不同柱状层中的分布。

例如，设导体是一条半径为a的均匀导线，并设通过导线的总电流为C，于是，如果电流是均匀地分布在截面的一切部分上的，则w将是常量而

设r小于a，通过半径为r的一个圆形截面的电流就是C′＝πwr² 。由此可见，在导线内部的任一点上，　　

在导线外面，　　

在导线的材料内并不存在磁势，因为在一个载有电流的导体内，磁力并不满足有势的条件。

在导线外面，磁势是　　

让我们假设，导体不是一条导线而是一根金属管子，其外半径和内半径是a₁ 和a₂ ，那么，如果C是通过管状导体的电流，则　　

在管内，磁力是零。在管子的金属中，r介于a₁ 和a₂ 之间，我们有

而在管外，则　　

这个值是和电流通过实心导线时的值相同的。

684.〕　任一点上的磁感是b＝μβ，而既然由方程（2）可有

那就得到　　

管外的H值是　　

式中μ₀ 是管外空间中的μ值，而A是一个常量，其值依赖于返回电流的位置。

在管子的物质中，　　

在管内的空间中，H是常量而且

685.〕　设电流由一个返回电流来补全，返回电流沿一条平行于第一条管子的导线或管子而流动，二电流的轴线之间的距离是b，为了确定体系的动能，我们必须计算积分

如果我们把注意力集中在体系的一个部分，该部分介于两个垂直于导体的轴线而相距为l的平面之间，则表示式变为

如果用一个撇号来区分属于返回电流的量，则我们可以把此式写成

既然电流在管外任一点上的作用和把相同的电流集中在管轴上时的作用相同，返回电流的截面上的H平均值就是A－2μ₀ Clogb，而正向电流的截面上的H′平均值就是A′－2μ₀ C′logb。

由此可见，在T的表示式中，前两项可写成AC′－2μ₀ CC′logb，和A′C－2μ₀ CC′logb。

按照通常的方法来求这些项的积分，把结果加起来并记得C＋C′＝0，我们就得到动能T的值。把这个值写成 式中L是由两个导体构成的体系的自感系数，我们就得到长度为l的那一部分体系的自感系数

如果各导体是实心的导线，则a₂ 和 为零，而

^〔62〕

只有在铁导线的事例中我们才有必要在计算它们的自感时照顾磁感应现象。在其他的事例中，我们可以令μ₀ 、μ和μ′都等于1。导线的半径越小，它们之间的距离越大，则自感越大。

两段导线之间的推斥力R的计算

686.〕　由第580节，我们得到倾向于增大b的力为

而当像在空气中那样μ₀ ＝1时，此式就和安培的公式相一致。

687.〕　如果各导线的长度和它们之间的距离相比是很大的，我们就可以利用自感系数来确定起源于电流的作用的导线的张力。

如果Z是这种张力，则

在安培的一个实验中，平行导体是用一个导线浮桥来互相连接的两个汞槽。当一个电流从一个槽的端点流入而沿槽流到浮动导线的一端，并经过浮桥而沿着第二个槽流回时，浮桥就沿着槽而运动，以增长电流所流过的那一部分汞。

图80

泰特教授曾经简化了这一实验的电学条件。他把导线换成了一个漂浮着的充了汞的玻璃虹吸管，这样电流在它的全程中就是在汞中流动的了。

这一实验有时也被举出，以证明一个电流的位于同一直线上的两个电流元是互相推斥的，并从而证明指示了共线电流元之间的这种推斥力的安培公式比没有给出共线电流元之间的任何作用的格喇斯曼公式更加正确。请参阅第526节。

但是，很显然，既然安培公式和格喇斯曼公式对闭合电路来说都给出相同的结果，而且我们在实验中只能有闭合的电路，那么实验的任何结果就都不能对这些理论中的任何一种理论更有利些。

事实上，两种理论都导致和以上已经给出的推斥力值恰恰相同的值；在这些公式中，平行导体之间的距离b都显现为一个重要的因素。

当各导体的长度并不比它们之间的距离大得多时，L值的形式就会变得更加复杂一些。

688.〕　当导体之间的距离减小时，L的值就减小。这种减小过程的极限就是当导体互相靠紧时，也就是当b＝a₁ ＋a₁ ′时。在这种事例中，如果μ₀ ＝μ＝μ′＝1，就有

当 时此式有极小值，那时就有

这就是当一根圆柱形的导线从中间对折合并在一起时的最小的自感值，导线的总长度为2l。

既然两部分导线必须是互相绝缘的，自感就绝不会真正达到这个极限值。通过用扁平的金属片来代替圆柱形导线，自感可以不受限制地被减小。

关于沿一个柱状导体产生一个变强度电流时所需要的电动势

689.〕　当一根导线中的电流具有变化的强度时，由电流对自己的感应所引起的电动势在导线截面的不同地方是不同的，这通常既是时间的函数又是离导线轴的距离的函数。如果我们假设圆柱状的导体由一束全都形成同一电路的一部分的导线构成，以致电流被迫在线束截面的每一部分上具有均匀的强度，则我们迄今一直使用的方法将是严格适用的。然而，如果我们假设圆柱状的导体是一个实心的物体，而电流可以在该物体中服从着电动势而自由地流过，电流强度就不会在不同的离柱距离处是相同的，而电动势本身也将依赖于电流在导线的不同柱状层中的分布。

任一点上的矢势H、电流密度w和电动强度，都必须被看成时间和离导线轴的距离的函数。

通过导线截面的总电流C和沿着电路而起作用的电动势E都要被看成变量，它们之间的关系是我们必须求出的。

作为H的值，让我们假设

式中S、T₀ 、T₁ 等等是时间的函数。

于是，由方程　　

我们就得到　　

如果ρ代表物质之单位体积的比电阻，则任一点上的电动强度是ρw，这个电动强度可以借助于第598节中的方程组（B）而用电势Ψ和矢势H表示出来，

或者写成　　

比较方程（3）和（5）中的r同次幂的系数，就得到

由此我们可以写出　　

690.〕　为了求出总电流C，我们必须在半径为a的导线截面上求出w的积分，

将方程（3）中的πw值代入此式，我们就得到

导线外面任一点上的H值只依赖于总电流C而不依赖于该电流在导线内的分布方式。因此我们可以假设H在导线表面上的值是AC，此处A是要根据电路的一般形状而通过计算来确定的一个常量。当r＝a时令H＝AC，我们就得到

如果我们写出 则α是单位长度导线的电导值，从而我们就有

为了从这些方程中消去T，我们首先必须把方程（14）反转过来。于是我们得到

我们由（14）和（15）也得到 由最后二式，我们就得到

如果l是线路的总长度，R是它的电阻，而E是由除了电流对自己的感应以外的其他原因所引起的电动势，则有　　

此式右端的第一项RC，代表按照欧姆定律而克服电阻所需要的电动势。

第二项， 代表在电流在导线截面的每一点上都有均匀强度的假说下将会用来增大电路之动电动量的电动势。

其余各项代表对这个值的改正量，其起因是电流在离导线轴不同距离处并不具有均匀强度这一事实。实际的电流系比电流被约束得在整个截面上具有均匀强度的那种假想情况具有更大的自由。因此使电流强度发生一种迅速变化所要求的电动势就比按照上述假说所将要求的电动势稍小一些。

电动势的时间积分和电流的时间积分之间的关系是

如果在开始时电流有一个常值C₀ ，而在时间过程中它上升到C₁ 并从此不再变化，则包括C的微分系数的各项在两个积分限上都为零，从而就有

这是和电流在整个导线中均匀分布时的动电冲量相同的值。 ^〔63〕

关于平面上两个图形之间的几何平均距离 ^〔64〕

691.〕　当计算在一个具有任意给定截面的直导体中流动的电流作用在一个截面也已给定的平行导体中的电流上的电磁作用力时，我们必须求出积分∬∬logrdxdydx′dy′，式中dxdy是第一个截面的面积元，dx′dy′是第二个截面的面积元，而r是这些面积元之间的距离，积分首先遍及第一个截面的每一面积元，然后遍及第二个截面的每一面积元。

如果我们现在定义一条直线R，使得上一积分等于A₁ A₂ logR，式中A₁ 和A₂ 是两个截面的面积，则R的长度将是相同的，不论所采用的是什么长度单位和对数制。如果我们假设各截面被分成一些同样大小的面积元，则线R的长度乘以面积元对的数目就将等于各对面积元的距离的对数和。在这里，R可以看成所有各对面积元的距离的几何平均值。显然，R的值必然介于r的最大值和最小值之间。

如果R_A 和R_B 是两个图形A和B离开第三个图形C的几何平均距离，而R_A＋B 是二者的合图形离开C的几何平均距离，则有（A＋B）logR_A＋B ＝AlogR_A ＋BlogR_B 。

借助于这一关系式，当已知各部分图形的R值时我们就能确定一个组合图形的R值。

举　例 ^〔65〕

692.〕　（1）设R是从点O到直线AB的平均距离。设OP垂直于AB（图81），则有

图81

图82

（2）从一条长度为c的直线的两端开始向同一侧画两条长度各为a和b的垂线（图82），则有

（3）对于其延长线相交于O点的两条直线PQ和RS来说（图83），有

PQ·RS（2logR＋3）＝logPR（2OP·ORsin² O－PR² cosO）

＋logQS（2OQ·OSsin² O－QS² cosO）

－logPS（2OP·OSsin² O－PS² cosO）

－logQR（2OQ·ORsin² O－QR² cosO）

（4）对于一点O和一个长方形面积ABCD来说（图84），设OP、OQ、OR、OS为到各边的垂线，则有

（5）两个图形并不一定是不同的，因为我们可以求出同一图形上每两个点之间的距离的几何平均值。例如，对于一条长度为a的直线来说，有

图83

图84

或者写成 R＝0.22313a。

（6）对于边长为a和b的长方面积来说，

当长方形是一个边长为a的正方形时，有　　

R＝0.44705a。

（7）一个点到一条圆周曲线的几何平均距离，等于它到圆心的距离和圆的半径这两个量中较大的一个量。

（8）因此，任一图形到以两个同心圆为边的一个圆环的几何平均距离，如果图形完全位于环外就等于该图形到圆心的几何平均距离，但是如果它完全位于环内，则

式中a₁ 和a₂ 是环的外半径和内半径。在这一事例中，R和位于环内的图形的形状无关。

（9）环上所有各对点的几何平均距离，由方程

来求得。

对于一个半径为a的圆面积来说，此式变成 或者写作 R＝O.7788a。

对于一条圆周曲线来说，此式变成R＝a。

｛对于半轴长为a和b的一个椭圆面积来说，有 ｝

693.〕　当计算一个截面均匀而曲率半径远大于横截面线度的线圈的自感系数时，我们首先用已经描述过的方法来确定截面上每一对点的距离的几何平均值，然后再计算具有所给形状的彼此隔开这样一个距离的两个线状导体之间的互感系数。

当线圈中的电流为1而且电流在截面的所有各点上均匀分布时，这样求得的结果就将是自感系数。

但是，如果线圈共有n匝，我们就必须把已经求得的系数乘以n² ，这样我们就将得到自感系数，所根据的假设是导线的各匝填满了线圈的截面。

但是导线是圆柱状的，而且是用绝缘材料包着的，因此电流就不是均匀地分布在截面上而是集中在截面的某些部分上的，而这就会增大自感系数。除此以外，相邻导线中的电流并不是和在一条给定导线中均匀分布的那种电流具有相同的导电截面。

图85

起源于这些考虑的各个改正量，可以用几何平均距离法来确定。它们正比于线圈中整条导线的长度，并且可以表示成我们必须乘在导线长度上以得出正确的自感系数的一个数字。

设导线的直径是d，导线被包以绝缘材料，并绕成一个线圈。我们将假设导线的各个截面是按正方形次序排列的，如图85所示；而且我们也将假设，每一条导线的轴线和其次一条导线的轴线之间的距离，不论在线圈的宽度方向上还是在它的深度方向上都是D。D显然大于d。

我们首先必须确定单位长度的直径为d的柱状导线比单位长度的边长为D的方截面导线在自感方面多出的量，或者说，

八条最近的圆柱导线对所考虑的导线的感应作用，比对应的八条方导线对中间那条方导线的感应作用要小2×（0.01971） ^〔66〕 。

对于相距更远的导线来说，改正量可以忽略不计，而总的改正量就可以写成

因此最后的自感值就是 式中n是匝数，l是导线的长度，M是相距为R的两个具有线圈之平均导线的形状的电路之间的互感，此处R是截面上各对点之间的几何平均距离。D是相邻导线之间的距离，而d是导线的直径。

第四十七章　圆　电　流

由一个圆电流引起的磁势

694.〕　由一个载有单位电流的电路在一个给定点上引起的磁势，在数值上等于该电路对该点所张的立体角；参阅第409、485节。

当电路是圆形的时，立体角就是一个二次锥面的立体角；而当所给点位于锥面的轴线上时，曲面就变成一个正圆锥面。当点不位于轴线上时，锥面是一个椭圆锥面，而立体角就在数值上等于它在单位半径的球面上切出的球面椭圆的面积。

这个面积可以借助于第三类椭圆积分来表示成有限数的项。我们将发现，把它展成球谐函数的无限级数是更加方便的，因为利用这样的级数来一般地进行数学运算的简易性，不仅仅抵消了计算足以保证实际精确度的若干项时的繁琐性。

为了保持普遍性起见，我们将假设原点位于圆的轴线上，也就是说位于通过圆心而垂直于图形平面的直线上。

设O是圆心（图86），C是轴线上我们取作原点的那个点，H是圆上的一点。

图86

以C为心，以CH为半径画一个球。圆将位于这一球面上，并将形成一个角半径α的小圆。

设CH＝c，OC＝b＝ccosα，OH＝a＝csinα。

设A是球的极点，Z是轴线上的任意点，并设CZ₁ ＝z。

设R是空间中的任意点，并设CR＝r而ACR＝Q。

设P是CR和球面相交的一点。

由圆电流引起的磁势等于由一个以电流为边界而具有单位强度的磁壳所引起的磁势。既然磁壳表面的形式只要以圆为边界就行，我们就可以假设它和球的表面相重合。

我们在第670节中已经证明，如果V是由展布在球面上小圆内部的面积上的一个单位面密度的物质层所引起的势，则由一个以相同的圆为边界而具有单位强度的磁壳所引起的磁势ω就是

因此我们首先必须求出V。

设所给的点位于圆的轴线上的Z点，则由球面上位于P点的面积元dS在Z点引起的那一部分势是

这个量可以展成下列两个球谐函数级数中的一个：

第一个级数当z小于c时是收敛的，而第二个级数当z大于c时是收敛的。

写出dS＝-c² dμdφ，并在O到2π的界限内对φ积分，并在cosα和1的界限内对μ积分，我们就得到　　

由P_i 的本征方程就有　　

由此即得　　

这个方程当i＝0时不成立，但是既然P₀ ＝1，就有　　

既然函数 出现在这一探讨的每一部分之中，我们就将用一个简写符号 来代表它。和若干i值相对应的 值在第698节中给出。

现在，通过把z换成r，并用θ的同阶带谐函数分乘每一项，我们就能针对任一点R写出V的值，而不论R是否位于轴线上了。因为V必然能够被展成系数适当的θ的带谐函数的级数。当θ＝0时，每一个带谐函数都变为1，而R就位于轴线上。由此可见，各个系数就是位于轴线上的一点处的V的展式中的那些项。于是我们就得到两个级数

695.〕　现在我们可以利用第670节中的方法来由一个方程求出电路的磁势ω了，那就是　　

于是我们就得到两个级数

级数（6）对一切小于C的r值为收敛，而级数（7）对一切大于C的r值为收敛。在球面上，r＝c，两个级数当θ大于α时也就是在不被磁壳所占据的各点上给出相同的ω值，但是当θ小于α时，也就是在磁壳上的各点上，却有　　

如果我们取圆心O作为坐标原点，我们就必须令 而两个级数就变为

式中所有球谐函数的阶次都是奇数 ^〔67〕 。

关于两个圆电流的势能

696.〕　让我们在开始时假设和电流等价的两个磁壳各为两个同心球的一部分，二球的半径是c₁ 和c₂ ，而c₁ 较大（图87）。让我们也假设两个磁壳的轴线互相重合，并假设α₁ 是由第一个磁壳的半径在C点上所张的角，而α₂ 是由第二个磁壳的半径在C点上所张的角。

图87

设ω₁ 是由第一个磁壳在它内部任一点上引起的磁势，则把第二个磁壳搬到无限远处时所需要的功是在第二个磁壳上计算的一个面积分 的值。由此即得

或者，把第694节的方程（2）中的积分值代入此式，就得到

^〔68〕

697.〕　其次让我们假设，其中一个磁壳的轴线以C为心发生一次转动，以致它现在和另一个磁壳的轴线成一角度θ（图88）。我们只要把θ的带谐函数引入到M的这一表示式中就行了。于是我们就得到更普遍的M值， ^〔69〕

这就是由两个单位强度的圆电流的相互作用所引起的势能；两个电流的相对位置是，通过圆心的法线以角度Q相交于一点C，从而圆周到C点的距离是c₁ 和c₂ ，其中c₁ 较大。

图88

如果任一位移dx将改变M的值，则沿位移方向作用着的力是　　

例如，如果其中一个磁壳的轴线可以绕C点而自由转动以引起Q的变化，则倾向于增大θ的力矩是Θ，此处

完成微分计算并记得 式中P_i ′的意义和在以前的方程中的意义相同，就得到

698.〕　既然P_i ′的值经常出现在这些计算中，下面这个前六阶的函数值表可能是有用的。在这个表中，μ代表cosθ而γ代表sinθ。

699.〕　有时用以下一些线性量来表示M的级数式是方便的。

设a是较小电路的半径，b是电路的平面离原点的距离，而

设A、B和C是较大电路的各个对应量。

于是M的级数式就可以写成

如果我们令θ＝0，两个圆就变成平行的并具有相同的轴线。为了确定它们之间的吸引力，我们可以对b求M的导数。于是我们就得到

700.〕　当计算长方形截面的线圈的效应时，我们必须把已经求得的各表示式对线圈的半径A和对线圈平面离原点的距离B求积分，并把积分展布在线圈的宽度和深度上。

在某些事例中，直接积分是最方便的，但是也有另外一些事例，那时下列的近似方法会导致更有用的结果。

设P是x和y的任一函数，并设需要求出 的值，此处

在这一表示式中， 是P在积分限中的平均值。

设P₀ 是当x＝0和y＝O时的P值，则利用泰勒定理来展开P，即得

在积分限内积分这一表示式并将所得结果除以xy，我们就得到 的值，

在线圈的事例中，设外半径和内半径分别是 和 并设各线匝平面到原点的距离介于 和 之间，则线圈的宽度是η而其深度是ξ，这些量远小于A或B。

为了计算这样一个线圈的磁效应，我们可以把第695节中的级数（6）和（6′）中的相继各项写成下列形式：

G₀ 、G₁ 、G₂ 等等的量属于大线圈。在r小于C的各点上，ω的值是

ω＝-2π＋2G₀ －G₁ rP₁ （θ）－G₂ r² P₂ （θ）－…。

g₁ 、g₂ 等等的量属于小线圈。在r大于C的各点上，ω′的值是

当通过每一线圈的截面的总电流都为1时，一个线圈相对于另一线圈而言的势是

M＝G₁ g₁ P₁ （θ）＋G₂ g₂ P₂ （θ）＋…。

用椭圆积分来求M

701.〕　当两个圆的圆周之间的距离和小圆的半径相比具有中等大小时，已经给出的级数并不是迅速收敛的。然而，在每一事例中，我们都可以利用椭圆积分来求出两个平行圆的M值。

因为，设b是二圆连心线的长度，并设这一直线垂直于二圆的平面，并设A和a是二圆的半径，则有 积分展布在两条曲线上。

在这一事例中，有r² ＝A² ＋a² ＋b² －2Aacos（φ－φ′），

ε＝φ－φ′，ds＝adφ，ds′＝Adφ′，

式中 而F和E是以C为模的完全椭圆积分。

由此，记得　　 并记得c是b的函数，我们就得到　　

如果r₁ 和r₂ 代表r的最大值和最小值，则 而如果取一个角γ，使它满足 则 式中F_γ 和E_γ 代表以sin_γ 为模的第一类和第二类完全椭圆积分。

如果A＝a，则 而　　

这个量就代表当每一电流都等于1时两个平行的圆形电路之间的吸引力。

有鉴于M这个量在电磁计算中的重要性，已经在角γ值的60度到90度之间按6′的间隔造了 值的表，这种值只是c的函数，从而也只是γ的函数。这个表见本章的一个附录。

M的第二个表示式

M的一个有时更便于应用的表示式，是通过令 而得到的；在这种情况下，就有 ^〔70〕

圆电流的磁力线的画法

702.〕　磁力线显然位于通过圆的轴线的平面上，而在每一条磁力线上M值是不变的。

试利用勒让德的表来针对足够多的θ值算出 的值。

在纸上画出直角坐标的x轴和z轴｛原点在圆心上，而z轴为圆的轴线｝，并以点 为心，以 为半径画一个圆。对于这个圆上的所有各点来说，c₁ 的值都将是sinθ。由此可见，对于这个圆上的所有各点来说，都有

　　和　　

喏，A就是针对它来求了M值的那个x值。因此，如果我们画一条x＝A的直线，它就会和圆相交于M具有给定值的两点。

使M按等差序列取一系列值，A的值就是一系列平方项。因此，画一系列平行于z的直线，使它们的x取已经求得的那些A值，则这些直线和圆相交的各点，就将是对应的力线和圆相交的那些点。

如果我们令m＝8πa而M＝nm，则有A＝x＝n² K_θ a。我们可以把n叫做力线的指示数（index）。

这些力线的形状在本书末尾的图版18上给出。这是根据w. 汤姆孙爵士在他的论文〈涡旋运动〉 ^〔71〕 中给出一张图复制而成的。

703.〕　如果一个具有给定轴线的圆的位置被认为是由圆心和轴上一个固定点之间的距离b以及圆的半径a来确定的，则这个圆对任何一个不论什么样的磁体或电流的体系而言的感应系数M都满足下列的方程：　　

为了证明这一点，让我们考虑当a或b变化时被圆所切割的磁力线的条数。

（1）设a变成a＋δa而b保持不变。在变化过程中，扩大着的圆在它自己的平面上扫过了一个宽度为δa的环形面积。

如果V是任一点上的磁势，而y轴平行于圆的轴线，则垂直于圆环平面的磁力是

为了求出通过环形面积的磁感，我们必须计算积分 但是这个量代表由a的变化而引起的M的改变量，或者说代表 由此即得

（2）设b变成b＋δb而a保持不变。在变化过程中，圆扫过一个半径为a而长度为δb的柱面。｛而穿过这一柱面的力线就是那些不再穿过圆的力线。｝

任一点上垂直于这一曲面的磁力是 式中r是离轴线的距离。由此即得

对a求方程（2）的导数而对b求方程（3）的导数，我们就得到

由此即得　　

把最后一项移到左端，我们就得到方程（1）。

当弧间距离远小于各圆的半径时两个平行圆的感应系数

704.〕　在这一事例中，我们可以由已经给出的椭圆积分当它们的模近似于1时的展式推得M的值。然而下述的方法却是电学原理的一种更直接的应用。

初级近似

设a和a＋c是二圆的半径而b是它们的平面之间的距离，则它们的圆周之间的最短距离由下式给出： 我们必须求出由一个圆中的单位电流所引起的穿过另一圆的磁感。

我们将从假设两个圆位于平面上开始。考虑半径为a＋c的那个圆上的一段小弧δs。在圆的平面上离δs中心的距离是ρ而此距离和δs的方向成一角度θ的一个任意点上，由δs引起的磁力垂直于该平面并等于

为了计算这个力在半径为a的圆上的面积分，我们必须求出下列积分的值： 式中r₁ 、r₂ 是方程r² －2（a＋c）sinθr＋c₂ ＋2ac＝0，的根，也就是说，

另外并有

当c远小于a时，我们可以令　　　　r₁ ＝2asinθ，r₂ ＝c/sinθ。

对ρ求积分，就得到 近似地。

于是我们就得到总的感应为

当距离远小于曲率半径时，任一点上的磁力和导线为直线时的磁力相近；既然如此，我们就可以（见第684节）利用公式　　　　M_aA －M_ac ＝4πa｛lnc－lnr｝，来计算穿过半径为a－c的圆和穿过圆A的磁感之差。

由此我们就得到，A和a之间的感应近似地等于　　　　M_Aa ＝4πa（ln8a－lnr－2）。如果二圆间的最小距离r远小于a的话。

705.〕　既然同一线圈上的两匝之间的互感在实验结果的计算中是一个很重要的量，我现在就将描述一种方法，而利用这种方法，对M值的逼近可以进行到任意要求的精确度。

我们将假设M的值具有下列形式：

式中　　

此处a和a＋x是二圆的半径，而y是它们的平面之间的距离。

我们必须确定系数A和B的值。很显然，只有y的偶次幂才能出现在这些量中，因为，如果y变号，M的值必须保持不变。

我们也得到关于感应系数之倒易性质的另一组条件，因为不论我们把哪一个圆看成原电路，感应系数都应该是相同的。因此，当我们在以上各表示式中把a换成a＋x而把x换成-x时，M的值必须仍然相同。

于是，通过令x和y的相同组合的系数彼此相等，我们就得到下列的倒易条件式：

由第703节中关于M的普遍方程　　

我们就得到另一组条件式，　　

^〔72〕

求解这些方程并把各系数的值代入，M的级数式就变成

^〔73〕

当导线的总长度和粗细都已给定时试求自感系数最大的线圈形状

706.〕　忽略第705节的改正量，我们由第693节就得到 式中n是导线匝数，a是线圈的平均半径，而R是线圈横截面离它自己的几何平均距离。请参阅第691节。如果这个截面永远和它自己相似，则R正比于截面的线度，而n正比于R² 。

既然导线的总长度是2πan，a就和n成反比。由此即得 以及 而我们就得到L具有极大值的条件

如果线圈沟槽的横截面是圆形的，而其半径为c，则由第692节得到 由此即得a＝3.22c；或者说，线圈的平均半径应该是线圈沟槽的截面积半径的3.22倍，以便这样一个线圈可以有最大的自感系数。这个结果是由高斯求出的 ^〔74〕 。

如果导线所绕的沟槽具有正方形的横截面，则线圈的平均直径应该是沟槽之正方截面的边长的3.7倍。

附　录　Ⅰ

数值表（第701节）

对数以10为底

续表

续表

附　录　Ⅱ

在两个同轴圆线圈这一很重要的事例中，瑞利勋爵曾在附录Ⅰ的表的应用方面建议了一个很方便的近似公式。这个适用于任意多个变数的公式见于Mr. Merrifield's Report on Quadratures and Interpolation to the British Association, 1880，而且据信是由已故的H. J. 颇尔金斯先生得出的。在现有的例子中，变数的个数是四。

设n、n′是两个线圈上的匝数。

a、a′是它们的中央匝的半径。

b是它们的中心之间的距离。

2h、2h′是二线圈的径向宽度。

2k、2k′是它们的轴向宽度。

另外又设f（a，a′，b）是各中央线匝的互感系数。于是二线圈的互感系数就是

附　录　Ⅲ

正方截面的圆线圈的自感

设-n匝线圈的轴向宽度是b而径向宽度是c，如果a代表它的平均半径，则借助于第705节中的级数来计算的自感，曾由Weinstein Wied. Ann. xxi. 329证明为等于L＝4πn² （aλ＋μ），式中，把b/c写成x，就有

第四十八章　电磁仪器

电　流　计

707.〕　一个电流计就是一个用来通过电流的磁作用而显示或测量电流的仪器。

当仪器的目的是指示一个微弱电流的存在时，它就叫做一个“灵敏电流计”。

当它的目的是利用标准单位在尽可能准确地测量电流时，它就叫做一个“标准电流计”。

所有的电流计都是依据了施外格尔倍加器的原理的；在这种倍加器中，一个电流被送入一根导线中，导线被绕好，使它多次地通过一个敞开的、里边放有一个悬挂磁体的空间，于是它就在该空间中产生一个电磁力，而该力的强度就由那个磁体来指示。

在灵敏电流计中，线圈被安装得各匝占有对磁体影响最大的位置。因此各匝是挤得很紧的，为的是靠近磁体。

标准电流计要造得它的一切固定部件的尺寸和相对位置都可以被准确地得知，而且关于各活动部分的位置的任何小的不确定性都在计算中只造成尽可能小的误差。

在制造一个灵敏电流计时，我们要把磁体悬挂在那里的那个电磁力场弄得尽可能地强。在设计一个标准电流计时，我们希望把磁体附近的电磁力场弄得尽可能的均匀，并且希望知道用电流的强度表示出来的电磁力场的确切强度。

关于标准电流计

708.〕　在一个标准电流计中，电流的强度必须根据它对悬挂磁体作用的力来测定。喏，磁体中的磁量分布，以及当磁体被悬挂起来时它的磁心的位置，都是无法测定到多大的精确度的。因此就有必要很好地安排线圈，使它在磁体在其可能的运动过程中所占据的全部空间中产生一个非常接近于均匀的力场。因此，一般说来，线圈的尺寸必须比磁体的尺寸大得多。

通过若干个线圈的适当排列，它们中的力场可以被弄得比只用一个线圈时更加均匀得多；这样，仪器的尺寸就可以被压缩，而它的灵敏度也可以被提高。然而线度测量的误差却在较小的仪器中比在较大的仪器中带来电流值方面的更大的不准量。因此人们不是通过仪器尺寸的直接测量而是通过和一个其尺寸更准确地已知的较大的标准仪器进行电学对比来确定小仪器的电学常量；见第752节。

在所有的标准电流计中，线圈都是圆形的。线圈的绕线槽制造得很仔细。它的宽度做得等于包皮线直径的某一倍数n。槽边上钻有小孔，以便引入导线并抽出包皮导线的另一端而形成线圈的内连接。线槽装在一个车床上，而且有一个木轴固定在它上面，见图89，一根长绳的一端钉在轴沿的某处，作为导线的入口。然后让整个装置转动起来，而导线就平滑而规则地进入槽底直到槽底被几匝导线完全盖住时为止。在这个过程中，绳子已在轴上绕了几匝，于是就在第n匝处把一个钉子敲入绳中。绳子的各匝应该露在外边，以便计数。于是就测量第一层导线的周长并开始绕第二层。如此继续进行，直到层数合适时为止。绳子的用处在于数出匝数。如果由于某种原因而必须重绕线圈的某一部分，绳子也要倒回，以免我们记错了线圈上的实际匝数。钉子的作用在于区别每一层中的匝数。

图89

每一层的周长的测量提供对绕线规则性的一种检验，并使我们能够计算线圈的电阻。因为，如果我们取线槽周长和外层周长的算术平均值再加上所有各中间层的周长并用层数去除这一和数，我们就将得到平均周长，而由此我们就能推出线圈的平均半径。每一层的周长可以用钢卷尺来测量，或者更好的办法是用一个刻了度的轮子来测量，这个轮子在绕线过程中在线圈上滚动。钢卷尺上或轮子上的刻度值，必须通过和一个直尺对比来加以校准。

709.〕　线圈中的单位电流对悬挂着的仪器作用的力矩可以用一个级数来表示 式中各个G系数和线圈有关，而各个g系数和悬挂仪器有关，θ是线圈轴线和悬挂仪器轴线之间的夹角，见第700节。

当悬挂的仪器是一个在中点上被挂起的长度为2l而强度为1的均匀纵向磁化的细磁棒时，就有g₁ ＝2l，g₂ ＝0，g₃ ＝2l³ ，…。一个长度为2l的按任何别的方式磁化的磁棒的各系数值，小于它被均匀磁化时的各系数值。

710.〕　当仪器被用作一个正切电流计时，它的线圈是固定的，其平面是竖直的并平行于地球磁力的方向。在这一事例中，磁体的平衡方程就是

式中mg₁ 是磁体的磁矩，H是地磁力的水平分量，而γ是线圈中的电流强度。当磁体的长度远小于线圈的半径时，含G和g的第一项以后的各项可以忽略不计，于是我们就得到

通常测量的角度是磁体的偏转角δ，它是θ的余角，从而cotθ＝tanδ。

于是电流和偏转角的正切成正比，从而仪器叫做“正切电流计”。

另一种办法是使整个仪器可以绕一个竖直轴而活动，并转动它直到磁体的轴线平行于线圈平面而处于平衡时为止。如果线圈平面和磁子午面之间的夹角是δ，平衡方程就是 由此即得

既然电流是用偏转角的正弦来量度的，当这样使用时仪器就叫做“正弦电流计”。

只有当电流很稳定，以致我们可以认为它在调节仪器并使磁体达到平衡的过程中是恒定的时，正弦法才是可以应用的。

711.〕　其次我们必须考虑一个标准电流计中的线圈的装置。

在最简单的电流计中，只有单独一个线圈，而磁体就挂在线圈的中心上。

设A是线圈的平均半径，ξ是它的深度，η是它的宽度，而n是匝数，则各个系数的值是 G₄ ＝0，…。

主要的改正量来自G₃ 。级数 近似地变成

当磁体被均匀磁化而θ＝0时，改正因子将和1相差最大。在这一事例中，它变成 当tanθ＝2或当偏转角为 或26°34′时，改正量为零。因此有些观测者就调节他们的仪器，使得观测到的偏转角尽可能和这个角相接近。然而最好的办法是采用一个长度远小于线圈半径的磁体，以便改正量可以完全被忽略。

悬挂的磁体被细心地加以调节，使它的中心尽可能接近地和线圈的中心相重合。然而，如果调节不完善，而磁体的中心相对于线圈中心的坐标是x、y、z，而z是平行于线圈轴线来量度的，则改正因子是 ^〔75〕

当线圈半径很大而磁体的调节也做得很细心时，我们可以假设这种改正是微不足道的。

高根装置法

712.〕　为了消除依赖于G₃ 的改正量，高根制造了一个电流计。在这种电流计中，磁体不是挂在线圈的中心上而是挂在线圈轴线上离线圈中心的距离为线圈半径之一半的点上；用这种方法，上述改正量就被弄成了零。G₃ 的形式是 而既然在这种装置中 那就有G₃ ＝0。假如我们能够确信悬挂磁体的中心恰好是在这样定义的那个点上的，这种装置就将是对最初装置的一种改进。然而，磁体中心的位置却永远是不确定的，而这种不确定性就带来一种大小未知的依赖于G₂ 的改正量，其形式是 式中z是离线圈平面的距离中的多余值。这个改正量依赖于 的一次幂。因此，具有离心悬挂的磁体的高根线圈就比以前的形式受到更大得多的不准量的影响。

亥姆霍兹装置法

713.〕　通过在磁体另一侧的相同距离处放上第二个和第一个线圈相等的线圈，亥姆霍兹把高根的电流计改造成了一种可以信赖的仪器。

通过把两个线圈对称地放在磁体的两侧，我们就一举而消除了所有的偶次项。

设A是每一个线圈的平均半径，两个线圈的平均平面之间的距离就被弄成了等于A，而磁体就挂在它们的公共轴线的中点上。各系数是

式中n代表两个线圈的匝数之和。

由这些结果可以看出，如果 线圈的沟槽截面是深度为ξ而宽度为η的长方形，则按截面的有限大小而进行了改正的G₃ 的值将是很小的，而当ξ² 和η² 之比等于36比31时这个值为零。

因此，完全没有必要像某些仪器制造者所曾经做过的那样试图在圆锥表面上绕制线圈，因为条件可被具有长方截面的线圈所满足，而这种线圈可以比在钝锥面上绕制的线圈制造得更加精确。

亥姆霍兹双线圈电流计中的线圈装置情况，如第725节中的图93所示。

由双线圈引起的力场，以截面的形式表示在本书末尾的图版19上。

四线圈电流计

714．〕通过把四个线圈组合起来，我们可以消除G₂ 、G₃ 、G₄ 、G₅ 和G₆ 。因为，利用任何对称组合，我们都可以消除各偶次系数。设四个线圈是属于同一球面的一些平行的圆，所对应的角度是θ、φ、π－φ和π－θ。

设第一个和第四个线圈上的匝数是n，而第二个和第三个上的匝数是pn，于是，整个组合的G₃ ＝0的条件就给出　　

而G₅ ＝0的条件则给出　　

令　　　　sin² θ＝x而

并把 和 （见第698节）用这些量表示出来，方程（1）和（2）就变成

由（5）式减去（4）式的二倍并除以3，我们就得到

于是由（4）和（6）就有 而我们就得到

x和y都是一些角的正弦的平方，从而必然介于0和1之间。由此可见，x不是介于0和 之间就是介于 和1之间；在第一种事例中，y介于 和1之间而1/p介于∞和 之间；在第二种事例中，y介于0和 之间而1/p介于0和 之间。

三线圈电流计

715．〕　最方便的装置是x＝1的装置。这时有两个线圈合而为一并形成半径为C的球的一个大圆。这个复合线圈上的匝数是64。另外两个线圈形成球的小圆。其中每一个小圆的半径是 其中每一小圆离开第一个大圆的平面的距离是 这些线圈中每一个线圈上的匝数是49。

G₁ 的值是

在三线圈电流计中，G₁ 以后第一个具有有限值的项是G₇ ；因此，各线圈位于其表面上的那个球的一大部分就形成一个相当均匀的力场。

图90

假如我们能够像在第672节中描述了的那样在整个球面上绕满导线，我们就将得到一个完全均匀的力场。然而，足够精确地把线匝分布在一个球面上却在实践上是不可能的，即使这样一个线圈并不受到另一种意见的反对，而那种意见就是，这种线圈形成一个闭合的曲面，从而它的内部是不可达到的。

通过把中间的那个线圈从电路中断开，而让电流在两个侧线圈中沿相反方向运行，我们就得到一个力场，它将对一个挂在场中而轴线平行于各线圈之轴线的磁体或线圈作用一个近似均匀的力，其方向沿轴线；见第673节。因为在这一事例中所有奇次系数都不存在，而既然 就有

由此可见，既然每一线圈上各有n匝导线，第695节中关于线圈中心附近的磁势的表示式（6）就变成

外电阻给定时一个电流计中的导线的适当粗细

716．〕　设电流计线圈的绕线槽的形状已经给定，要确定的是应该在槽内绕上一根长而细的导线呢还是绕上一根短而粗的导线。

设l是导线的长度，y是它的半径，y＋b是它在包皮以后的半径，ρ是它的比电阻，g是单位长度的导线的G值，而r是和电流计无关的那一部分电阻。

电流计导线的电阻是　　

线圈的体积是V＝πl（y＋b）　　　　² 。

电磁力是γG，此处γ是电流强度而　　　　G＝gl。

如果E是在电阻为R＋r的电路中起着作用的电动势，则　　　　E＝γ（R＋r）。

由这个电动势所引起的电磁力是 而我们正是必须通过改变y和l来使这个力取最大值。

把分式颠倒过来，我们就发现应使 取最小值。由此即得 如果线圈的体积保持不变，则有 消去dl和dy，我们就得到 或者说

由此可见，电流计导线的粗细，应使外电阻和电流计线圈电阻之比等于包皮线的直径和裸线本身的直径之比。

关于灵敏电流计

717．〕　在灵敏电流计的制造中，每一装置部件的目的都在于利用一个给定的作用于线圈电极之间的小电动势来引起磁体的尽可能大的偏转。

导线中的电流当导线离悬挂磁体尽可能近时就会产生最大的效应。但是磁体必须能够随便振动，从而线圈内部就必须保留一定的空余空间。这就确定了线圈的内边界。

在这一空间外面，每一线匝都必须布置得足以对磁体发生尽可能大的效应。随着匝数的增多，最有利的位置将被填满，以致到了最后，新的一匝所增大的电阻将削弱以前各匝中的电流的效应，而新匝所增大的效应反而较小。通过用比内部各匝更粗的导线来绕外边的匝，我们可以在给定的电动势下得到最大的磁效应。

图91

718．〕　我们将假设电流计的线匝是圆形的，电流计的轴线通过各圆的中心而垂直于它们的平面。

设rsinθ是其中一个圆的半径，而rcosθ是该圆的中心离电流计中心的距离，于是，如果l是和该圆相重合的导线的长度，而γ是通过导线的电流，则电流计中心上的磁力在轴线方向上的分量是　　

如果我们写出　　

则这一表示式变成

由此可见，如果制造一个曲面，其截面如图91所示，其方程为　　 式中x₁ 是任意常数，则弯成一个圆弧的导线当位于这一曲面之内时将比位于曲面之外时产生更大的磁效应。由此就得到，任一导线层的外表面应该具有一个恒定的x值，因为，如果一个地方的x大于另一地方的x，则有一部分导线应能从第一个地方转移到第二个地方，以增大电流计中心上的力。

由线圈引起的总力是γG，此处　　

积分遍及导线的整个长度，x被看成l的函数。

719．〕　设y是导线的半径，则其截面积将是πy² 。设ρ是制造导线所用材料的对单位体积而言的比电阻，则长度为l的导线的电阻是 而线圈的总电阻是

式中y被看成l的函数。

设Y² 是一个四边形的面积，该四边形的四个角是线圈上四条相邻导线的轴线和通过线圈轴线的平面的交点，则Y² l是一段长为l的导线及其绝缘包皮在线圈中所占的体积，其中包括必须保留在线圈各匝之间的空隙。因此线圈的总体积就是

式中Y被看成l的函数。

但是，既然线圈是一个旋成图形，就有　　

或者，按方程（1）把r用x表示出来，就有　　

喏， 是一个数字量，用N来代表它，就有　　

式中V₀ 是留给磁体的内部空间的体积。

现在让我们考虑介于两个曲面x和x＋dx之间的一个线圈层。

这一层的体积是　　

式中dl是这一层中的导线长度。

这就按照dx而给我们以dl。把此式代入方程（3）和（4）中，就得到

式中dG和dR代表由这一线圈层所引起的那一部分G值和R值。

现在，如果E是所给的电动势，则有　　　　E＝γ（R＋r），

式中r是外电路的电阻，和电流计无关，从而电流计中心上的力就是

因此我们必须通过适当调节每一层中的导线截面来使 有最大值。这也必然涉及Y的变化，因为Y是依赖于y的。

设G₀ 和R₀ 是当把所给的一层不计算在内时的G值和R＋r值。于是我们就有

而通过针对所给层变化y值来使此式取极大值，我们就必须有

既然dx很小而最后变为零， 就将近似地相同而且最后是准确地相同，不论被排除于考虑之外的是哪一层，从而我们可以把它看成一个常量。因此，我们由（10）和（11）就有　　

如果导线的包皮方法和缠绕方法使得导线金属所占的体积和导线之间的空隙体积之比不论导线是粗是细都相同，则有 而且我们必须令y及Y都和x成正比，这就是说，任一层中的导线的直径必须和该层的线度成正比。

如果绝缘包皮的厚度是常量并等于b，而且导线是按正方形次序排列的，则有

而条件式就是　　

在这一事例中，导线的直径随其所在层的直径而增大，但增大的速度却并不那样大。

如果我们采用这两个假说中的第一个假说（如果导线本身近似地占满全部空间，则这个假说近似地成立），我们就必须令y＝αx，Y＝βy，式中α和β是常数，而且｛由（10）和（11）即得｝　　

式中a是一个常量，依赖于在线圈中部留下来的空间的大小和形状。

因此，如果我们使导线的粗细按照和x的相同比例而变，则在线圈的外线度已经达到它的内线度的许多倍以后，再增大它的外部尺寸就不会有什么好处了。

720．〕　如果电阻的增大不被认为是一个缺点，例如当外电阻远远大于电流计的电阻时，或是当我们的目的只在于产生一个强力场时，我们就可以令y和Y都保持不变。

这时我们就有　　

式中a是依赖于线圈内的空间的一个常量。在这一事例中，G的值随着线圈尺寸的增大而均匀地增大，从而除了制造线圈所需的人力和财力以外，G值是没有极限的。

关于悬挂着的线圈

721．〕　在普通的电流计中，一个悬挂着的磁体受到一个固定线圈的作用。但是，如果线圈可以被悬挂得足够精巧，我们就可以根据它对平衡位置的偏转来确定磁体或另一个线圈对悬挂线圈的作用。

然而，除非在电池的两极和线圈中导线的两端之间存在金属连接，我们并不能把电流送入线圈中去。这种连接可以用两种不同的办法来做到，即利用双线悬置法或利用反向的导线。

图92

双线悬置法已经在第459节中作为对磁体的应用而描述过了。悬置的上部装置如图94所示。当用于线圈时，两根悬丝不再是丝线而是金属丝，而且，既然一根能够支持线圈并输送电流的金属丝的扭力比丝线的扭力大得多，这种扭力就必须被考虑在内。这种悬置在由W. 韦伯所制造的仪器中已经被弄得非常完善了。

另一种悬置方法是利用和线圈的一端相接的单独一根导线。线圈的另一端接在另一根导线上；这根导线和第一根导线沿着同一条竖直线而向下垂着，并插入一个汞杯中，如第726节中的图95所示。在某些事例中，把两根导线的各端固定在一些可以把它们拉直的零件上是方便的，这时必须注意使这些导线的延线通过线圈的重心。这种形式的仪器当轴线并不竖直时也可以使用，见图92。

722．〕　悬挂的线圈可以作为一种非常灵敏的电流计来使用，因为，通过增大它所在的场中的磁力强度，由线圈中的一个微弱电流所引起的力可以大大增强而用不着加大线圈的质量。用于这种目的的磁力可以借助于一些永久磁体或借助于一些用辅助电流加以激励的电磁体来产生，而且可以借助于软铁电枢来把它强烈地汇聚在悬挂线圈上。例如，在W. 汤姆孙爵士的记录仪器中，见图92，线圈被挂在电磁体的两个相反的极N和S之间，而且，为了把磁力线汇聚在线圈的竖直边上，一个软铁块D被固定到了磁极之间。这块铁因感应而受到磁化，在它和两个磁极之间的空隙中产生一个很强的力场，而线圈的竖直边就是可以通过这些空隙而自由地运动的，于是，即使当通过线圈的电流非常微弱时，线圈也会受到一个倾向于使它绕竖直轴而转动的相当大的力。

723．〕　悬挂线圈的另一种应用就是通过和一个正切电流计相对比来测定地磁的水平分量。

线圈被悬挂得当它的平面平行于磁子午面时就处于稳定平衡。一个电流γ被送入线圈中并使它偏到一个和磁子午面有一夹角θ的新的平衡位置。如果悬置是双线式的，引起这一偏转的力偶矩就是Fsinθ，而这个力偶矩必然等于Hγgcosθ，此处H是地磁的水平分量，γ是线圈中的电流，而g是线圈所有各匝的面积之和。由此即得

如果A是线圈对它的悬挂轴线而言的惯量矩，而T是半振动的时间，则当没有电流通过时应有FT² ＝π² A，从而我们就得到

如果同一个电流通过一个正切电流计的线圈并使它的磁体偏转一个角度φ，则有

式中G是正切电流计的主常量，见第710节。

由这两个方程我们就得到　　

这种方法是由F. 考耳若什提出的 ^〔76〕 。

724．〕　W. 汤姆孙爵士曾经制造了单一的仪器，利用这种仪器，同一个观测者可以同时进行测定H和测定γ所需要的那些观测。

线圈悬挂得它的平面在磁子午面内处于平衡，而且当有电流通入时就偏离这一位置。一个很小的磁体被悬挂在线圈的中心上，而且将被电流所偏转，其方向和线圈偏转的方向相反。设线圈的偏转角是θ，而磁体的偏转角是φ，则体系能量的可变部分是

-Hγgsinθ－mγGsin（θ－φ）－Hmcosφ－Fcosθ。

对θ和对φ求导数，我们就分别得到线圈的和磁体的平衡方程

-Hγgcosθ－mγGcos（θ－φ）＋Fsinθ＝0，

mγGcos（θ－φ）＋ Hmsinφ＝0。

消去H或γ，我们就由这些方程得到一个可以用来求出γ或H的二次方程。如果悬挂磁体的磁矩m很小，我们就得到下列的值：

在这些表示式中，G和g是磁体和线圈的主常量，A是线圈的惯量矩，T是振动的半周期，m是磁体的磁矩，H是水平磁力的强度，γ是电流强度，θ是线圈的偏转角，而φ是磁体的偏转角。

既然线圈的偏转是和磁体的偏转方向相反的，这些H值和γ值就将永远是实值。

韦伯的力测电流计

725．〕　在这种仪器中，一个小线圈被用两根金属丝挂在一个较大的固定线圈中。当使电流通过两个线圈时，悬挂的线圈就倾向于使自己和固定线圈相平行。这一趋势受到起源于双线悬置的力矩的反抗，而且也受到地磁对悬挂线圈的作用的影响。

在仪器的普通应用中，两个线圈的平面几乎是接近互相垂直的，这样各线圈中的电流的相互作用就可以尽可能地强；而且悬挂线圈的平面是和磁子午接近互相垂直的，这样地磁的作用就可以尽可能地小。

设固定线圈的平面的磁方位角是α，并设悬挂线圈的轴线和固定线圈的平面之间的角是θ＋β，此处β是当线圈中没有电流并处于平衡时这一角的值，而θ是由电流引起的偏转角。设γ₁ 是固定线圈中的电流而γ₂ 是活动线圈中的电流，则平衡方程是

Ggγ₁ γ₂ cos（θ＋β）－Hgγ₂ sin（θ＋β＋α）－Fsinθ＝0。

让我们假设仪器被调节得α和β都很小，而且Hgγ₂ 和F相比也很小。在这种情况下我们就近似地有

如果当γ₁ 和γ₂ 的符号变化时偏转角变化如下

θ₁ ，当γ₁ 为+而γ₂ 为+时，θ₂ ，当γ₁ 为-而γ₂ 为-时，θ₃ ，当γ₁ 为+而γ₂ 为-时，θ₄ ，当γ₁ 为-而γ₂ 为+时，我们就得到　　

如果通入两个线圈的是相同的电流，我们就可以令γ₁ γ₂ ＝γ² ，于是就得到γ的值。

当电流不是很稳定时就最好采用这种称为“正切法”的方法。

如果电流稳定得使我们能够调节仪器的扭力头的角度β，我们就能用正弦法来一举而消除关于地磁的改正量。

在这种方法中，β一直被调整到偏转角等于零为止，于是就有θ＝-β。

如果γ₁ 和γ₂ 的符号仍和从前一样用β的下标来指示，则有

Fsinβ₁ ＝-Fsinβ₃ ＝-Ggγ₁ γ₂ ＋Hgγ₂ sinα，Fsinβ₂ ＝-Fsinβ₄ ＝-Ggγ₁ γ₂ －Hgγ₂ sinα，

以及　　

这就是拉提摩·克拉克先生在使用由大英协会的电学委员会制造的仪器时所采用的方法。我们感谢克拉克先生提供了图93中的力测电流计的作图；在这种电流计中，不论是作为固定线圈还是作为悬挂线圈都采用了亥姆霍兹的双线圈装置 ^〔77〕 。用来调节双线悬置的扭力头表示在图94中，悬线张力的相等通过下法来保证：两根悬线接在一根丝线的两端，丝线绕在一个滑轮上，悬线之间的距离用两个距离可变的导轮来调节。悬挂的线圈可以借助于一个对悬线轮起作用的螺旋来上下移动，并且可以借助于图94下部所示的滑动部件来在两个方向上水平移动，它也通过一个扭转螺旋来调节其方位，那个螺旋可以绕着竖直轴线而转动扭力头（见第459节）。悬挂线圈的方位角通过观察一个标尺在镜中的反射来确定，这种装置画在了悬挂线圈的轴线的正下方。

图93

图94

起初由韦伯制造的仪器在他的Elektrodynamische Maasbestimmungen中进行了描述。它是打算用于小电流的测量的，因此固定线圈和悬挂线圈都有许多匝，而且悬挂线圈在固定线圈内部所占的空间部分也比在大英协会的仪器中要大，因为后者主要是打算用作一种标准仪器，以便可以把更灵敏的仪器和它对比的。韦伯用自己的仪器做的实验，为安培公式应用于闭合电流时的精确性提供了最完备的实验证明，而且形成了韦伯的研究的一个重要部分，通过这些研究，他在精确度方面把电学量的数值测定提高到了很高的水平。

在韦伯这种形式的力测电流计中，一个线圈悬挂在另一个线圈的内部，并受到一个倾向于使它绕竖直轴而转动的力偶的作用；这或许是最适合于绝对测量的一种仪器。在第700节中，曾经给出了计算这种装置之各常量的一种方法。

726．〕　然而，如果我们希望借助于一个微弱电流来产生一个相当大的电磁力，则更好的办法是把悬挂线圈摆得平行于固定线圈，并使它可以向着或离开固定线圈而运动。

在图95所示的焦耳博士的电流秤中，悬挂线圈是水平的，而且可以上下运动，而它和固定线圈之间的力则通过为了把线圈带回到没有电流时对固定线圈而言的同一相对位置而必须增加或减少的线圈重量来估算。

图95

图96

悬挂线圈也可以固定在一个扭秤的水平臂的一端，并且可以放在两个固定线圈之间，其中一个固定线圈吸引它，而另一个则推斥它，如图96所示。

通过像在第729节中所描述的那样来安排各线圈，作用在悬挂线圈上的力可以被弄得在离开平衡位置的一段小距离之内成为近似的均匀。

另一个线圈可以固定在扭秤臂的另一端并放在两个固定线圈之间。如果两个线圈是相似的，但是却载有反向流动的电流，则地磁对扭秤臂位置的影响将被完全消除。

727．〕　如果悬挂线圈具有长螺线管的形状并且能够平行于它的轴线而运动，以通过一个更大的具有相同轴线的固定螺线管的内部，那么，如果两个螺线管中的电流方向相同，则悬挂螺线管将被一个力吸向固定螺线管的内部，而只要各螺线管没有和任何管端相距很近，这个力就是近似地均匀的。

728．〕　当一个小线圈放在两个相等的而线度更大得多的线圈之间时，为了在小线圈上产生一个均匀的纵向力，我们应该使大线圈的半径和它们平面之间的距离成2与 之比。如果我们沿相反的方向把电流送入这些线圈中，则ω的表示式中含r奇次幂的各项都会消失，而且，既然 而 含r⁴ 的一项也会消失，从而作为ω的可变部分，我们由第715节就得到

这就指示了作用在小的悬挂线圈上的一个接近均匀的力。这一事例中的线圈安排，就是在第715节中描述了的三线圈电流计中那两个外线圈的安排。请参阅图90。

729．〕　如果我们希望把一个悬挂线圈放在两个线圈之间，而这两个线圈离悬挂线圈很近，以致相互作用着的导线之间的距离远小于这两个线圈的直径，则最均匀的力可以通过使每一外线圈的半径比中间线圈的半径大出一个等于中间线圈和外线圈的平面间距的 的值来得到。这一点可以由第705节中针对两个圆电流的互感而证明了的表示式来推知 ^〔78〕 。

第四十九章　电磁观测

730．〕　电学量的许多测量都是对一个振动物体的运动的观测，因此我们将把某些注意力用到这种运动的本性方面，以及一些观测它的最好方法方面。

一般说来，一个物体在其稳定平衡附近的微小振动，是和一个受到正比于到一固定位置的力作用的点的振动相类似的。在我们的实验中的振动物体的事例中，也存在由空气的阻力、悬丝的阻力之类的种种原因引起的对运动的阻力。在许多电学仪器中，还有另一种阻力原因，那就是在振动磁体附近的传导电路中感应出来的电流的反作用。这些电流是被磁体的运动感应出来的，而根据楞次定律，它们对磁体的作用永远是反抗磁体的运动。这在许多事例中就是阻力的主要部分。

一个叫做“阻尼器”的金属电路有时被放在一个磁体的附近，其明确的目的就是阻碍或停止磁体的摆动。因此我们就把这种阻力称为“阻尼”。

在慢振动的事例中，例如在很容易观察的振动的事例中，不论起源于什么原因，整个的阻力都显现为和速度成正比。只有当速度比电磁仪器中的普通振动速度大得多时，我们才有关于阻力正比于速度平方的迹象。

图97

因此我们必须研究一个物体在一个正比于距离的吸引力和一个正比于速度的阻力作用下的运动。

731．〕　泰特教授 ^〔79〕 对速端曲线原理的下述应用使我们能够借助于等角螺线而用一种极简单的方式来研究这种运动。

设要寻求的是一个以均匀角速度ω沿着一个对数蜷线或称等角蜷线而绕着极点运动的一个质点的加速度。

这种蜷线的性质是其切线PT和矢径PS成一常值角α。

如果v是P点上的速度，则　　　　v．sinα＝ω．SP。

由此可见，如果画直线 平行于PT并等于SP，则P点上的速度的方向和量值都将由下式给出

因此P′就将是速端曲线上的一个点。但是，SP′就是转过了一个常角π－α的SP′，从而P′所描绘的速端曲线就是和绕着极点转过一个角π－α的原有蜷线相同的。

P点的加速度在量值和方向上由P′点的速度乘以同一因子 来代表。

由此可见，如果我们对SP′进行同一运算，即把它绕着极点转过一个角度π－α而达到SP″，则P点的加速度将在量值和方向上等于 式中SP″等于转过一个角2π－2α的SP。

如果我们画PF使它等于并平行于SP″，则加速度将是 这个加速度可以分解成 和 其中第一个分量是一个正比于距离而指向S的向心加速度。

第二分量的方向和速度的方向相反，而既然　　 这个加速度就可以写成

因此质点的加速度是由两部分合成的；其中第一部分由一个吸引力μr所引起，指向S并正比于距离，而第二部分则是-2kv，即一个正比于速度的对运动的阻力，此处有 和 如果我们在这些表示式中令 则曲线轨道变成一个圆，而且我们有 和k＝0。

由此可见，如果单位距离上的力保持相同，则μ＝μ₀ 而ω＝ω₀ sinα。

吸引力规律相同的不同蜷线上的角速度，正比于各该蜷线的角度的正弦。

732．〕　如果我们现在考虑一点的运动，而该点是运动点P在水平线XY上的投影，我们就会发现，它离S的距离和它的速度是P点的距离和速度的水平分量。因此这个点的加速度也是一个等于μ乘以到S的距离而指向S的吸引力，以及一个等于2k乘以速度的阻力。

因此我们就有了关于一点之直线运动的完备作图法，该点受到一个正比于离某一固定点的距离的吸引力以及一个正比于速度的阻力。这样一个点的运动，简单地就是另一个点的运动的水平部分，而那另一个点是以均匀角速度而沿着一条对数蜷线在运动的。

733．〕　蜷线的方程是r＝Ce^-φcotα 。

为了确定水平运动，我们令φ＝ωt，x＝a＋rsinφ，式中a是平衡点的x值。

如果我们作直线BSD使它和竖直线成一角α，则切线BX，DY，GZ等等将是竖直的，而X、Y、Z等等则将是逐次振动的端点。

734．〕　对一个振动物体所作的观测如下：（1）驻点外的标尺读数。这些读数叫做“伸长”。（2）沿正方向和负方向通过标尺上一个确定刻度的时刻。（3）某些确定时刻的标尺读数。除了在长周期的事例中以外，这一种观测是不常进行的 ^〔80〕 。

我们必须确定的量是：（1）平衡位置上的标尺读数。（2）振动的对数减缩。（3）振动时间。

由三次相继伸长确定平衡位置的读数

735．〕　设x₁ 、x₂ 、x₃ 是观察到的对应于伸长X、Y、Z的标尺读数，a是平衡位置S处的读数，并设r₁ 是SB的值，则有x₁ －a＝r₁ sinα，x₂ －a＝-r₁ sinαe^-πcotα ，x₃ －a＝r₁ sinαe^-2πcotα 。

由这些值，我们就得到（x₁ －a）（x₃ －a）＝（x₂ －a）² ，式中

当x₃ 和x₁ 相差不大时，我们可以用 作为一个近似方程。

确定对数减缩

736．〕　一次振动和下一次振动的振幅之比的对数，叫做“对数减缩”。如果我们用ρ来代表这个比值，则有 L＝log₁₀ ρ，λ＝lnρ。

L叫做常用对数减缩，而λ叫做自然对数减缩。很显然，　　　　λ＝Lln10＝πcotα。

由此即得 此式确定了对数蜷线的角度。

在进行λ的一次具体测定时，我们让物体完成相当多次振动。如果c₁ 是第一次振动的振幅而c_n 是第n次振动的振幅，则有

如果我们假设观测的精确度对大幅振动和小幅振动来说都是相同的，则为了得到最好的λ值，我们应该让振动衰减到c₁ 和c_n 之比和自然对数的底e最接近时为止。这就给出一个n值，它是和 最相近的整数。

然而，既然在大多数事例中时间是很宝贵的，最好就是在振幅的衰减进行到这种地步以前取它的倒数第二组观测结果。

737．〕　在某些事例中，我们可能必须由两次相继的伸长来确定平衡位置，而对数减缩则已经由专门的实验定出。这时我们就有

振动时间

738．〕　当测定了平衡位置以后，就要在标尺的那一点上或在和该点尽可能接近的地方作个明显的记号，然后就记下在若干次相继的振动中经过这个记号的时刻。

让我们假设记号位于正向一侧和平衡点有一个未知的但很小的距离x处，而t₁ 就是所观测到的第一次沿正方向经过这一记号的时刻，而t₂ 、t₃ 等等则是以后各次的经过时刻。

如果T是振动时间｛也就是两次相继经过平衡位置所需的时间｝，而P₁ 、P₂ 、P₃ 等等则是经过真实平衡位置的时刻，于是就有 P₂ －P₁ ＝P₃ －P₂ ＝T，式中v₁ 、v₂ 、v₃ 等等是相继的经过速度，而我们可以认为这些速度在很小的距离x上是均匀的。

如果ρ是一次振动的振幅和其次一次振动的振幅之比，则有

而

如果三次经过是在时刻t₁ 、t₂ 、t₃ 被观察到的，我们就有

因此振动时间就是　　

下一次经过真实平衡点的时刻是

三次经过就足以确实这三个量，但是任何多次也可以用最小二乘法相合起来。例如，对于五次，就有

第三次经过的时刻是

739．〕　同样的方法可以扩大到一系列任何次数的振动。如果振动很迅速，以致无法记录每一次经过的时刻，我们就可以记录每三次或每五次的经过，但要注意使相继的经过是沿相反方向的。如果振动在一段长时间内保持为规则的，则我们在这整段时间内用不着进行观测。我们可以从观测足够多次的振动以从近似地确定振动时间T和经过中点的时刻P开始，这时要注意经过中点时是向右运动的还是向左运动的。然后我们就可以接着计数振动次数而不记录经过时刻，或是把观测停一段时间。然后我们就观测第二系列的中点经过，并推出振动时间T′和中点经过时刻P′，这时也要注意这种经过的方向。

如果由这两组观测结果推得的振动时间TT′接近相等，我们就可以开始通过两组观测结果的组合来进行周期的一种更精确的测定。

用T去除P′－P，商数应该很接近于一个整数，其为偶或为奇由经过P和P′为同向或为反向而定。如果情况并非如此，则那些观测结果是没有价值的。但是，如果结果很接近于一个整数n，我们就可以用n去除P′－P，于是我们就得到整段振动时间中的T的平均值。

740．〕　这样求得的振动时间T是实际的平均振动时间，它是应该加以改正的，如果我们想要由它推出沿无限小弧段的无阻尼振动的振动时间的话。

为了把观察到的时间折算成沿无限小弧段的振动时间，我们指出，在振幅为c处从静止到静止的振动时间通常形式如下：T＝T₁ （1＋κc² ），式中κ是一个系数，在普通摆的事例中它是 现在，相继的各次振动的振幅是c，cρ^-1 ，cρ^-2 ，…，cρ^1－n ，于是n次振动的总时间就是 式中T是由观测结果推得的振动时间。

由此可见，为了求得在无限小弧上的振动时间，我们近似地有

为了求出无阻尼时的振动时间T₀ ，我们由第731节有　　

741．〕　被｛一个正比于距离的力｝吸向一个固定点并受到一个正比于速度的阻力的物体的直线运动的方程是　　

式中x是物体在时刻t的坐标，而a是平衡点的坐标。

为了求解这一方程，令　　

于是就得到　　

此式的解是　　

x的值可以利用方程（2）而由y的值推得。当k小于ω时，运动是一系列常周期时间的无限多个振动，但其振幅是递减的。当k增大时，周期就变得更长，而振幅的减小也更快。

当k（阻力系数的二分之一）变得等于或大于ω（离平衡点单位距离处的加速度的平方根）时，运动就不再是振动性的，而是在整个的运动过程中物体只能经过一次平衡点，在此以后它就达到一个最大伸长位置，然后就向着平衡点运动回去，它不断接近平衡点，但永不达到该点。

电阻大得使它的运动属于这种运动的电流计，叫做不摆电流计。它们在许多实验中是有用的，而尤其在电报通信中是有用的；在电报通信中，自由振动的存在会完全掩盖了所要观察的运动。

不论k值和ω值是什么，平衡点的标尺读数a的值都可以利用公式

而根据按相等的时间间隔取得的五个标尺读数p、q、r、s、t来推出。

电流计的观测

742．〕　为了用一个正切电流计来测量一个常值电流，仪器被调得它的线圈平行于磁子午面，并记下零值读数。然后把电流送入线圈中，并观测对应于新的平衡位置的磁体偏转角。设用φ代表这个角。

于是，如果H是水平磁力，G是电流计的系数，而γ是电流的强度，则

如果悬丝的扭转系数是τMH（见第452节），则我们必须应用改正过的公式

偏转角的最佳值

743．〕　在某些电流计中，电流所通过的线圈匝数可以随意改变。在另一些电流计中，电流的一个已知分数可以用一个叫做“分流器”的导体而从电流计中引出。在其中任一种事例中，G的值，也就是单位电流对磁体的效应，都被弄成变化的了。

让我们确定一个G值，在那个值下，偏转角观测值中的一个给定误差将对应于推得的电流值中的最小误差。

求方程（1）的导数，我们就得到　　

由此即得　　

当γ值给定时，此式在偏转角为45°时有一个极大值。因此G的值应该加以调节，直到Gγ尽可能近似地等于H时为止；因此，对于强电流来说，不用太灵敏的电流计是更好一些的。

通入电流的最佳方法

744．〕　当观察者能够借助于一个开关而随时接通或开断电路时，最好适当地操作那个开关，以使磁体以尽可能小的速度到达它的平衡位置。下面的办法是由高斯针对这一目的而设计的。

假设磁体是处于平衡位置的，而且也不存在电流。现在观察者使电路接通一小会儿，于是磁体就被推得向着它的新平衡位置运动起来。然后他又断开电路。现在力就是指向原有的平衡位置的，而运动就受到阻碍。如果设法做到使磁体恰好在新平衡位置上达到静止，而观察者就在这一时刻接通电路且不再断开，磁体就将在它的新位置上保持静止。

如果我们忽略阻力的效应并且也忽略在新旧位置上作用着的总力之差，那么，既然我们希望新力在第一次作用中所产生的动能和原有力在电路开断时所消灭的动能一样多，我们就必须使电流的第一次作用延长到磁体已经运动了从第一个位置到第二个位置的距离的一半。然后，如果原有力是当磁体走过它的另一半路程时起作用的，该力就会正好使磁体停下来。现在，从一个最大伸长点运动到离平衡位置一半距离处所需的时间是从静止到静止的一个周期的三分之一。

因此，既已预先确定了从静止到静止的一次振动的时间，操作者就使电路接通一段等于这一时间的三分之一的时间，然后使电路断开同样一段时间，然后使电路在实验过程中保持接通。于是磁体或是静止，或是它的摆动如此之小，以致可以立刻记下观察结果而不必等候摆动停下来。为此目的可以把一个节拍器调得磁体每振动一下就打响三次。

当阻力较大而必须照顾到时，规则就复杂一点，但是在这种事例中，摆动会衰减得如此之快以致用不着对此规则进行什么改正。

当必须使磁体返回它的原始位置时，电路被断开一段等于三分之一周期的时间，然后接通一段相同的时间，而最后再断开。这就会使磁体在它的原有位置上处于静止。

如果在取得了正向观测结果以后必须立即取得反向静测结果，就可以把电路断开一段单次振动的时间然后使它反向。这就会使磁体在反向位置上达到静止。

利用第一次摆动来进行的测量

745．〕　当没有时间来进行多于一次的观测时，电流可以用在磁体的第一次摆动中观测到的最大伸长来量度。如果没有阻力，永久偏转角φ就是最大伸长的一半。如果阻力使一次振动和下一次振动之比成为ρ，而且θ₀ 是零值读数，而θ₁ 是第一次摆动中的最大伸长，则和平衡点相对应的偏转角φ是

用这种办法，偏转角可被算出而不必等着磁体在它的平衡位置上停下来。

进行一系列观测

746．〕　对一个常值电流进行相当多次测量的最好方法就是，先在电流沿正向流动时观测三个伸长值，然后使电路断开一段约为单独一次振动的时间，以便磁体摆回到负偏转的位置上，然后使电流反向并在负向一侧观测三个相继的伸长值，然后使电路断开一次单独振动的时间并在正值一侧重复这些观测，这样一直继续下去，直到获得了足够多的观察结果为止。用这种办法，可能起源于地磁力的方向在观测时间内的变化的那些误差就可以被消除。通过仔细地定时接通和定时开断电路，操作者很容易调节振动的程度，以使它们成为很小而并不模糊。磁体的运动如图98中的曲线所示，图中的横坐标表示时间而纵坐标表示磁体的偏转角。如果θ₁ ，…，θ₆ 是观测到的各伸长的代数值，则偏转角由下列方程给出：8φ＝θ₁ ＋2θ₂ ＋θ₃ －θ₄ －2θ₅ －θ₆ 。

图98

倍　增　法

747．〕　在电流计磁体的偏转角很小的一些事例中，也许值得建议的是按照适当的时间间隔来使电流反向以引起磁体的一种摆动，这样就能增大可以看到的效应。为此目的，在确定了磁体的单次振动｛即从静止点到静止点的一次振动｝的时间T以后，电流被沿方向送一段时间T，然后沿反方向送一段相同的时间，如此继续进行。当磁体的运动变成可见的时，我们可以按观察到的最大伸长时间来改换电流方向。

设磁体位于正伸长θ₀ ，并设电流被沿负方向送入线圈中。于是平衡点就是-φ，而磁体就会摆向一个负伸长θ₁ ，使得-ρ（φ＋θ₁ ）＝（θ₀ ＋φ），或者写成-ρθ₁ ＝θ₀ （ρ＋1）φ，

同理，如果现在把电流改为正向，而磁体摆往θ₂ ，则有ρθ₂ ＝-θ₁ ＋（ρ＋1）φ，或者写成ρ² θ₂ ＝θ₀ ＋（ρ＋1）² φ；而如果电流往返地改向n次，我们就得到 由此我们就得到φ的形式如下：

如果n是一个很大的数以致ρ^-n 可以忽略不计，则表示式变成

这一方法对精确测量的应用，要求关于ρ的准确知识，而ρ就是磁体在所受阻力的影响下的一次振动和下一次振动的比值。不准量起源于一个事实，那就是避免ρ值之不规则的困难一般会大于大角度伸长的好处。只有当我们希望通过使一个很小的电流引起磁针的可见运动来确证该电流的存在时，这个方法才是真正有价值的。

关于瞬变电流的测量

748．〕　当一个电流的持续时间只是电流计磁体的振动时间的一个很小的分数时，电流所输送的总电量就可以用在通电时间之内传给磁体的一个角速度来量度，而这个角速度可以根据磁体第一次振动的伸长来确定。

如果我们忽略阻滞磁体振动的阻力，讨论就会变得很简单。

设γ是任一时刻的电流强度，而Q是该电流所输送的电量，则有

设M是悬挂磁体的磁矩，A是它的惯量矩，而θ是磁体和线圈平面所成的角，则

如果电流通过的时间很短，我们可以在这段时间内在t积分而不必照顾θ的变化，于是我们就得到　　

这就表明，电量Q的通过在磁体上产生一个角动量MGQcosθ₀ ，式中θ₀ 是θ在电流通过的那一瞬间的值。如果磁体起初是处于平衡的，我们就可以令θ₀ ＝0，C＝0。

于是磁体就自由摆动并达到一个伸长θ₁ 。如果没有阻力，在摆动过程中反抗磁力而做的功就是MH（1－cosθ₁ ）。

电流向磁体传送的能量是　　

使二量相等，我们就得到　　

由此即得　　

但是，如果T是磁体从静止点到静止点而振动一次所用的时间，则有

从而我们就有　　

式中H是水平磁力，G是电流计系数、T是单独一次振动的时间，而θ₁ 是磁体振动的第一伸长。

749．〕　在许多实际的实验中，伸长是一个很小的角，从而就很容易照顾到阻力的效应，因为我们可以把运动方程当成一个线性方程来处理。

设磁体静止在它的平衡位置上，设在一瞬间内向它传送了一个角速度v，并设它的第一伸长是θ₁ 。

运动方程是　　

当t＝0时，θ＝0而

当 时，

由此即得　　

现在，由第741节就有　　

而由方程（5）就有　　

由此即得　　

此二式作为瞬变电流之电量的函数而给出第一伸长，并相反地作为第一伸长的函数而给出瞬变电流的电量，式中T₁ 是观测到的在实际阻尼力影响下的单独一次振动的时间。当λ很小时我们可以使用近似公式

反　冲　法

750．〕　上述方法假设了当瞬变电流通过线圈时磁体是静止在它的平衡位置上的。如果我们想要重作实验，那就必须等到磁体又静止下来时才行。然而，在某些事例中，我们能够得到一些强度相等的瞬变电流，而且随便在什么时刻都能得到；在这样的事例中，由韦伯 ^〔81〕 描述了的下述方法，就在进行一系列连续不断的观测方面是最为方便的。

假设我们利用一个其值为Q₀ 的瞬变电流来使磁体摆动起来。如果我们为了简单而写出　　

则第一伸长是　　

在开始的一瞬间传给磁体的速度是　　

当它返回头来沿负方向通过平衡点时，它的速度将是　　

其次一个负伸长将是　　

当磁体回到平衡点时，它的速度将是　　

现在，当磁体位于零点时，把一个总量为-Q的瞬变电流送入线圈中。它将使速度v₂ 变成v₂ －v，此处　　

如果Q大于Q₀ e^-2λ ，则新的速度将是负的，并等于　　

于是磁体的运动就会反向，而其次一个伸长就将是负的

然后让磁体达到它的正伸长　　

而当它再次回到平衡点时又把一个其量为Q的正电流送入线圈中去。这就会把磁体推回正方向而达到正伸长　　

或者，把这个伸长称为第二组四个伸长中的第二伸长，就有

如此进行下去，通过观测两个伸长+和-，然后送入一个负电流并观测两个伸长-和+，然后送入一个正电流，依此类推，我们就得到一系列每组四个的伸长，其中

而　　

如果观测了n个伸长系列，我们就可以由方程　　 求出对数减缩，并由方程

求出Q。

磁体在反冲法中的运动如图99中的曲线所示；图中的横坐标表示时间，而纵坐标表示磁体在相应时刻的偏转角。请参阅第760节。

图99

倍　增　法

751．〕　 如果每当磁体经过零点时我们就通入瞬变电流，而且总是使它增大磁体的速度，则逐次的伸长Q₁ 、Q₂ 等等将是　　

多次振动以后伸长所趋向的极限值，通过令θ_n ＝-θ_n－1 来求出，由此我们就得到

如果λ很小，终极伸长的值可以是大的，但是，既然这就涉及一种持续很久的实验，而且涉及λ的细心测定，而且λ中的很小误差会引起Q的测定中的很大误差，这种方法在数值测定中就很少有用，而必须保留着用来获得关于小得无法直接观察的电流的存在与否的证据。

在使瞬变电流对电流计中的运动磁体发生作用的一切实验中，重要的一点都在于，全部的电流都应该当磁体离零点的距离只是总伸长的一个很小的分数时通过。因此，振动时间应该比产生电流所需要的时间长得多，而操作者应该注视磁体的运动，以便根据磁体经过其平衡点的时刻来控制电流通过的时刻。

为了估计操作员未能准时产生电流而造成的误差，我们指出，一个冲量在增大伸长方面的效应正比于　　　　e^φtanβ cos（φ＋β） ^〔82〕 ，

而且当φ＝0时此式有极大值。因此，由电流的取值有误而引起的误差总是导致对电流值的低估，而误差的大小则可按照电流通过时振动周相的正弦和1之比来加以估计。

第五十章　线圈的比较

一个线圈的电学常量的实验测定

752．〕　我们在第717节中已经看到，在一个灵敏电流计中，线圈应该有很小的半径和许多匝导线。即使我们可以接近每一匝导线以便测量它，通过直接测量这样一个线圈的形状和尺寸来确定它的电学常量也将是极其困难的。但是，事实上，不仅多数线匝都被外面各匝所掩盖，而且我们在导线绕好以后也不能肯定外边各匝的压力会不会已经改变了内部各匝的形状。

因此，更好的办法就是通过和其常量为已知的标准线圈进行直接的电学对比来测定一个线圈的电学常量。

既然标准线圈的尺寸必须通过实际测量来确定，这种线圈就必须做得相当大，以便它的直径或周长的测量中的不可避免的误差可以和所测的量比起来尽可能小。绕制线圈的沟槽应该具有长方形的截面，而且截面的线度和线圈的半径相比应该很小。这一点之所以必要，不仅是为了减小因截面大小而作的改正，而更重要的是为了避免被外面各匝遮盖住的那些线匝的位置上的不确定性。 ^〔83〕

我们想要测定的主要常量是：

（1）由单位电流引起的线圈中心上的磁力。这就是在第700节中用G₁ 来代表的那个量。

（2）由单位电流引起的线圈的磁矩。这就是量g₁ 。

753．〕　测定G₁ 。既然工作电流计的线圈比标准线圈小得多，我们就把电流计放在标准线圈的内部，使它们的中心互相重合，两个线圈的平面都是竖直的和平行于地磁力的。于是我们就得到一个差绕电流计，它的一个线圈是G₁ 值已知的标准线圈，而另一个线圈则是我们想要测定其常量G′₁ 的那个线圈。

悬挂在电流计线圈中心的磁体是同时受到这两个线圈中的电流的作用的。如果标准线圈中电流的强度是r，而电流计线圈中电流的强度是γ′，那么，如果这些沿相反方向流动的电流引起磁体的一个偏转角δ，则有

式中H是地球的水平磁力。

如果两个电流被安排得并不引起任何偏转角，我们就可以用方程 来求得 我们可以用好几种方法来确定γ和γ′的比值。既然电流计的G₁ 值通常是大于标准线圈的G₁ 值的，我们就可以适当地安排电路，使得总电流先通过标准线圈，然后被分流，其中一部分γ′通过组合电阻为R₁ 的电流计和电阻线圈，而其余的部分γ－γ′则通过组合电阻为R₂ 的另一组电阻线圈。

于是我们由第276节就得到　　

或者写成　　

从而就有　　

如果在电流计线圈的实际电阻方面有任何不确定处（例如由于温度不确定），我们就可以给它增加一些电阻线圈，以使电流计本身的电阻只占R₁ 的一个很小部分，从而就在最后的结果中只引起很小的不确定性。

754．〕　测定g₁ ，g₁ 就是由通过一个小线圈的单位电流所引起的该线圈的磁矩。为了测定g₁ ，磁体仍然悬挂在标准线圈的中心，但是小线圈却沿着两个线圈的公共轴线而被平行移开，直到在两个线圈中沿相反方向运行的电流不再引起磁体的偏转时为止。现在，如果二线圈的中心之间的距离是r，我们就有（第700节）

通过在标准线圈两侧用小线圈重复进行实验，并测量小线圈的两个位置之间的距离，我们就可以消除测定磁体中心和小线圈中心的位置时的不确定的误差，而且也可以排除g₂ 、g₄ 等等。

如果标准线圈经过适当的安排，以致我们可以使电流只通过它的半数的线圈以得出一个不同的G₁ 值，那么我们就可以确定一个新的r值，而这样一来，正如在第454节中一样，我们就可以消去含g₃ 的项。

然而，也常常可能通过足够精确地直接测量小线圈来测定g₃ ，以便在计算对g₁ 的改正量时用于下列方程中　　

式中由第700节有　　

感应系数的比较

755．〕　只有在少数的事例中，由电路的形状和位置来直接计算感应系数才是容易完成的。为了达到足够的精确度，电路之间的距离必须是可以精确测量的。但是，当电路之间的距离大得足以防止测量上的误差会引起结果方面的很大误差时，感应系数本身必然就会在量值上大为减小。现在，对许多实验来说，把感应系数弄得较大是必要的，而我们只能通过使电路互相靠得更近来做到这一点，这时直接测量的方法就会变成不可能的了，从而，为了确定感应系数，我们就必须把它和一对线圈的感应系数进行对比，那一对线圈安排得恰好，从而它们的感应系数可以通过直接测量和计算来求得。

这种对比可以进行如下：

设A和a是标准的一对线圈，B和b是要和它们进行对比的线圈。把A和B接成一个电路，并把电流计G的电极接在P和Q上，使得PAQ的电阻是R而QBP的电阻是S，而K是电流计的电阻。把a和b以及电池接成一个电路。

图100

设A中的电流是 B中的电流是 电流计中的电流是 而电池电路中的电流是γ。

于是，如果M₁ 是A和a之间的感应系数，而M₂ 是B和b之间的感应系数，则当开断电池电路时通过电流计的积分感应电流是　　

调节电阻R和S直到当电池电路接通或开断时没有电流经过电流计时为止，M₂ 和M₁ 之比就可以通过S和R之比来确定。

^〔84〕 ［表示式（1）可以证明如下：设L₁ 、L₂ 、N和Γ分别是线圈A、B、ab和电流计的自感系数。于是体系的动能T就近似地是

耗散函数F，也就是电流加热线圈时的能量消耗率的一半，等于（见Lord Rayleigh's Theory of Sound, vol. i. p. 78） 式中Q是电池及电池线圈的电阻。

于是和任一变量x相对应的电流方程就有如下的形式： 式中ξ是对应的电动势。

由此我们就得到　　

这些方程可以立即对t积分。注意到x、 、y、 、γ的初始值是零，如果写出x－y＝z，我们就在消去y后得到一个如下形式的方程：　　

接通电池以后不久，电流就会变成恒稳的，而电流 就会消失，由此即得Cz＝Eγ。

这就给出上面的表示式（1），而且它表明，当通过电流计的总电量为零时，我们必有E＝0或M₂ R－M₁ S＝0。方程（1′）也表明，如果电流计中根本没有任何电流，我们就必有D＝0或M₂ L₁ －M₁ L₂ ＝0。］ ^〔85〕

一个自感系数和一个互感系数的对比

756．〕　设把一个线圈接在惠斯登电桥的支路AF上，而线圈的自感系数就是我们所要测出的。让我们用L来代表这个自感系数。

图101

在A和电池之间的连线上接上另一个线圈。这个线圈和AF上的线圈之间的互感系数是M。它可以用第755节所描述的方法来测量。

如果从A到F的电流是x，从A到H的电流是y，则从Z通过B而到A的电流将是x＋y。从A到F的外电动势是

沿AH的外电动势是　　

如果接在F和H之间的电流计并不指示任何瞬变的或持久的电流，既然H－F＝0，由（1）和（2）就得到

从而　　

由此即得　　

既然L永远是正的，M就必然是负的，从而电流必然沿相反的方向通过接在P上和接在B上的线圈。在作实验时，我们有两种办法可供选择。我们在开始时可以先调节各个电阻，使得　　　

这就是不存在持久电流的条件；然后我们就调节线圈之间的距离，直到在接通和开断电池的连接时电流计不再指示一个瞬变电流为止。另一方面，如果这一距离是不能调节的，我们就可以通过适当改变电阻Q和S而使它们的比值保持不变来消除瞬变电流。

如果发现这种双重调节太麻烦，我们就可以采用第三种方法。在开始时可以把装置安排得由自感引起的瞬变电流稍大于由互感引起的瞬变电流，然后我们就可以通过在A、Z之间插入一个电阻为W的导体来消除不相等性。没有持久电流通过电流计的条件并不会因为W的引入而有所改变。因此我们就可以通过只调节W的电阻来消除瞬变电流。当这一点已经做到时，L的值就是　　

两个线圈的自感系数的对比

757．〕　把两个线圈接在惠斯登电桥的两个相邻的支路上。设L和N分别是接在P上和接在R上的线圈的自感系数，则图101中没有电流计电流的条件就是

由此即得　　

由此可见，通过电阻的适当调节，持久电流和瞬变电流都可以被消除，然后L和N之比就可以通过电阻的比较来确定。

第十七章附录

测量一个线圈的自感系数的方法，在采自麦克斯韦关于电磁场的动力学理论的论文的下述节录中有所描述。该论文见Phil. Trans. 155, pp. 475～477.

〈论用一个电秤来测定感应系数〉

图102

电秤包括把四个点A、C、D、E两两相连的六个导体。

其中一对点AC是通过一个电池B而互相连接的。相对的一对点DE是通过一个电流计G而互相连接的。于是，如果其余四个导体的电阻用P、Q、R、S来代表，而它们中的电流用x、x－z、y、y＋z来代表，则通过G的电流将是z。设各点的电势是A、C、D、E。于是恒稳电流的条件可由下列各方程求出：

对z求解这些方程，我们就得到

在这一表示式中，F是电池的电动势；z是电流达到稳定时通过电流计的电流；P、Q、R、S是四个臂的电阻；B是电池和电极的电阻；G是电流计的电阻。

（44）　如果PS＝QR，则z＝0，从而就不会有恒稳电流通过电流计，而只有当电路接通或开断时由于感应而产生的瞬变电流才能通过它，而且电流计的示数就可能用来确定感应系数，如果我们理解所发生的作用的话。

我们将假设PS＝QR，于是当过了足够的时间以后电流z就将变为零，并有

设P、Q、R、S之间的感应系数由下表给出：P对自己的感应系数是p，P和Q之间的感应系数是h，余类推。

设g是电流计对它自己的感应系数，并设它不受P、Q、R、S的影响（因为必须如此，以避免P、Q、R、S对指针的直接作用）。设X、Y、Z是x、y、z对t的积分。当刚刚接通电路时，x、y、z是零。过了一段时间，z变为零，而x和y达到常值。因此，每一个导体的方程就将是

GZ＝∫Ddt－∫Edt。

解这些方程以求Z，我们就得到

现在设由强度｛总电量｝为Z的瞬时电流所引起的电流计偏转角为α。

设当PS和QR之比不是1而是ρ时所引起的持久偏转角为Q。

另外再设电流计指针从静止点到静止点的振动时间为T。于是，令

我们就得到　　

当用实验来测定τ时，最好利用金肯先生在1863年向大英协会提交的报告中所描述的装置来改变一个臂的电阻；利用这种装置，从1到1.01的任意ρ值都可以精确地量出。

我们先观察｛α｝，即当电流计接在电路中而各电阻已调节得不会给出持久电流，当接通电流时由感应脉冲而引起的最大偏转角｛摆幅｝。

然后我们观察｛β｝，即当一个臂的电阻按ρ比1的比例增大时由持久电流引起的最大偏转角｛摆幅｝，电流计起初不接通，直到电池已接通一会儿以后才接通。

为了消除空气阻力的影响，最好改变ρ直到近似地有β＝2α为止。这时就有

如果除P以外电秤各臂都是一些用在绕制以前双折起来的不太长的很细导线绕成的电阻线圈，则属于这些线圈的感应系数将可忽略不计，从而τ就将简化为p/P。因此，电秤就给我们提供了一种手段，来测量其电阻为已知的任意电路的自感。

第五十一章　电阻的电磁单位

用电磁单位来测量一个线圈的电阻

758．〕　一个导体的电阻定义为电动势的数值和它在导体中产生的电流的数值之比。当我们知道了地球磁力的值时，以电磁单位计的电流值的测定可以利用一个标准电流计来进行。电动势值的测定更加困难一些，因为我们可以直接计算它的值的唯一事例就是当电动势起源于电路对一个已知磁体系的相对运动时的那个事例。

759．〕　按电磁单位来对一根导线的电阻进行的最初测定，是由基尔霍夫 ^〔86〕 作出的。他使用了两个形状已知的线圈A₁ 和A₂ ，并根据有关各线圈之形状和位置的几何数据算出了它们的互感系数。这些线圈和一个电流计G以及一个电池B接成一个电路，而电路的两点，即二线圈之间的点P和电池与电流计之间的点Q，则用要测量它的电阻R的那条导线连接了起来。

图103

当电流稳定时，它就分流在导线电路中和电流计电路中，并引起电流计的某一持久偏转角。如果现在线圈A₁ 被从A₂ 很快地取走并被放在一个A₁ 和A₂ 之间的互感系数为零的位置上（第538节），则在两个电路中都会引起一个感生电流，而电流计指针就受到一个冲击，这个冲击就引起某一瞬变偏转角 ^〔87〕 。

导线的电阻R根据由恒稳电流所引起的持久偏转角和由感生电流所引起的瞬变偏转角的比较来推出。

设QGA₁ P的电阻为K，PA₂ BQ的电阻为B，而PQ的电阻为R。

设L、M和N 是 A₁ 和A₂ 的感应系数。

设 是G中的电流， 是B中的电流，则从P到Q的电流是

设E为电池的电动势，于是就有　　

当各电流为常值而一切物体都静止时，　　

如果现在M由于A₁ 和A₂ 的分离而突然变为零，则对t积分，就得到

由此即得　　

按照（3）将 值用 表示出来并代入，就有

当像在基尔霍夫的实验中一样B和K都比R大得多时，这一方程就简化为

在这些量中，x可以根据由感应电流引起的电流计摆幅来求出。请参阅第748节。持久电流 可以根据由恒稳电流引起的持久偏转角来求出，见第746节。M或是通过按几何数据而直接算出，或是通过和已经作过这种计算的一对线圈相对比来求出，见第755节。根据这三个量，R就可以按电磁单位而被确定。

这些方法都涉及电流计磁体的振动周期的测定，以及该磁体的振动的对数减缩的规定。

韦伯的瞬变电流法 ^〔88〕

760．〕　一个颇大的线圈被装在一个轴上，可以绕着它的一个竖直的直径而转动。线圈的导线和一个正切电流计的线圈相连接而成为一个单一的电路。设这个线圈的电阻是R。把大线圈放好，使它的正面垂直于磁子午面，然后使它很快地转动半周。这时将出现由地球磁力所引起的感生电流，而以电磁单位计，这个电流中的总量将是

式中g₁ 是单位电流下的线圈磁矩；在一个大线圈的事例中，这个量可以通过测量线圈的尺寸并计算各线匝的面积之和来直接确定。H是地磁的水平分量，R是由线圈和电流计一起组成的电路的电阻。这个电流会使电流计的磁体运动起来。

如果磁体起初是静止的，而且线圈的运动只占磁体振动时间的一个小分数，那么，如果忽略对磁体运动的阻力，我们由第748节就得到　　

式中G是电流计的常量，T是磁体的振动时间，而θ是观察到的伸长。我们由这些量就得到　　

H的值并不出现于这一结果中，如果它在线圈的位置上和在电流计的位置上是相同的话。这里不应该假设情况正是如此，而必须通过比较同一磁体在不同地方的振动时间来加以检验；磁体先放在其中一个位置上，然后又放在另一个位置上。

761．〕　为了进行一系列观测，韦伯是从使线圈平行于子午线开始的。然后他把线圈转到北面朝向北方，并观察了由负电流引起的第一伸长。然后他观察了自由摆动磁体的第二伸长，而当磁体回到平衡点时把线圈转得正面朝向了南方。这就使磁体反冲到了正侧。这个系列继续进行，正如在第750节中一样，而且也对结果进行了阻力方面的改正。用这种办法，就确定了线圈和电流计的组合电路的电阻。

在所有这样的实验中，为了得到足够大的偏转角，必须用铜来做导线，而铜这种金属虽然是最好的导体，但却有一种缺点，那就是它的电阻会随温度的变化而发生颇大的变化。因此，为了从这种实验得出具有永久价值的结果，实验电路的电阻必须在实验之前和之后都和一个精心制造的电阻线圈的电阻进行比较。

韦伯的观察磁体振动之减缩的方法

762．〕　一个磁矩颇大的磁体被挂在电流计线圈的中心上。对振动的周期和对数减缩进行了观测，起初是当电流计线路断开时，然后是在线路闭合时，而电流计线圈的电导则根据磁体的运动所引起的感生电流在阻滞运动方面的效应推导了出来。

如果T是观测到的单次振动的时间，而λ是每单次振动的自然对数减缩，那么，如果我们写出　　

则磁体的运动函数将具有下列的形式：　　

这就表示了通过观测而定出的运动的本性。我们必须把此式和动力学运动方程进行比较。

设M是电流计线圈和悬挂磁体之间的感应系数。它具有下列的形式：

式中G₁ 、G₂ 等等是属于线圈的系数，g₁ 、g₂ 等等是属于磁体的系数，而P₁ （θ）、P₂ （θ）等等是线圈和磁体的轴线夹角的带谐函数。请参阅第700节。通过适当安排电流计的线圈，并通过把若干个磁体按适当距离并排起来以构成悬挂的磁体，我们可以使M中第一项以后的所有各项和第一项相比都成为微不足道。如果再令 我们就可以写出

式中G（＝G₁ ）是电流计的主系数，m是磁体的磁矩，而φ是磁体轴线和线圈平面之间的夹角，它在这一实验中永远是一个小角。

设L是线圈的自感系数，R是它的电阻，而γ是线圈中的电流，则有

或者写成　　

电流γ作用在磁体上的力矩是 或者说是Gmγcosφ。在这个实验中，角φ是如此之小，以致我们可以假设cosφ＝1。

让我们假设，当电路被开断时，磁体的运动方程是　　

式中A是悬挂仪器的磁矩，B 代表由空气黏滞性和悬丝黏滞性等等所引起的阻力，而Gφ代表起源于地磁、悬挂仪器的扭转等等的倾向于把磁体带到它的平衡位置去的力矩。

受到电流影响的运动方程将是　　

为了确定磁体的运动，我们必须把此式和（7）式结合起来以消去γ。结果就是

这是一个三阶的线性微分方程。

然而我们却没有任何求解这一方程的必要，因为问题的数据是观测到的磁体运动的要素，而我们必须根据这些要素来求R的值。

设α₀ 和ω₀ 是当电路被开断时方程（3）中的α值和ω值。在这一事例中，R是无限大而方程（10）简化成（8）的形式。于是我们就有

解方程（10）而求R，并写出　　

我们就得到　　

既然ω的值通常是比α的值大得多的，最好的R值就可以通过令含iω的项相等来求出，　　

我们也可以通过令不含i的项相等来求得一个R值，但是由于这些项很小，这一方程只有在作为检验观测精确度的一种手段方面才是有用的。我们由这些方程得到下列的检验方程：

既然LAω² 和G² m² 相比是很小的，这一方程就给出　　

而方程（14）就可以写成　　

在这个表示式中，G或是通过电流计线圈的线度测量来确定，或是更好地按照第753节的方法通过和一个标准线圈相对比来确定。A是磁体及其悬挂仪器的惯量矩，必须用适当的动力学方法来求出。ω、ω₀ 、α和α₀ 通过观测来得出。

悬挂磁体的磁矩m的值的测定，是这种研究的最困难的部分，因为它受到温度的影响、地磁力的影响和机械磕碰的影响，从而在当磁体处于和它在振动时相同的情况下时来测量这个量就必须十分小心。

R中包含L₁ 的那个第二项是重要性较小的，因为它通常和第一项相比是很小的。L₁ 的值可以或是根据已知的线圈形状来计算，或是通过一个关于附加感应电流的实验来测定。请参阅第756节。

汤姆孙的旋转线圈法

763．〕　这种方法是由汤姆孙向大英协会的电学标准委员会提出的，实验由巴耳德·斯提瓦特、弗里明·金肯和本书作者于1863年作出 ^〔89〕 。

一个圆形线圈被弄得以均匀速度绕着一条竖直轴线转动起来。一个小磁体被一根丝线挂在线圈的中心。地磁和悬挂磁体都在线圈中引起感生电流。电流是交变的，在转动的不同阶段在导线中沿相反的方向运行，但是电流对悬挂磁体的效应却总是引起一个从地磁子午面向线圈转动方向的偏转。

764．〕　设H是地磁的水平分量，

设γ是线圈中电流的强度，

g是一切线匝所包围的总面积，

G是由单位电流所引起的线圈中心上的磁力，

L是线圈的自感系数，

M是悬挂磁体的磁矩，

θ是线圈平面和磁子午面之间的夹角，

φ是悬挂磁体的轴线和磁子午面之间的夹角，

A是悬挂磁体的磁矩，

MHτ是悬丝的扭转系数，

α是磁体在没有扭力时的方位角，

R是线圈的电阻。

体系的动能是　　

第一项 表示依赖于线圈本身的电流能量；第二项依赖于电流和地磁的相互作用；第三项依赖于电流和悬挂磁体之磁性的相互作用；第四项依赖于悬挂磁体之磁性和地磁的相互作用；而最后一项则代表构成磁体以及和它一起运动的悬挂仪器的那些物质的动能。

由悬丝的扭力引起的悬挂仪器的势能｛的可变部分｝是　　

电流的电磁动量是　　

而如果R是线圈的电阻，则电流的方程是　　

或者，既然　　

就有　　

765．〕　理论和实验的结果都是，磁体的主位角φ遭受到两种周期振动。其中一种是自由振动，其振动周期依赖于地磁的强度，在实验上是几秒。另一种是受迫振动，其周期是转动线圈的周期的一半，而其振幅则正如我们即将看到的那样是不可觉察的。因此，在测定γ时，我们可以认为γ实际上是不变的。

于是我们就得到　　

当转动保持均匀时，这个表示式的最后一项很快就会消失。

悬挂磁体的运动方程是　　

由此即得　　

把γ的值代入并按照θ倍数的方程整理各项，于是我们根据观测就知道

式中φ₀ 是φ的平均值，第二项代表逐渐衰减的自由运动，而第三项则代表由致偏电流的变化所引起的受迫振动。

从（11）中不含θ而必须集体等于零的各项开始，我们就近似地得到

既然Ltanφ₀ 和Gg相比通常是很小的｛GMsecφ和gH相比亦然｝，二次方程（13）的解就近似地给出　　

如果我们现在应用方程（7）、（8）和（11）中的主导项 ^〔90〕 ，我们就将发现方程（12）中的n值是 受迫振动的振幅c的值是 由此可见，当线圈在磁体的一次自由振动期间转动许多周时，磁体受迫振动的振幅就是很小的，从而我们就可以略去（11）中含c的各项。

766．〕　于是，在电磁单位制中，电阻就可以通过速度ω和偏转角φ来确定。没有必要测定水平地磁力H，如果它在实验过程中保持不变的话。

为了测定 我们必须像在第454节中描述过的那样利用悬挂磁体来引起磁强计的偏转。在实验中，M应该很小，以便这一改正量只具有次要的意义。

关于这一实验所需要的其他改正量，请参阅Report of the British Association for 1863, p. 168.

焦耳的量热法

767．〕　由第242节中的焦耳定律可知，一个电流γ在通过一个电阻为R的导体时所产生的热量是　　

式中J是所用的单位热量的力学单位当量。

由此可见，如果R在实验过程中保持不变，则它的值是　　

这种测定R的方法涉及电流在一段给定时间内产生的热量h的测定，以及电流强度的平方r² 的测定。

在焦耳的实验中 ^〔91〕 ，h是通过导线所浸入于其中的一个容器中水的温度的升高来测定的。通过在导线中不通入电流时的另一些实验，对结果进行了有关辐射效应等等的改正。

电流的强度是用一个正切电流计来测量的。这种方法涉及地磁强度的测定，那是用在第457节中描述过的方法来进行的。这些测量结果也用第726节所描述的电秤来进行了检验，那种电秤是直接测量γ² 的。然而，测量∫γ² dt的最直接的方法却是把电流通入一个带有给出正比于γ² 的读数的刻度盘的自动力测电流计（第725节）中，并按相等的时间间隔来进行观测，这可以通过在整个的实验过程中在仪器每一次振动的最远点上进行读数来近似地做到 ^〔92〕 。

第五十二章　 静电单位和电磁单位的比较

电量的一个电磁单位所含静电单位的数目的测定

768．〕　两种单位制中各电学单位的绝对大小，都依赖于我们所采用的长度、时间和质量的单位，而且它们依赖于这些单位的方式在两种单位制中是不同的，因此，按照长度和时间的单位的不同，电学单位的比值也将用不同的数字来表示。

由第628节中的量纲表可以看出，电量的一个电磁单位所含静电单位的数目，和我们采用的长度单位的大小成反比而和所用时间单位的大小成正比。

因此，如果我们确定一个在数值上用这个数目来表示的速度，则即使当我们采用新的长度单位和时间单位时，表示这一速度的那个数目也将仍然是按照新的测量单位制来看的电量的一个电磁单位所含静电单位的倍数。

因此，指示着静电现象和电磁现象之间的关系的这个速度，就是一个有着确定大小的自然量，而这个量的测量就是电学中的最重要研究之一。

为了证明我们所要寻求的量确实是一个速度，我们可以指出，在两个平行电流的事例中，其中一个电流的一个长度a所受到的吸引力按照第686节是 式中C、C′是以电磁单位计的电流的数值，而b是它们之间的距离。如果我们令b＝2a，就有F＝CC′。

现在，电流C在时间t内传送的电是Ct个电磁单位，或者说是nCt个静电单位，如果n是一个电磁单位所含静电单位的倍数的话。

设两个小导体被充上了这两个电流在时间t内所传送的电量，并把它们放在相距为r的位置上。它们之间的推斥力将是

设适当选择距离r，使得这个推斥力等于电流的吸引力，于是就有 由此即得r＝nt；或者说，距离r必须按速度n而随着时间t来增大。由此可见，n是一个速度，它的绝对量值是相同的，不论我们采用什么单位。

769．〕　为了得到有关这一速度的物理观念，让我们想象一个充电到静电面密度σ并在自己的平面内以速度v而运动的平表面。运动的带电表面将是和一个电流层相等价的；通过单位表面宽度的电流强度，以静电单位计是σv，而以电磁单位计是 如果n是一个电磁单位所含的静电单位的倍数的话。如果平行于第一个表面的另一个平表面被充电到面密度σ′并沿相同的方向以速度v′而运动，它就将和第二个电流层相等价。

由第124节可知，对相对着的两个表面上的单位面积来说，两个带电表面之间的静电推斥力是2πσσ′。由第653节可知，对单位面积来说，两个电流层之间的电磁吸引力是2πuu′，此处u和u′是从电磁单位计的电流的面密度。但是 而 从而吸引力就是

吸引力和推斥力之比，等于vv′和n² 之比。由此可见，既然吸引力和推斥力是种类相同的量，n就必然是一个和v种类相同的量，就是说它必然是一个速度。如果我们现在假设每一个运动平面的速度都等于n，吸引力就将等于推斥力，从而平面之间就将没有任何的机械作用力。因此我们就可以把电学单位之比定义为一个这样的速度：当以这个速度沿相同的方向运动时，两个带电表面之间没有相互作用力。既然这个速度约为300000千米每秒，进行上述这样的实验就是不可能的。

770．〕　如果电荷面密度和速度都可以被弄得很大，以致磁力成为一个可测量的量，我们就至少可以验证我们的假设，即运动的带电体和电流相等价。

我们可以假设 ^〔93〕 ，空气中的一个带电表面当电力2πσ达到130这个值时就开始通过火花而放电。由电流层引起的磁力是 在英国，水平磁力约为0.175。因此，一个充电到最高程度并以100米每秒的速度运动着的表面将对一个磁体作用一个约为地球水平磁力的四千分之一的力，这是一个可以测量的量。带电表面可以是一个在磁子午面内转动着的非导体圆盘的表面，磁体可以放在靠近圆盘的上升部分或下降部分的地方，并用一个金属屏来屏蔽圆盘的静电作用。我不知道这个实验迄今是否有人做过 ^〔94〕 。

电量单位的比较

771．〕　既然电量的电磁单位和静电单位之比是用一个速度来表示的，我们在以后就将用一个符号v来代表它。这一速度的最初的数值测量是由韦伯和考耳劳什作出的 ^〔95〕 。

他们的方法依据的是同一个电量的测量，先用静电单位然后用电磁单位来测量。

所测量的电量是一个莱顿瓶的电荷。它是作为瓶的电容和它的两板之间电势差的乘积而用静电单位测量的。瓶的电容通过和一个挂在远离一切物体的开阔空间中的球的电容相对比来加以测定。这样一个球的电容在静电单位制中是用它的半径来表示的。于是瓶的电容就可以作为某一长度而被求出来和表示出来。请参阅第227节。

瓶的两板之间的电势差通过把两板接在一个静电计的两极上来测量；静电计的常量已经很仔细地测定过，从而电势差E就是在静电单位下被得知的了。

通过把这个电势差乘以瓶的电容c，瓶的电荷就用静电单位表示了出来。

为了用电磁单位来测定电荷的值，通过一个电流计的线圈来把莱顿瓶放了电。瞬变电流对电流计磁体的效应使磁体得到一定的角速度。于是磁体就向某一偏转角摆过去，而在那个偏转角上它的速度将被地磁的反向作用所完全消除。

通过观测磁体的最大偏转角，放电中的电量就可以像在第748节中一样按照公式

而用电磁单位测定出来，式中Q是以电磁单位计的电量。因此我们必须测定下列各量：

H，地磁水平分量的强度；见第456节。

G，电流计的主常量；见第700节。

T，磁体单次振动的时间。

θ，由瞬变电流引起的偏转角。

由韦伯先生和考耳劳什先生求得的v值是v＝310740000米每秒。

固体电介质的那种曾被称为“电吹收”的性质，使人们很难正确地估计莱顿瓶的电容。表观的电容随着从瓶的充电或放电到电势的测量之间的时间而变，过的时间越长则求得的瓶的电容值越大。

因此，既然求得静电计的一个读数所需的时间和通过电流计进行放电所经过的时间相比是很长的，那么按静电单位进行的对放电的估计就或许偏高，从而由此导出的v值也或许偏大。

表示为一个电阻的“v”

772．〕　另外两种测定v的方法导致一个用某一给定导体的电阻来表示v值的表示式；在电磁单位制中，电阻也是被表示为一个速度的。

在威廉·汤姆孙的实验形式下，让一个电流通过了一根电阻很大的导线。促使电流通过导线的电动势通过把导线的两端接在一个绝对静电计的两极上而静电地加以测量，见第217、218节。导线中电流的强度用电流所通过的一个力测电流计的悬挂线圈的偏转角来用电磁单位加以测量，见第725节。电路的电阻通过和一个标准线圈或标准欧姆相比较而在电磁单位下成为已知。通过把电流强度乘以这个电阻，我们就得到以电磁单位计的电动势，而通过把这个值和以静电单位计的值相比较，就能得到v的值。

这种方法要求分别利用静电计和力测电流计来同时测定两个力，而出现在结果中的只是这两个力的比值。

773．〕　在另一种方法中，这些力不是分别被测量而是直接互相反向；这种方法是由本书作者所应用了的。大电阻线圈的两端被接在两个平行的圆盘上，其中一个圆盘可以活动。使电流通过大电阻的同一电动势也在圆盘之间产生一个吸引力。与此同时，在实际的实验中和原电流不同的一个电流被送入两个线圈中，其中一个线圈和固定圆盘的背面相接，而另一个则和活动圆盘的背面相接。电流在这些线圈中沿相反的方向流动，从而它们是互相推斥的。通过调节两个圆盘的距离，吸引力就准确地被推斥力所平衡，而与此同时，另一个观测者就用一个带分流器的差绕电流计来测定原电流和副电流的比值。

在这一实验中，必须涉及一种物质标准的唯一测量就是那个大电阻的测量，它必须通过和标准欧姆相比较来用绝对单位测定出来。其他的测量结果只是为了测定比值，从而是可以采用任意的单位的。

例如两个力的比值就是1。

两个电流的比值是当差绕电流计的线圈没有偏转时通过电阻的比较来求出的。

吸引力依赖于圆盘直径和盘间距离之比的平方。

推斥力依赖于线圈直径和线圈距离之比。

因此v的值就是通过大线圈的电阻来直接表示的，而该电阻本身则是和标准欧姆进行比较的。

用汤姆孙方法得出的v值是28.2欧姆 ^〔96〕 ；用麦克斯韦方法得出的是28.8欧姆 ^〔97〕 。

以电磁单位计的静电电容

774．〕　一个电容器的电容可以通过产生电荷的电动势和放电电流中的电量的比较而用电磁单位来测定。利用一个化学电池，在一个包括大电阻线圈的电路中保持一个电流。电容器通过把它的电极和电阻线圈的电极相接触而被充电。通过线圈的电流用它在一个电流计中引起的偏转角来测量。设φ是这个偏转角，则由第742节可知电流是 式中H是地磁的水平分量，而G是电流计的主常量。

如果R是这个电流所通过的那一线圈的电阻，则线圈两端的电势差是E＝Rγ，而在其电容为C个电磁单位的电容器中产生的电荷则是Q＝EC。

现在从电路中先断开电容器的电极，再断开电流计的电极，并让电流计的磁体在它的平衡位置上达到静止。然后把电容器的电极和电流计的电极互相接通。一个瞬变电流将流过电流计并使磁体摆到一个极端偏转角θ。于是，第748节可知，如果放电量等于充电量，则有 于是，作为以电磁单位计的电容的值，我们就得到 于是，一个电容器的电容就由下列各量来确定：T，电流计磁体从静止点到静止点的振动时间。R，线圈的电阻。θ，由放电引起的摆角极限。φ，由通过线圈的电流所引起的常值偏转角。这种方法是由弗里明·金肯教授在以电磁单位测定电容器的电容时应用了的 ^〔98〕 。

如果C是以静电单位计的同一电容器的电容，例如通过和一个其电可以根据它的几何数据来算出的电容器相比较而测定的电容，我们就有c＝v² C。由此即得v² ＝πR×

因此v这个量就可以用这种办法求得。它依赖于以电磁单位计的R的测定，但是，既然它只包含R的平方根，这种测定中的误差就不会像在第772、773节中的方法中一样对v的值有那么大的影响。

断续电流法

775．〕　如果一个电池电路的导线在任一点上被断开，并把断开的两端接在一个电容器的两个电极上，则电流将流入电容器，但其强度将随电容器二板之间的电势差的增大而减小，因此当电容器已经接收到和作用在导线上的电动势相对应的全额电荷时，电流就完全停止了。

如果现在把电容器的两个电极从导线两端断开，然后按相反的顺序再和它们接起来，电容器就会通过导线而放电，然后就将按相反的方式被充电，于是就有一个瞬变电流通过导线，其总电量等于电容器电荷的两倍。

利用一种机构（通常称为“换向器”），反转连接电容器的手续可以按相等的时间间隔而重复进行，每一个间隔等于T。如果这段时间足以使电容器来得及完全放电，导线在每一间隔中输送的电就将是2EC，此处E是电动势而C是电容器的是电容。

如果接在电路中的一个电流计的磁体加了载重，从而它摆动得很慢，以致在磁体的一次自由振动的时间内将发生电容器的许多次放电，则逐次的放电将像一个强度为 的恒稳电流那样对磁体起作用。

如果现在把电容器取走而用一个电阻线圈来代替它，并调节线圈直到通过电流计的恒稳电流和那些逐次放电产生相同的偏转角，那么，如果这时整个电路的电阻是R，则有

或者写成　　

于是，我们可以把一个带有活动着的换向器的电容比拟为某一个电阻，而为了测量这个电阻，我们可以利用在第345～357节中描述了的那些不同的测量电阻的方法。

776．〕　为此目的，我们可以把第346节的差绕电流计法中或第347节的惠斯登电桥法中的任何一条导线换成一个带换向器的电容器。让我们假设，在其中任一事例中，已经先用一个带换向器的电容器而后又把它换成一个电阻为R₁ 的线圈来得到了电流计的零偏转，于是量 就可以用一个电路的电阻来量度，此时线圈R₁ 就是这个电路的一部分，而另一部分则是包括电池在内的其余导电体系。因此，我们所要计算的电阻R就等于电阻线圈的电阻R₁ 再加上其余体系（包括电池在内）的电阻，这时把电阻线圈的两端看成其余体系的电极。

在差绕电流计和惠斯登电桥的事例中，用不着把电容器换成一个电阻线圈来进行第二个实验。为此目的而要求的电阻值，可以根据体系中其他的已知电阻计算出来。

利用第347节中的符号，假设电容器和换向器取代了惠斯登电桥上的导体AC，设电流计接在OA上而电流计的偏转角为零，于是我们就知道，当接在AC上时将引起零偏转角的那个线圈的电阻是　　

电阻的另一部分，R₂ ，就是各导体AO、OC、AB、BC和OB所构成的体系的电阻，此时把A点和C点看成电极。由此可见，

在这一表示式中，a代表电池及其接线的内阻，它的值并不能很准确地被测定；但是，通过把它弄得远小于其他电阻，这种不准确性就将只对R₂ 的值有很小的影响。

以电磁单位计的电容器的电容值是　　 ^〔99〕

777．〕　如果电容器有一个很大的电容，而且换向器的动作很迅速，则电容器可能并不是在每一次换向时都能充分放电的。放电过程中的电流方程是

式中Q是电容器的电荷，C是它的电容，R₂ 是电容器两极之间的体系其余部分的电阻，而E是由于电池的接通而引起的电动势。由此即得　　

式中Q₀ 是Q的初始值。

如果τ是在每一次放电中保持接触的时间，则每次所放的电量是

通过使方程（4）中的C和γ比β、a或α大得多，由R₂ C表示的时间可以被弄得比τ小得多，以致我们在计算指数表示式的值时可以使用方程（5）中的C值。于是我们就得到

式中R₁ 是为了产生等价的效应而必须用来代替电容器的那个电阻。R₂ 是体系其余部分的电阻，T是开始放电和下一次开始放电之间的时间，而τ是每一次放电的接触时间。于是，我们就得到以电磁单位计的正确的C值：　　

电容器的静电电容和线圈自感系数的电磁电容的比较

778．〕　如果一个传导电路中其间的电阻为R的两个点被接在一个电容为C的电容器的两个极上，则当有一个电动势作用在电路上时，会有一部分电流将不是通过电阻R而是被用来使电容器充电。因此通过R的电流将以一种逐渐的方式上升到它的末值。由数学理论可知，通过R的电流从零上升到它的末值的那种方式用一个公式来表示，该公式在形式上和表示被一个常值电动势推动着流过一个电磁体的线圈的电流值的那种公式完全相同。因此我们可以把一个电容器和一个电磁体适当地接在惠斯登电桥的两个臂上，使得甚至在接通或开断电池电路的时刻通过电流计的电流也总是零。

图104

在图104中，设P、Q、R、S分别是惠斯登电桥的四个臂的电阻。设使一个自感系数为L的线圈成为电阻Q的臂AH的一部分，并把一个电容为C的电容器的两极用电阻很小的导体接在点F和点Z上。为了简单，我们将假设没有电流通过其电极接在F和H上的电流计G，因此我们必须确定F点的电势和H点的电势相等的条件。只有当我们想要估计这种方法的精确度时，我们才有必要计算当这一条件不满足时通过电流计的电流。

设X是在时刻t已经通过了臂AF的总电量，而z是已经通过了FZ的总电量，则x－z将是电容器的电荷。由欧姆定律可知，作用在电容器的二极之间的电动势是 因此如果电容器的电容是C，则有

设y是已经通过臂AH的总电量，从A到H的电动势必须等于从A到F的电动势，或者说，　　

既然没有电流通过电流计，已经通过HZ的电量就必然也是y，从而我们就得到

把由（1）式推出的x值代入（2）中，并和（3）式相比较，我们就得到没有电流通过电流计的条件如下：　　

正如在普通形式的惠斯登电桥中一样，没有末电流的条件是　　

在电池开关被接通或开断时没有电流的附加条件是　　

这里的 和RC分别是臂Q和R的时间常量，而且，如果我们通过改变R或Q可以调节到不论是在接通和开断电路时还是当电流已经稳定时电流计中都没有电流的状态，我们就知道线圈的时间常量等于电容器的时间常量。

自感系数L可以通过和几何数据已知的两个电路的互感系数相比较而用电磁单位量出（见第756节）。这是一个具有长度量纲的量。

电容器的电容可以通过和几何数据已知的一个电容器的电容相比较而用静电单位量出（见第229节）。这个量也是一个长度c。以静电单位计的电容是　　

把这个量代入方程（6）中，我们就得到v² 的值如下：　　

式中c是以静电单位计的电容器电容，L是以电磁单位计的线圈自感系数，而Q和R是以电磁单位计的电阻。用这种方法测定出来的v值正如在第772、773节的第二种方法中那样是依赖于电阻单位的确定的。

电容器的静电电容和线圈自感的电磁电容的组合

779．〕　设C是一个电容器的电容，电容器的两个面用一条电阻为R的导线连接了起来。设在这条导线中间接入两个线圈L和L′，并用L代表它们的自感系数之和。线圈L′用一种双线装置悬挂着，由两个竖直平面的线圈构成，二者之间有一个轴，上面装有磁体M，磁体的轴线在两个线圈L′L′之间的一个水平面上转动。圈线L有一个大的自感系数，而且是固定的。悬挂线圈的转动部分封在一个空盒中，以隔离由磁体的转动所引起的空气流。

磁体的运动在线圈中引起感应电流，而这些电流又受到磁体的作用，以致悬挂线圈的平面将被磁体所偏转。让我们确定感生电流的强度和悬挂线圈的偏转角的量值。

图105

设x是电容器的上板面的电荷，如果E是引起这一电荷的电动势，则我们由电容器的理论得到

由电流的理论我们也有

式中M是当磁体轴线垂直于线圈平面时电路L′的电磁动量，而θ是磁体轴线和线圈平面的法线之间的夹角。

因此，确定x的方程就是

如果线圈位于一个平衡位置上，而磁体的转动是均匀的，其角速度为n，则有　　

电流的表示式包括两部分。其中一部分不依赖于方程右端的一项，而且是按时间的指数函数的规律而递减的。另一项可以称为受迫振动；它完全依赖于含θ的项，而且可以写成　　

通过代入方程（3）中来求出A和B的值，我们就得到

磁体作用在通有电流 的线圈L′上的力矩，就是假设线圈为固定时它对线圈作用的力矩的负值；它由下式给出：　　

把这一表示式在一次转动中对t积分并除以时间，我们就得到 的平均值如下：

如果线圈有一个相当大的惯量矩，则它的受迫振动将是很小的，而且它的偏转角将和 成正比。

设D₁ 、D₂ 、D₃ 是观测到的和角速度n₁ 、n₂ 、n₃ 相对应的偏转角，则一般地有

式中P是一个常量。

由三个这种形式的方程消去P和R，我们就得到

如果n₂ 适足以使 则 在这个n值下将有极小值。其他的n值应该取得一个大于n₂ 而另一个小于n₂ 。

由方程（10）确定出来的CL值具有时间平方的量纲。让我们把它写成τ² 。

如果C_s 是以静电单位计的电容器电容而L_m 是以电磁单位计的线圈自感，则C_s 和L_m 都是长度，而其乘积是　　

从而就有　　

式中τ² 是由这一实验测定的C² L² 值 ^〔100〕 。此处作为测定v的一种方法而提出的这个实验，是和W. R. 格罗夫爵士所描述的实验性质相同的，见Phil. Mag., March 1868, p. 184．也请参阅本书作者对实验的评论，见该刊May 1868, pp. 360～363.

电阻的静电量度（见第355节）

780．〕　设一个电容为C的电容器通过一根电阻为R的导线而放电，如果x是在任一时刻的电荷，则有　　

由此即得　　

如果通过任何一种方法，我们可以在一段精确已知的时间内使电路保持接通，以允许电流在导体中流动一段时间t，那么，如果E₀ 和E₁ 是一个和电容器连接的静电计在这手续以前和以后的读数，则有　　

如果C在静电单位下作为一个线性量而为已知，则R可以在静电单位下作为一个速度的倒数而由这一方程中求出。

如果R_s 是这样测定出来的电阻的数值，而R_m 是以电磁单位计的电阻的数值，则

既然R在这个实验中必须很大，而在第763节等等的电磁实验中必须很小，这些实验就必须针对不同的导体来进行，而这些导体的电阻必须用普通的方法来加以比较。

第五十三章　光的电磁学说

781．〕　在本论著的若干部分中，曾经作过借助于机械作用来解释电磁现象的尝试，那种机械作用是通过占据着物体之间的空间的一种媒质而从一个物体传到另一个物体的。光的波动学说也假设一种媒质的存在。现在我们必须证明，电磁媒质的性质是和光媒质的性质相等同的。

每当有一种新现象需要解释时就用一种新的媒质来充满全部的空间，这在哲学上绝不是多么有道理的。但是，如果两个不同科学分支的研究已经独立地提供了关于一种媒质的想法，而且，如果为了说明电磁现象而必须赋予媒质的那些性质是和我们为了说明光的现象而赋予光媒质的那些性质种类相同的，那种媒质之物理存在的证据就将得到很大的加强。

但是，各物体的性质是可以定量地测量的。因此我们就得到媒质的数据，例如一种扰动通过媒质而传播的那一速度的数值，而这一速度是可以根据电磁实验来算出的，也是在光的事例中可以直接观测的。如果居然发现电磁扰动的传播速度和光的速度相同，而且这不但在空气中是如此，在别的透明媒质中也是如此，则我们将有很强的理由相信光是一种电磁现象，而且光学资料和电学资料的组合也将产生一种关于媒质之实在性的信念，和我们在其他种类的物质的事例中通过感官资料的组合而得到那种信念相似。

782．〕　当光被发出时，发光物体就会消耗一定的能量；而如果光被另一物体所吸收，则这个物体会变热，表明它从外面接收到了能量。在从光离开第一个物体以后到它达到第二个物体以前的那一时间阶段中，光必须曾经作为能量而存在于中间的空间之中。

按照粒子发射学说，能量的传递是通过光颗粒从发光物体到被照物体的实际转移来达到的，这些颗粒携带着它们的动能，以及它们可以接受的任何其他种类的能量。

按照波动学说，有一种物质性的媒质充满在两个物体之间的空间中，而正是通过这种媒质的各相邻部分的作用，能量才从一部分传到其次的部分，直到它到达了被照明的物体为止。

因此，在光通过它的期间，光媒质就是能量的一种承受物。在由惠更斯、菲涅耳、杨、格林等人发展起来的波动学说中，这种能量被假设为部分地是势能而部分地是动能。势能被假设为起源于媒质各元部分的形变。因此我们必须认为媒质是弹性的，动能被假设为起源于媒质的振动。因此我们必须认为媒质有一种有限的密度。

在本书所采用的关于电和磁的理论中，两种形式的能量曾经得到承认，那就是静电能量和动电能量（见第630节和第636节），而这些能量被假设为不仅在带电的物体和磁化的物体上有其存身之处，而且在观察到有电力或磁力起作用的每一部分周围的空间中有其存身之处。由此可见，我们的理论在假设存在可以成为两种形式的能量的承受者的一种媒质方面是和波动学说一致的 ^〔101〕 。

783．〕　其次让我们确定一个电磁扰动通过一种均匀媒质而传播的条件；我们将假设这种媒质是静止的，也就是说，除了在电磁扰动中可能涉及的运动以外，它没有别的运动。

设C是媒质的比电导，K是它对静电感应而言的比感本领，而μ是它的磁“导率”。

为了得到电磁扰动的普遍方程，我们将把真实电流 用矢势 和电势Ψ表示出来。

真实电流 是由传导电流 以及电位移 的变化构成的，而既然这二者都依赖于电动强度 ，我们就像在第611节中那样得到　　

但是，既然媒质没有运动，我们就可以像在第599节中那种把电动强度表示成

由此即得　　

但是我们可以用另一种办法来确定 和 之间的一种关系，因为正如在第616节中证明了的那样，它们的方程组（4）可以写成

式中　　

把方程（3）和（4）合并起来，我们就得到

此式可以表示成三个方程如下：

这就是电磁扰动的普遍方程。

如果我们分别对x、y、z求这些方程的导数，就得到

如果媒质是一种非导体，则C＝0，而正比于自由电荷体密度的∇² Ψ就和t无关。因此J就必须或是t的线性函数，或是常量，或是零，从而我们在考虑周期性的扰动时就可以完全不考虑J和Ψ。

振动在非导体媒质中的传播

784．〕　在这一事例中，C＝0，从而方程组变为

这种形式的方程和一个不可压缩的弹性固体的运动方程相似，而当初始条件已经给定时，方程的解可以表示成由泊松 ^〔102〕 给出的和由斯托克斯 ^〔103〕 应用于衍射理论的那种形式。

让我们写出　　

如果F、G、H的值和 的值在初时刻（t＝0）在空间的每一点上都已给出，我们就可以确定它们在以后任一时刻t的值如下。

设O是我想要确定其F在时刻t的值的那个点。求出F在一个球面的每一点上的初始值，并求出这些值的平均值 也求出 在球面每一点上的初始值，并设这些值的平均值为

于是，在时刻t，O点上的F值就是

同理得到　　

785．〕　因此就看到，O点上的任一时刻的情况，依赖于距离为Vt的地方在一段时间t以前的情况，从而任何扰动就都是以速度V来通过媒质而传播的。

让我们假设，当t为零时，量 和 ．除了在某一空间S中以外都为零。于是，它们在时刻t在O点的值将是零，除非以O为心，以Vt为半径画出的球面全体地或部分地位于空间S之内。然后，O点上的扰动就将开始，并持续到Vt等于从O到S的任一部分的最大距离时为止。然后O点的扰动就将永远停止。

786．〕　由方程（10）可见，第784节中表示着电磁扰动在一种非导电媒质中的传播速度的V这个量，等于

如果媒质是空气，而且我们采用的是静电单位制，则有K＝1和 于是就有V＝v，或者说传播速度在数值上等于电量的电磁单位和静电单位之比。如果我们采用电磁单位，则 而μ＝1，从而方程V＝v仍然成立。

如果认为光就是在传输其他电磁作用的那同一种媒质中传播的电磁扰动，则按照这种学说，V必须是光的速度，这是其值已用若干方法估计过的一个量。另一方面，v就是电量的一个电磁单位所含的静电单位的倍数，而测定这个量的方法已经在上一章中描述过了。这些方法是和测定光速的方法完全无关的。因此，V的值和v的值是否相符，就可以给光的电磁学说提供一种检验。

787．〕　在下面的表中，把直接观测光通过空气或星际空间的速度的主要结果和比较电学单位的主要结果进行了比对：

很明显，光速和单位比值是两个具有相同数量级的量。其中任何一个量也还不能说已经被测定到足以使我们能够断言一个量是大于或小于另一个量的那种精确度。应该希望，通过今后进一步的实验，这两个量的量值之间的关系将可更准确地被确定下来 ^〔104〕 。

在关系尚未完全确定时，我们这种断定两个量相等并赋予这种相等性以一种物理理由的理论，是肯定不会被目前这样的结果的对比所驳倒的。

788．〕　在除了空气以外的其他媒质中，速度V反比于介电比感本领和磁比感本领之乘积的平方根。按照波动学说，不同媒质中的光速反比于各媒质的折射率。

任何透明媒质的磁比感本领都只和空气的磁比感本领相差一个很小的分数。因此，这些媒质的差别的主要部分必然依赖于它们的介电比感本领。因此，按照我们的理论，一种透明媒质的介电本领应该等于它的折射率的平方。

但是折射率却对不同种类的光是不同的，对振动较快的光折射率较大。因此我们必须选择和周期最长的波相对应的折射率，因为只有这种波动的运动才是可以和我们用来测定介电本领的那些慢过程互相对比的。

789．〕　迄今为止，其介电本领曾经测到足够的精确度的唯一电介质就是石蜡；对于固定形式下的石蜡，吉耳孙和巴克雷 ^〔105〕 得到了

格拉德斯通博士曾经求得了熔融石蜡对A、D和H谱线的下列折射率值：

我由此表求得，对无限长波的折射率将约为1.422。R的平方根是1.405。

这些数字的差值大于可以用观测误差来说明的差值，而这就证明，在我们可以根据物体的电学性质来推定它们的光学性质以前，我们关于物体结构的理论必须大大改进。与此同时，我却认为数值的符合已经达到一种程度，以致如果在从颇多物质的光学性质和电学性质推出的数字之间并没有发现更大的分歧，我们就可以有把握地得出结论说，K的平方根即使可能并不是折射率的完备表示式，它至少也是该表示式中最重要的一项 ^〔106〕

平　面　波

790．〕　现在让我们把注意力限制在平面波方面，我们将假设它的波前垂直于z轴。其变化构成这种波的所有各量都只是z和t的函数而不依赖于x和y。因此，第591节中的磁感方程组（A）就简化为

或者说磁扰动是位于波面上的。这和我们所知道的构成光的那种扰动是相符的。

分别用μα、μβ和μγ来代替a、b和c，第607节中的电流方程组就变成

由此可见电扰动也是位于波面上的，而如果磁扰动被限制在一个方向上，比如限制在x方向上，则电扰动是限制在垂直的方向或者说y方向上的。

但是我们也可以用另一种办法来计算电扰动，因为，如果f、g、h是一种非导电媒中的电位移分量，则有　　

图106

如果P、Q、R是电动强度分量，则

而既然媒质并不运动，第598节中的方程组（B）就变成

由此即得

把这些值和在方程（14）中给出的值相比较，我们就得到

这些方程中的第一个和第二个，就是平面波的传播方程，它们的解具有众所周知的形式

第三个方程的解是　　

式中A和B是z的函数。因此H或是常量或随时间而线性地变化。在哪一种情况下它也不能在波的传播中起什么作用。

791．〕　由此看来，磁扰动和电扰动的方向都位于波平面上。因此，扰动的数学形式就是和构成光的那种垂直于传播方向的扰动的数学形式相一致的。

如果我们假设G＝0，扰动就对应于一条平面偏振的光线。

在这一事例中，磁力平行于y轴并等于 而电动强度则平行于x轴并等于 因此磁力就位于一个平面上，该平面垂直于包含电动强度的平面。

磁力和电动强度在一个给定时刻在射线的不同各点上的值，针对一个平面上的简谐扰动的情况表示在图106中。这对应于一条平面偏振光线，但是偏振面是对应于磁扰动的平面还是对应于电扰动的平面，却还有待阐明。请参阅第797节。

辐射的能量和胁强

792．〕　在一种非导电的媒质中，波动中任一点上的单位体积的静电能量是

同一点上的单位体积的动电能量是　　

由于有方程（20），这两个表示式对单独一个波来说是相等的，因此，在波的每一点上，媒质的内能有一半是静电能量而另一半是动电能量。

设p是二者中的随便哪一个量的值，就是说，p或是单位体积的静电能量或是单位体积的动电能量，那么，由于存在媒质的静电状态，就将存在一个平行于x方向的张力，其量值等于p，同时还在一个平行于y方向和z方向的压强，而且也等于p。请参阅第107节。

由于存在媒质的动电状态，就存在一个平行于y方向的等于p的张力，以及一个平行于x方向和z方向的等于p的压强。请参阅第643节。

由此可见，静电胁强和动电胁强的联合效应就是一个沿波的传播方向的等于2p的压强。2p也表示单位体积的总能量。

因此，在波所传播于其中的一种媒质中，存在一个沿波面法线方向的而数值上等于单位体积的能量的压强。

793．〕　例如，如果强太阳光射在一平方英尺上的光能量是每秒83.4英磅，则每立方英尺中的平均能量约为0.0000000882英磅，从而一平方英尺上的平均压强就是0.0000000882磅重。曝晒在太阳光中的一个扁平物体将只在被晒的一面受到这一压强，从而就会从被晒的一侧受到推斥。借助于会聚的电灯光线，也许可以得到更大得多的辐射能量。射在一个在真空中很精密地悬挂着的薄金属片上的这种光线，也许会产生一种可观察的效应。当任何一种干扰包含一些项，而各项包含着随时间而变的角的正弦或余弦时，最大能量就等于平均能量的两倍。因此，如果P是在光的传播过程中出现的最大电动强度而β是最大磁力，则有

利用汤姆孙（Trans. R. S. E., 1854）所引用的泡依乐（Pouillet）的数据，在电磁单位下就得到

P＝60000000，或600个丹聂尔电池每米 ^〔107〕 。

β＝0.193，或颇大于英国的水平磁力的十分之一 ^〔108〕 。

平面波在结晶媒质中的传播

794．〕　当根据普通的电磁实验提供的数据来计算将由每秒许多亿次的周期性扰动所引起的电现象时，已经使我们的理论受到了一种很严厉的考验，即使当媒质被假设为空气或真空时也是如此。但是，如果企图把我们的理论扩充到浓密媒质的事例中去，我们就不仅会卷入到分子理论的一切困难之中，而且会卷入到分子和电磁媒质之关系这一更深刻的奥秘之中。

为了避免这些困难，我们将假设，在某些媒质中，静电感应的比感本领在不同的方向上是不同的；或者换句话说，电位移不是和电动强度方向相同并成正比，而是由一个和第297节所给出的方程组相类似的方程组来联系着的。可以像在 第436节中那样证明，系数组必然是对称的，于是，通过坐标轴的适当选择，各方程就变成

式中K₁ 、K₂ 和K₃ 是媒质的主比感本领。因此扰动的传播方程就是

795．〕　如果l、m、n是波前的法线的方向余弦，V是波的速度，设

而用F″、G″、H″、Ψ″来分别代表F、G、H、Ψ对ω而言的二阶微分系数，并令

式中a、b、c是三个主传播速度，则各方程变成

796．〕　如果写出

我们就由这些方程得到

因此，或是V＝0，如此则完全没有波被传播；或是U＝0，这就导致菲涅耳所给出的V的方程；或是括号中的量等于零，如此则分量为F″、G″、H″的矢量垂直于波前并正比于电荷体密度。既然媒质是一种非导体，任一给点上的电荷密度就是恒定的，从而这些方程所指示的扰动就是非周期性的，从而就不能形成一种波。因此，在波的考察中我们可以认为Ψ″＝0。

797．〕　因此，波的传播速度完全由方程U＝0来确定，或者说由方程

来确定。因此，对应于一个给定的波前，就有两个V² 的值，而且只有两个V² 的值。

如果λ、μ、ν是分量为u、v、w的电流的方向余弦。

则有　　

或者说，电流位于波前的平面上，而它在波前上的方向则由下列方程来确定：

如果我们把偏振平面定义为通过射线而垂直于电干扰平面的一个平面，这些方程就和菲涅耳所给出的方程完全相同。

按照这种双折射的电磁理论，构成普通理论的主要困难之一的法向扰动波是不存在的，而要说明沿晶体的一个主平面而偏振的射线将按照普通方式而折射这一事实也并不需要任何新的假设 ^〔109〕 。

电导率和阻光率之间的关系

798．〕　如果媒质不是一种完全的绝缘体而是一种单位体积的电导率为C的导体，则扰动将不仅包括电位移而且包括传导电流；在传导电流中，电能量会被转化为热，从而振动将受到媒质的吸收。

如果扰动是用一个三角函数来表示的，我们就可以写成

因为这一函数将满足方程　　

如果　　

而且　　

传播速度是　　

而吸收系数是　　

设R是一块平板的以电磁单位计的电阻｛对沿板的长度而流动的电流而言的电阻｝，而板的长度为l，宽度为b，厚度为z，则有　　

入射波将穿透这一平板的部分是　　

799．〕　多数的透明固体是良好的绝缘体，而所有的良导体都是很不透明的。然而，关于物体的电导率越大则其阻光率越大的这条定律，却存在许多例外。

电解质允许一个电流通过，但许多电解质却是透明的。然而我们却可以假设，在光传播过程中起作用的那种迅速交变力的事例中，电动强度只在很短的一段时间内沿着一个方向起作用，以致它不能造成化合分子之间的一种完全的分离。当电动强度在另一半振动中沿相反的方向起作用时，它就干脆把它在前一半振动中所做的事情反转过来。因此就不存在通过电解质的真正电传导，不存在电能的损失，从而也不存在光的吸收。

800．〕　金、银和铂是良导体，但是当被做成很薄的薄片时，它们却允许光透过它们 ^〔110〕 。根据我用一片金箔（其电阻由霍金先生所测定）所作的实验，看来透明度比可以和我们的理论相容的值要大得多，除非我们假设，当电动势在每半个光振动时间内反转一次方向时，能量损失比电动势像在我们的普通实验中那样在可觉察的时间内起作用时要小。

801．〕　其次让我们考虑一种媒质的事例；在这种媒质中，电导率和比感本领相比是大得多的。

在这一事例中，我们可以略去第783节的各方程中含K的项，从而各方程变为

这些方程中的每一个方程，都和傅立叶的Traité de la Chaleur一书中所给出的热扩散方程具有相同的形式。

802．〕　以其中第一个方程为例，矢势的分量F将随时间和位置而变，其变化方式和一个均匀固体的温度随时间和位置而变的方式相同，这时两个事例中的初值条件及边值条件要被弄得互相对应，而量4πμC则在数值上等于物质热导率的倒数，这就是说，等于被通过物质的一个单位立方体的热量加热一度的单位体积的数目，该单位立方体的相对两面的温度相差一度，而其他各面则不传热 ^〔111〕 。

傅立叶已给出其解的热传导中的不同的问题，可以翻译成电磁量的扩散问题，不过要记得F、G、H是一个矢量的分量，而傅立叶问题中的温度则是一个标量。

让我们考虑傅立叶已经给出完全解的事例之一 ^〔112〕 ，即初状态已经给定的一种无限大媒质的事例。

媒质中任一点在时刻t的状态，通过对媒质各部分的状态求平均值来求得，在求平均值时指定给每一个部分的权重是　　

式中r是该部分离开所考虑的那一点的距离。在矢量的事例中，这个平均值可以通过分别考虑矢量的每一分量而最方便地求出。

803．〕　我们首先必须指出，在这一问题中，傅立叶媒质的热导率被取成反比于我们的媒质的电导率，因此，电导率越大，在扩散过程中达到一个指定状况所需要的时间就越长。如果我们记得第655节中的结果，这种说法就不会显得是令人大惑不解的；那结果就是，一种无限大电导率的媒质对磁力的扩散过程形成一种完全的阻隔物。

其次，在扩散过程中造成一个指定状况所需要的时间，正比于体系的线度的平方。

不存在任何一个可以定义为扩散速度的确定速度。如果我们企图通过测定在离扰动源一定距离处产生一定量的扰动所需要的时间来量度这个速度，我们就会发现，所选的扰动值越小，速度就将显得越大，因为，不论距离多大，也不论时间多短，扰动的值都将是数学地异于零的。

扩散的这一特点，把它和以有限速度进行的波传播区别了开来。直到波到达一个给定点为止，该点上是不会出现扰动的；而当波已经通过该点时，扰动就永远停止了。

804．〕　现在让我们考察当一个电流开始并继续在一个线性电路中流动时所发生的过程，设电路周围的媒质有一个有限的电导率。（试和第660节相比较。）

当电流开始时，它的第一个效应就是在媒质靠近导线的各部分中产生一种传导电流。这个电流的方向是和原始电流的方向相反的，而在第一个瞬间，它的总量和原始电流的总量相等，从而对媒质较远部分的电磁效应在起初就是零，而只有当感生电流由于媒质电阻的作用而消失殆尽时，这种电磁效应才会上升到它的末值。

但是，当靠近导线的感生电流衰减时，一个新的感生电流就会在较远处的媒质中被产生，于是感生电流所占据的空间就会不断地扩大，而电流的强度则不断地减小。

感生电流的这种扩散和衰减的现象，是和热量从一部分媒质开始扩散的现象确切类似的，那一部分媒质在起始时比其余部分更热或更冷一些。然而我们必须记得，既然电流是一个矢量，而且既然在一个电路中对面两点上的电流是方向相反的，那么，在计算感生电流的任一给定的分量时，我们就必须把问题比拟成这样一个［热传导］问题：相等数量的热和冷是从相邻的地方开始扩散的；在这种情况下，对远处各点的效应就将具有较小的数量级。

805．〕　如果线性导体中的电流被保持为恒定，则依赖于状态之初始变化的感生电流将逐渐扩散和衰减，而把媒质留在它的永久状态中，这个状态和热流的永久状态相类似。在这个状态中，我们在全部媒质中都有　　

只有在被电路所占据的各点上除外，在各该点上｛当μ＝1时｝有

这些方程就足以确定整个媒质中各点上F、G、H的值了。它们表明，除了在电路中以外不存在任何电流，而磁力则简单地是由电路中的电流按照普通的理论而引起的那些磁力。这一永久状态的建成速度是如此之大，以致用我们的实验方法是不能测量的，也许除了在很大块的像铜之类的高度导电的媒质的事例中以外。

注：在一篇发表在波根道夫的Annalen, July1867, pp. 243～263上的论文中，洛仑茨先生曾经根据基尔霍夫的电流方程（Pogg. Ann, cii. 1857），通过增加某些并不影响任何实验结果的项而导出了新的方程组；这一方程组表明，电磁场中的力的分布，可以被设想成是由一些相邻单元的相互作用所引起的，而且由横向电流所构成的波可以在非导电媒质中以一个可以和光速相比的速度而进行传播。因此他认为，构成光的扰动是和这些电流等同的，而且他也已经证明，导电的媒质必然对这些辐射来说是不透明的。

这些结论和本章的结论相似，尽管它们是用一种完全不同的方法求得的。本章中给出的这种理论，最初发表在Phil. Trans. for 1865, pp. 459～512.

第五十四章　对光的磁作用

806．〕　在电现象及磁现象和光的现象之间建立一种关系的最重要步骤，必然是某种实例的发现，在那种实例中，一组现象受到了另一组现象的影响。在寻找这样的现象时，我们必须以我们可能在想要对比的各量的数学形式或几何形式方面已经获得的任何知识为我们的指针。例如，如果我们像索末维耳夫人所做的那样企图借助于光来磁化一根针，我们就必须记得，磁南方和磁北方的区别只是一个方向的问题，从而它会立即反向，如果我们反转了有关数学正负号之应用的某些约定的话。电解现象使我们能够通过观察氧出现在电解槽的一个极上而氢出现在另一个极上来把正电和负电区分开来；而磁学中却没有任何和电解现象相类似的现象。

因此我们就不能指望，如果我们使光射中一根针的一端，那一端就会变成具有确定名称的一个磁极，因为两个磁极并不是像明和暗那样地不同的。

如果我们让圆偏振光射在针上，让右手偏振光射在针的一端而让左手偏振光射在针的另一端上，我们也许就能指望有较好的结果，因为在某些方面这两种光之间的相互关系可以说是和两种磁极之间的关系具有相同的形式的。然而，类似性甚至在这儿也是有毛病的，因为当两种光线互相合并时，它们并不是互相抵消而是形成一种平面偏振的光线。

法拉第是很熟悉借助于偏振光来研究产生在透明固体中的胁变的方法的。他作了许多实验，希望发现偏振光在通过内部存在着电解导电或介电感应的媒质时所受到的某种作用 ^〔113〕 。然而他并没能找到任何这种作用，尽管实验是用按照最适宜发现拉力的效应的方式装置起来的——电力或电流和光线相垂直，并和偏振平面成45°的角。法拉第用各种方式改变了实验，但是没有发现由电解电流或静电感应引起的对光的任何作用。

然而他在确立光和磁之间的关系方面却取得了成功，而他做到这一点的那些实验则描述在他的《实验研究》的第十九组中。我们将把法拉第的发现取作我们有关磁的本性的进一步探索的出发点，从而我们将描述一下他所观察到的现象。

807．〕　一条平面偏振的光线从一种透明的抗磁性媒质中通过；当从媒质中出来时，用一个检偏器截断它的路程，以测定它的偏振面。然后加上一个磁力，使透明媒质中的磁力方向和光线的方向相重合。于是光立即重新出现，但是如果把检偏器转过某一角度，光就又被截断。这就表明，磁力的效应就是使偏振面以光线方向为轴而转过一个确定的角度，这个角度为了截断光线而必须使检偏器转过的那个角度来描述。

808．〕　偏振面转过的角度和下列各量成正比：

（1）　光线在媒质中走过的距离。因此偏振面是从它的原始位置开始而连续变化的。

（2）磁力在光线方向上的分量。

（3）转动角的大小依赖于媒质的种类。当媒质是空气或任何其他气体时，还没有观察到任何的转动 ^〔114〕 。

这三点说法被包括在一个更普遍的叙述中，那就是，旋转角在数值上等于光线从进入媒质的一点到离开媒质的一点的矢势增量乘以一个系数，而对抗磁性媒质来说，这个系数通常是正的。

809．〕　在抗磁性物质中，偏振面被转向的方向｛一般说来｝和一个电流的正方向相同，那个电流就是为了产生和实际存在的磁力同方向的磁力而必须绕着光线运行的。

然而外尔代特却发现，在某些铁磁性媒质中，例如一种高氯化铁在木精或乙醚的浓溶液中，旋转方向却和将会产生磁力的电流运行方向相反。

这就表明，铁磁性物质和抗磁性物质的区别不仅仅起源于“磁导率”在前一事例中大于而在后一事例中小于空气的磁导率，而是这两类物体确实性质相反。

一种物质在磁力作用下获得的使光的偏振面发生旋转的能力，并不是恰好正比于它的抗磁的或铁磁的磁化率。事实上，抗磁性物质中的旋转为正而铁磁性物质中的旋转为负这一法则，是有例外情况的，因为中性的铬酸钾是抗磁性的，但它却引起负旋转。

810．〕　也存在另外一些物质，它们不依赖于磁力的施加就能在光线通过物质时使偏振面向右或向左旋转。在某些这种物质中，性质依赖于一个轴，例如在石英的事例中就是如此。在另一些物质中，性质并不依赖于光线在媒质中的方向，例如在松节油、糖溶液等等中就是如此。然而，在所有这些物质中，如果任何一条光线的偏振面在媒质中是像一个右手螺旋那样地扭转的，则当光线沿相反方向通过媒质时偏振面仍将像右手螺旋似的扭转。当把媒质放在光线的路程上时，观察者为了截断光线就必须旋转他的检偏器，而不论光线是从南或从北向他射来，旋转的方向相对于观察者来说都是相同的。当光线的方向反向时，旋转在空间中的方向当然也会反向。但是当旋转是由磁作用引起的时，它在空间中的方向却不论光是向南还是向北传播都是相同的。如果媒质属于正类，则旋转方向总是和产生或将会产生实际的磁场状态的电流的方向相同，而如果媒质属于负类则旋转方向总是和该电流的方向相反。

由此可以推知，如果光线在从北向南通过了媒质以后受到一个镜面的反射而从南向北返回媒质中，则当旋转是由磁作用引起的时，旋转就会加倍。当旋转只依赖于媒质的种类｛而不依赖于光线的方向｝，就像在松节油等等中那样时，光线在被反射而回到媒质中再从媒质中出来时，它的偏振将是和入射时在相同的平面上的，第一次通过时的旋转将在第二次通过时被恰好倒了回来。

811．〕　现象的物理解释带来了相当大的困难。不论是在磁致旋转方面，还是在某些媒质的表现方面，这些困难还几乎不能说已经解决。然而我们可以通过分析已经观察到的事实来给一种解释做些准备。

运动学中的一个众所周知的定理就是，两个振幅相同、振动周期相同、在同一平面上但沿相反方向转动的匀速圆周振动，当合成在一起时是和一个直线振动相等价的。这一振动的周期等于圆周振动的周期，它的振幅等于圆周振动的振幅的两倍，它的方向是两个点的连线，那就是在同一圆周上沿不同方向描述圆周运动的两个质点即将相遇的两个点。因此，如果一个圆周运动的周相被加速，则直线振动的方向将沿着圆周运动的方向转过一个等于周相加速度的二分之一的角。

也可以通过直接的光学实验来证明，两条沿相反方向而圆偏振的强度相同的光线，当合并在一起时就变成一条平面偏振的光线，而且，如果其中一条圆偏振光线的周相由于任何原因被加速了，则合光线的偏振平面会转过一个等于周相加速度之一半的角度。

812．〕　因此我们可以表示偏振面的旋转现象如下：有一条平面偏振光线射在媒质上。这条光线和两条圆偏振光线相等价，其中一条是右手圆偏振的，而另一条是左手圆偏振的（对观察者而言）。通过了媒质以后，光线仍然是平面偏振的，但其偏振面却向譬如说右方旋转了（相对于观察者而言）。由此可见，在两条圆偏振光线中，右手圆偏振的那一条的周相一定是在通过媒质时相对于另一条而被加速了。

换句话说，右手圆偏振的光线曾经完成了更多次数的振动，从而在媒质内部比周期相同的左手圆偏振的光线具有较小的波长。

现象的这种叙述方式是和任何光的学说都无关的，因为虽然我们使用了波长、圆偏振等等在我们头脑中可能和某种形式的波动学说相联系的术语，但是推理过程却和这种联系无关而只依赖于被实验证明了的事实。

813．〕　其次让我们考虑其中一条光线在某一给定时刻的位形。每时刻的运动都是圆周运动的任何波动，都可以用一个螺纹线或螺旋来代表。如果让螺旋绕着它的轴线旋转而并不发生任何纵向运动，则每一个粒子都会描述一个圆，而与此同时，波动的传播则将由螺旋纹路上位置相似的各部分的表现纵向运动来代表。很容易看到，如果螺旋是右手的，而观察者是位于波动所传向的一端的，则在他看来螺旋的运动将显得是左手的，也就是说，运动将显得是逆时针的。因此，这样的一条光线曾经被称为一条左手圆偏振的光线；这名称最初起源于一些法国作者，现在已经在整个科学界都通行了。

图107

一条右手圆偏振的光线可以按相似的方式用一个左手螺旋来表示。在图107中，右侧的右手螺旋线A表示一条左手圆偏振的光线，而左侧的左手螺旋线B则表示一条右手圆偏振的光线。

814．〕　现在让我们考虑在媒质内部具有相同波长的两条这样的光线。它们在一切方面都是几何地相似的，只除了其中一条是另一条的“反演”，即有如另一条在镜子里的像一样。然而，其中一条，譬如说是A，却比另一条具有较短的旋转周期。如果运动完全起源于由位移所引起的力，那么这就表明，当位形像A那样时，由相同的位移引起的力要比位形像B那样时大一些。因此，在这一事例中，左手光线将相对于右手光线而被加速，而且不论各光线是从北向南还是从南向北行进，情况都将是这样的。

因此这就是松节油等等引起的那种现象的解释。在这些媒质中，当位形像A那样时，由一条圆偏振光线所造成的位移将比位形像B那样时引起较大的恢复力。于是这些力就只依赖于位形，而不依赖于运动的方向。

但是在沿SN方向受到磁作用的一种抗磁性媒质中，两个螺旋A和B中的一个却永远是以最大的速度旋转的，那就是当眼睛从S向N看去时看到它在顺时针转动的那个螺旋。因此，对于从S向N射去的光线来说，右手光线B将传播得最快；而对于从N向S射去的光线来说，则左手光线A将传播得最快。

815．〕　当把我们的注意力只集中在一条光线上时，螺纹线B就具有完全相同的位形，不论它表示的是一条由S向N的光线还是一条由N向S的光线。但是在第一种情况下光线传播得更快一些，从而螺纹线也旋转得更快一些。因此，当螺纹线向一个方向运动时，将比它向另一个方向运动时引起较大的力。因此力并不仅仅依赖于光线的位形，而且也依赖于光线各部分的运动方向。

816．〕　 构成光的那种扰动，不论它的物理本性如何，是具有垂直于光线方向的矢量性质的。这可以由两条光线在干涉时在某些条件下会造成黑暗这一事实以及偏振在互相垂直的平面上的两条光线并不互相干涉这一事实来得到证明。因为，既然干涉依赖于偏振面的角位置，扰动就必然是一个有向量或矢量；而既然当偏振面互相正交时干涉就停止，代表扰动的那个矢量就必然垂直于这些偏振面的交线，也就是垂直于光线的方向。

817．〕　既然是一个矢量，扰动就可以分解成平行于x的和平行于y的分量，z轴平行于光线的方向。设ξ和η是这两个分量，则在均匀圆偏振光线的事例中有

式中　　

在这些表示式中，r代表矢量的量值，而θ代表矢量和x轴方向之间的夹角。

扰动的周期τ满足　　

扰动的波长λ满足　　

传播速度是

当t和z都为零时，扰动的周期是α。

按照q为负或为正，圆偏振是右手的或左手的。

按照n为正或为负，光的振动方向是平面（x，y）上的正转动或负转动的方向。

按照n和q为同号或异号，光将沿着x轴的正方向或负方向而传播。

在所有的媒质中，当q变化时n都会变化，而且 永远和 同号。

因此，如果对n的一个给定数值来说 的值当n为正时比n为负时要大，那就可以推知，对于一个量值和正负号都给定的q值来说，n的正值将大于n的负值。

这就是在一种受到一个沿z轴方向的磁力γ作用的抗磁性媒质中所｛通常｝观察到的情况。在两条周期相同的圆偏振光线中，被加速的是它在（x，y）平面上的旋转方向为正的那一条。因此，在两条在媒质内部具有相同波长的都是左手圆偏振的光线中，具有最短周期的就是在（x，y）平面上旋转方向为正的那一条，也就是沿着正z轴而从南向北传播的那一条光线。因此我们就必须说明这样一件事实：在体系的方程组中，当q和r给定时，有两个n值满足各方程，一正一负，而n值在数值上大于负值。

818．〕　我们可以通过考虑媒质的势能和动能来求得运动方程。体系的势能V依赖于它的位形，即依赖于体系各部分的相对位置。就它依赖于由圆偏振光线引起的扰动来看，它必然只是扭转幅度r和扭转系数q的函数。它对数值相等的正q值和负q值来说可能有不同的值，而且它在自身就引起偏振面旋转的媒质的事例中或许就是这样的。

体系的动能T是体系各速度的二次齐次函数，不同各项的系数是坐标的函数。

819．〕　让我们考虑光线可以具有恒定强度的动力学条件，也就是r可以为常量的动力学条件。

有关r方向上的力的拉格朗日方程变为　　

既然r是常量，第一项就是零。因此我们就有一个方程　　

式中的q被假设为给定，而我们要确定的是角速度 的值，我们将用它的实际值n来代表这个角速度。

动能T包括一个含n² 的项；另一些项可能含有n和其他速度的乘积，而其余的项则不依赖于n。势能V是完全不依赖于n的。因此方程（6）就具有如下的形式

既然是一个二次方程，此式就给出两个n值。由实验看到，两个都是实值，一正一负，而且正值在数值上较大。由此可见，如果A是正的，则B和C都是负的，因为，如果n₁ 和n₂ 是方程的根，就有　　

因此系数B就不为零，至少当有磁力作用在媒质上时是如此。因为我们必须考虑表示式B_n ，这就是动能中含有扰动之角速度n的一次幂的那一部分。

820．〕　T的每一项对速度来说都是二次的。因此含n的项必然含有某一另外的速度。这个速度不可能是 或 ，因为在我们所考虑的事例中r和q是常量。由此可见它是独立于构成光的那种运动而存在于媒质中的一个速度。它也必须是和n有着适当关系的一个速度，就是说，当和n相乘时，得到的结果就是一个标量，因为只有标量才能作为一些项而出现在本身就是一个标量的T的值中。由此可见，这个速度必须是和n方向相同或方向相反的，也就是说，它必然是一个绕z轴的角速度。

再者，这个速度不可能不依赖于磁力，因为，假如它是和固定在媒质中的一个方向联系的，则当我们把媒质颠倒一下时现象就将是不同的，而事实却并非如此。

因此我们就被引导到这样一个结论：这个速度是和显示偏振面之磁旋转的那些媒质中的磁力不可改变地相伴随着的。

821．〕　我们迄今为止不得不使用一种语言，它或许过分暗示了关于波动学说中的运动的普遍假说。然而也很容易用一种不带这种假说的色彩的形式来叙述我们的结果。

不论光是什么，在空间每一点上总是有种什么事情在进行，这或许是移动，或许是转动，或许是还没有想象到的什么东西，但它肯定具有一个矢量或有向量的本性，其方向垂直于光线的方向。这是由干涉现象全面证明了的。

在圆偏振光的事例中，这一矢量的量值保持不变，但其方向则绕着光线的方向而旋转，在波的一个周期内正好转一周。至于这个矢量是位于偏振面上还是和该平面相垂直，这种不确定性并不影响我们关于该矢量在右手圆偏振光和左手圆偏振光中的旋转方向的知识。这一矢量的方向和角速度是完全已知的，尽管这一矢量的物理本性和它在一个给定时刻的绝对方向是不确定的。

当一条圆偏振光线射在一种处于磁力作用下的媒质上时，它在媒质中的传播就受到光的旋转方向和磁力的方向之间的关系的影响。利用第817节中的推理，我们由此就得出结论说，在媒质中，当处于磁力的作用之下时，有某种旋转运动是正在进行着的，其旋转轴线就是磁力的方向；而且，当光的振动性旋转的方向和媒质的磁旋转方向相同时，圆偏振光的传播速率是和该二方向相反时不同的。

一方面是有圆偏振光从中通过的媒质，另一方面是有磁力线从中通过的媒质，我们在二者之间所能追索的唯一相似性就是，在二者中都存在一种绕轴旋转的运动。但是相似性也就到此为止，因为光现象中的转动就是表示着扰动的那个矢量的转动。这个矢量永远垂直于光线的方向，而且每秒绕该方向转过一定的转数。在磁现象中，转动的东西没有可以据以确定其侧面的任何性质，从而我们就不能确定它每秒转动多少次。

因此，在磁现象中，就没有任何东西和光现象中的波长及波动传播相对应。在有一个恒定磁力作用于其内的媒质中，并不会由于该力的作用而像当有光在其内传播时那样充满一种沿一个方向前进的波动。光现象和磁现象之间的唯一相似性就是，在媒质的每一点上，存在某种东西，它具有以磁力方向为轴的角速度的本性。

关于分子漩涡假说

822．〕　正如我们已经看到的那样，关于磁对偏振光的作用的考虑，导致了这样的结论：在一种处于磁力作用下的媒质中，和角速度属于同一数学类别的某种东西形成了现象的一个部分，而它的轴线就沿着磁力的方向。

这个角速度，不可能是具有可觉察大小的任何媒质部分作为整体而转动的角速度。因此我们必须把转动设想成媒质的一些很小部分的转动，每一个小部分都绕着自己的轴线在转动。这就是分子漩涡假说。

虽然正如我们已经看到的那样（第575节）。这些漩涡的运动并不会显著影响大物体的可见运动，但是它们却可能会影响波动学说中光的传播所依据的那种振动性的运动。在光的传播过程中，媒质的位移将引起各漩涡的一种扰动，而当受到这样的扰动时，各漩涡就会反作用于媒质，以致影响了光线传播的方式。

823．〕　在目前我们对漩涡的本性毫无所知的状态下，不可能指定联系着媒质的位移和漩涡的变化的那种定律的形式。因此我们将假设，由媒质的位移所引起的漩涡的变化，服从亥姆霍兹在他有关涡流运动的伟大著作 ^〔115〕 中已经证明了的支配着理想液体之漩涡变化的相同条件。

亥姆霍兹的定律可以叙述如下：设P和Q是一个漩涡的轴线上的两个相邻的质点，如果由于流体的运动，这两个质点达到了P′、Q′二点，则直线P′Q′将代表漩涡轴线的新方向，而漩涡的强度则将按P′Q′和PQ之比而发生变化。

因此，如果α、β、γ代表一个漩涡的强度的分量，而ξ、η、ζ代表媒质的位移，则α、β、γ的值将变成　　

现在我们假设，同样的条件在一种媒质的微小移动过程中也是满足的，在那种媒质中，α、β、γ不是代表一个普通漩涡的强度分量，而是代表磁力的分量。

824．〕　媒质的一个元部分的角速度分量是

我们假说中的其次一步就是一个假设，即认为媒质的动能包括形式如下的一项：

这就和下述假设相等价：媒质元在光的传播过程中所获得的角速度，是可能出现在和用来解释磁现象的那种运动的关系中的一个量。

为了建立媒质的运动方程，我们必须用媒质各部分的分量为 的速度把它的动能表示出来。因此我们就分部求积分，并得到

二重积分涉及的是媒质的边界面，这个边界面可以似设为位于无限远处。因此，当探索发生在媒质内部的过程时，我们可以只注意那个三重积分。

825．〕　由这个三重积分来表示的单位体中动能的那一部分，可以写成

式中u、v、w是由第607节中的方程组（E）给出的电流分量。

由此可以看出，我们的假说和另一条假设相等价；那假设就是，一个媒质质点的分量为 的速度，是可能出现在和分量为u、v、w的电流的关系中的一个量。

826．〕　现在回到（4）式中三重积分号下面的那个表示式。把α、β、γ的值代成由方程组（1）给出的α′、β′、γ′的值，并用　　 来代表

被积分式就变成　　

在垂直于z轴的平面波的事例中，各位移只是z和t的函数，于是就有 而上式变为　　

现在，就其依赖于各位移速度的情况来看，单位体积的动能就可以写成

式中ρ是媒质的密度。

827．〕　对单位体积来说的外加力的分量X和Y，可以利用拉格朗日方程（第564节）而由此式导出。我们注意，通过对z进行两次分部积分并略去边界面上的二重积分，可以证明 由此即得

因此力的表示式就由下式给出：　　

这些力是由媒质的其余部分作用在所考虑的媒质元上的，从而在各向同性媒质的事例中必然具有由科希指出的形式，　　

828．〕　如果现在我们考虑满足　　

的圆偏振光的事例，我们就发现，关于单位体积中的动能，应有

而关于单位体积中的势能则有　　

式中Q₁ 是q² 的一个函数。

在第819节的方程（6）中给出的光线自由传播的条件是　　

此式给出　　

由此就能求得用q表示出来的n值。

但是，在受到磁力作用的一条具有给定波动周期的光线的事例中，我们所要确定的是用γ为常量时的 表示出来的n为常量时的 求（18）式的导数，就有

于是我们就得到　　

829．〕　如果λ是空气中的波长，v是空气中的波速，而i是媒质中的对应折射率，则有

｛从而也有

由磁作用引起的q值的改变量，在任何情况下都是它的值的一个非常小的分数，因此我们就可以写出　　

式中q₀ 是磁力为零时的q值。在通过媒质的一个厚度c时偏振面转过的角度θ，等于qc的正值和负值之和的一半，其正负号应改变，因为方程（14）中的q是负的。于是我们就得到　　

这个分数的分母中的第二项，近似地等于当光在媒质中通过一个等于（媒质中的）波长之半｛的 倍｝的厚度时偏振面转过的角度。因此它就是我们在一切事例中和1相比都可以忽略不计的一个量。

写出　　

我们就可以把m叫做媒质的磁旋系数，这是一个必须通过观测来确定它的值的量。经发现，多数抗磁性媒质的m是正的，而某些顺磁性媒质的m则是负的。因此，作为我们的理论的最后结果，我们就有　　

式中θ是偏振面的旋转角，m是通过媒质的观测来确定的一个常量，γ是投影到光线方向上的磁力强度，c是媒质内部的光线长度，λ是光在空气中的波长，而i是媒质的折射率 ^〔116〕 。

830．〕　这种理论迄今为止所经受过的唯一检验，就是在相同的磁力作用下通过相同媒质的不同种类的光的θ值的比较。

这种比较已由外尔代特先生针对为数颇多的媒质作过了 ^〔117〕 ，他得到了下列的结果：

（1）不同颜色的光线的偏振面的磁致旋转，近似地服从波长的平方反比定律。

（2）现象的确切规律永远使得旋转角和波长平方的乘积从光谱的折射性最小的一端向折射性最大的一端递增。

（3）这种递增性最显著的物质，也就是具有最大色散率的那些物质。

他也发现，在本身就会引起偏振面的旋转的酒石酸溶液中，磁致旋转根本不是和自然旋转成正比的。

在加在同一论著中的补充论述 ^〔118〕 中，外尔代特也给出了用二硫化碳和木馏油做的很仔细的实验的结果；在这两种物质中，对波长平方反比定律的偏差是很明显的。他也把这些结果和由下列三个不同的公式给出的数值进行了对比：

（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）

这些公式中的第一个（Ⅰ），是我们在第829节的方程（26）中已经得出的。第二个公式（Ⅱ），可以通过在第827节的方程（10）和（11）中不是代入形如 和 的项而是代入 和 的项来得出。就我所知这个方程的形式并不曾由任何物理理论提出过。第三个公式，（Ⅲ），来自M. C. 诺依曼的物理理论 ^〔119〕 ，在那种理论中，运动方程含有形如 和 的项 ^〔120〕 。

很明显，由公式（Ⅲ）给出的θ值甚至并不能近似地和波长的平方成反比。由公式（Ⅰ）和（Ⅱ）给出的值满足这一条件，而且这些值也和在中等色散率的媒质中观测到的值差强人意地相符合。然而，对于二硫化碳和木馏油来说，由（Ⅱ）给出的值却和观测值分歧很大。由（Ⅰ）给出的值和观测值符合得稍好，但是，尽管在二硫化碳的事例中符合性较好，在木馏油的事例中分歧却大得不能用任何的观测误差来加以说明。

偏振面的磁致旋转（据外尔代特）

我们对物体分子构成的细节所知太少，以致不太可能建立联系到对光的磁作用这样的具体现象的任何理论；那要等到我们已经通过建筑在若干不同的可见现象被发现为依赖于涉及分子作用的那种事例上的归纳综合，了解了有关一些性质的某种更确定的知识时才行，那些性质就是为了满足观测到的各事实的条件而必须指定给分子的。

以上提出的这种理论显然是一种暂时性的理论，它依据了有关分子漩涡之本性的以及有关它们受到媒质位移之影响时的那种方式的一些未经证实的假说。因此我们必须认为，和观测事实的任何符合，在偏振面的磁致旋转理论中都比在光的电磁理论中具有更加小得多的科学价值，因为光的电磁理论虽然也涉及了关于媒质的电性质的一些假说，但它却并没有涉及媒质的分子构造之类的问题。

831．〕　注　整个这一章可以看成威廉·汤姆孙爵士的一个非常重要的说法的引申。他在Proceedings of the Royal Society, June 1856上写道：“法拉第所发现的对光的磁影响，依赖于运动粒子的运动方向。例如，在具有运动粒子的媒质中，沿着平行于磁力线的直线而运动的粒子会被弄成沿着以该直线为轴的螺旋线而运动，然后，以这样的速度切向投影成描绘圆周，就将按照它们的运动是绕向一个方向（和磁化线圈中传导电流的名义方向相同）或是绕向相反的方向而具有不同的方向。但是，不论粒子的速度和方向如何，媒质的弹性反作用对相同的位移必然是相同的。这就是说，被圆周运动的离心力所平衡的力是相等的，而光运动则是不相等的。因此，那些绝对圆周运动或者相等，或者把相等的离心力传给起初考虑的那些粒子，由此就可以推知，光运动只是整个运动的一个成分，而且，沿一个方向的较弱的光运动和当并未传送光时存在于媒质中的运动结合起来，将与沿相反方向的较强的光运动和同一非光运动结合起来时给出相同的合运动。平行于磁力线而通过磁化玻璃传送的具有相同的性质即永为左手或永为右手的圆偏振光，将按照它的路程是沿着还是反着一个北磁极被画出的方向而以不同的速度传播；关于这个事实，我认为不仅不可能设想出和上述这种动力学解释有所不同的任何动力学解释，而且我也相信，可以阐明这一事实的任何别的解释都是不可能的。因此，看样子，法拉第的光学发现给关于磁的终极本性的安培解释提供了一种证明，并且在热的动力论中给出了一个磁化的定义。动量矩原理（‘面积的守恒性’）在兰金‘分子漩涡’假说的数学处理中的引用，似乎表明一条垂直于热运动之合角动量平面（‘不变的平面’）的直线就是磁化物体的磁轴；而且这也意味着，这些运动的合动量矩就是‘磁矩’的确切量度。一切电磁的吸引或推斥现象，以及电磁感应现象，其解释都应该简单地到其运动构成热的那种物质的惯性和压力中去寻找。这种物质是不是电，它是一种填充在分子核之间的空间中的连续流体呢还是本身也有分子结构，或者，是不是一切物质都是连续的而分子性的不均匀性只存在于物体各相邻部分的有限的漩涡运动或其他相对运动方面，这在目前的科学状况下还是无法确定的，而且或许推测它也是无用的。”

我曾经相当详细地发展了一种分子漩涡理论，见Phil. Mag. for March, April, and May, 1861, Jan. and Feb. 1862.

我认为，我们有很好的证据可以相信，磁场中有某种转动现象在进行着，这种转动是由许许多多很小的物质部分在进行着的，其中每一个小部分都绕着自己的轴线在转动，这个轴线平行于磁力的方向，而且，通过彼此之间的某种连接机制，这些不同的漩涡是被弄得互相制约着的。

然后我就试着设想了这种机制的一个可行的模型。这种尝试不能过分当真，它只是一种演示，表明可能设想出一种机制，它可以产生一种连接，在力学上和电磁场各部分之间的实际连接相等价。为了在一个体系各部分的运动之间建立一种给定类型的联系，就需要某种机制；这种机制的确定问题永远可以有无限多种解。在这许多解中，有些解可能比别的解更加复杂和更加别扭，但是所有的解都必须满足机制的普遍条件。

然而，理论的下列结果却具有较高的价值：

（1）磁力是各漩涡的离心力的效应。

（2）电流的电磁感应是当各漩涡的速度发生变化时所引起的那些力的效应。

（3）电动势起源于连接机制上的胁强。

（4）电位移起源于连接机制的弹性屈服。

第五十五章　用分子电流来解释铁磁性和抗磁性

关于磁性的电磁学说

832．〕　我们已经看到（第380节），磁体和磁体之间的相互作用，可以用一种叫做“磁质”的假想物质的吸引和推斥来准确地代表。我们已经指出了为什么我们不能假设磁质能够像当我们磁化一个棒时起初想象的那样从磁体的一部分经过一个可觉察的距离而运动到磁体的另一部分，从而我们就被引导到了泊松的假说，即磁质是严格地局限在磁性物质的单个分子中的，因此一个磁化了的分子就是种类相反的磁质或多或少地向分子的相对两端分开的一个分子，但是其中任何一种磁质都永远不能真正地脱离分子（第430节）。

这些论点就能完全确立一个事实，即磁化不是大块的铁的现象而是分子的现象，也就是说，是物质的那样一些很小的部分的现象，它们太小了，以致我们无法用机械的手段把它们一分为二，以便得到一个和南极分离开的北极。但是，不经进一步的探索，磁分子的本性却绝不是已经确定的。我们已经看到（第442节），有很强的理由可以相信，对铁或钢进行磁化的动作并不是把磁性传给组成铁或钢的那些分子，而是这些分子即使在未被磁化的铁中就已经是磁性分子了，但是它们的轴线却不偏不倚地指向所有的方向，而磁化的动作则只是转动那些分子，使它们的轴线或是完全指向一个方向，或是至少偏向那个方向。

833．〕　然而，我们还没有得到有关磁性分子之本性的任何解释，也就是说，我们还没有认识到它和我们更加了解的任何其他东西的相似性。因此我们必须考虑安培的假说，就是说，分子的磁性起源于一种在分子内部不断地沿某种闭合路线进行着的分子电流。

利用一个在其表面上适当分布的电流层来得出任一磁体在其外部各点上的作用的一种确切模拟，总是可能的。但是，磁体在其内部各点上的作用，却是和电流在各对应点上的作用完全不同的。因此安培就得出结论说，如果磁性是要借助于电流来加以解释的，这些电流就必然在磁体的分子内部流动，而不应该从一个分子流到另一个分子。 由于我们不能测量分子内部的一点上的磁作用，这一假说就不能像我们可以否证磁体内部可觉察范围内的电流的假说那样加以否证。

除此以外，我们也知道，当从导体的一个部分过渡到另一个部分时，一个电流就遇到电阻并产生热；因此，假如有普通种类的电流绕着可觉察大小的磁体部分在进行，那就会有一种经常的能量耗损来保持这些电流，而且一个磁体也将是一个永久性的热源。人们

对分子内部的电阻是毫无所知的，因此，通过把电路限制在分子内部，我们就可以断言电流在分子内运行时不会遇到任何电阻，而且我们用不着害怕任何矛盾。

因此，按照安培的学说，所有的磁现象都起源于电流，而且，假如我们能够对一个磁性分子内部的磁力进行观测，我们就将发现这种磁力和由任何其他电路包围着的区域中的磁力服从完全相同的规律。

834．〕　当处理磁体内部的力时，我们曾经假设测量是在从磁体物质中挖出的小空腔中进行的，见第395节。这样我们就被引导到了两个不同量的考虑，即磁力和磁感的考虑，这二者都被假设为是在磁性物质已被取走的空间中观测的。我们并没有认为自己能够穿透磁性分子的内部并观测分子内部的力。

如果我们采用安培的学说，我们就把一个磁体不是看成其磁化按照某种容易想象的规律而从一点到另一点地变化的一种连续的物质，而是把它看成为数甚多的一群分子；在每一个分子中都流动着一套电流，它们引起一种极其复杂的磁力分布；分子内部的磁力的方向，通常是和它的邻域中的平均磁力的方向相反的；而在它存在的地方，磁势也是一个多重函数，其重数就如磁体中的分子数那样地大。

835．〕　但是我们却将发现，尽管存在这种表观复杂性（然而这种复杂性只不过起源于许多较简单部分的同时存在），通过采用安培学说并把我们的数学眼光伸展到分子的内部，磁的数学理论却是被大大简化了的。

首先，磁力的两个定义变成了一个定义，二者都和适用于磁体外部空间的定义相同了。其次，磁力的分量到处都满足磁感分量所满足的条件了，就是说，到处都满足下一条件了：　　

换句话说，磁力的分布和一种不可压缩流体的速度的分布具有相同的性质，或者，正像我们在第25节中已经表述过的那样，磁力是没有敛度的。

最后，三个矢量函数即电磁动量、磁力和电流，变得更简单地相互联系着了。它们都是没有敛度的矢量函数，而且它们是按次序一个从一个用相同的手续导出的，其手续就是求空间变化率，即哈密顿用符号∇来表示的那种运算。

836．〕　但是我们现在是在从一种物理的观点来考虑磁，从而我们就必须追问分子电流的物理性质。我们假设有一个电流在分子中循环不已，而且它并不会遇到任何电阻。设L是分子电路的自感系数，而M是这一电路和某一其他电路之间的互感系数，那么，如果γ是分子中的电流而γ′是另一电路中的电流，则电流γ的方程是

而既然按照假说并不存在任何电阻，我们就有R＝0，于是通过积分就得到

让我们假设分子电路在分子轴线的垂面上的投影面积是A，该轴线定义为使投影面积为最大的那个平面的法线。如果其他电流在一个和分子轴线成θ角的方向上引起的磁力是X，则量Mγ′变成XAcosθ，而作为电流的方程我们就有

式中γ₀ 是当X＝0时的γ值。

因此，看来分子电流的强度完全依赖于它的原始值γ₀ ，也依赖于由其他电流引起的磁力的强度。

837．〕　如果我们假设不存在原始电流而是电流完全起源于感应，则有

负号表明感生电流的方向和施感电流的方向相反，而且它的磁作用是在电路内部沿着和磁力相反的方向而起作用。换句话说，分子电流像一个小磁体那样起作用，它的两极是指向施感磁体的同名极的。

这是一种作用，它和铁分子在磁力影响下的作用相反。因此，铁中的分子电流并不是由感应作用引起的。但是在抗磁性物质中却有一种这样的作用被观察到，而事实上这也正是由韦伯最初提出的对于抗磁体的解释。

韦伯的抗磁性理论

838．〕　按照韦伯的理论，在抗磁性物质的分子中存在某些渠道，而电流可以沿着这些渠道运行而不受到阻力。很显然，如果我们假设这些渠道沿一切方向而穿过分子，那就等于把分子看成一个理想的导体。

从假设分子内的一个线性电路开始，我们就得到由方程（5）给出的电流强度。

电流的磁矩是它的强度和电路面积的乘积，即γA，而这个磁矩沿磁化力方向的分量则是γAcosθ，或者由（5）就得到　　

如果单位体积中有n个这样的分子，而它们的轴线是不偏不倚地沿一切方向分布的，则cos² θ的平均值将是　　 而物质的磁化强度将是

因此，诺依曼的磁化系数就是　　

因此物质的磁化是沿着磁化力的反方向的，或者换句话说，物质是抗磁性的。磁化也和磁化力确切地成正比而并不像普通的磁感应事例中那样趋于一个有限的极限。请参阅第442等节。

839．〕　如果各分子渠道的轴线方向不是不偏不倚地沿一切方向排列，而是沿某些方向的数目较多，则按所有分子计算的和式 将按照从它开始测量θ值的那条直线的方向之不同而有不同的值，而这些值在不同方向上的分布将和绕通过同一点而方向不同的轴线的惯量矩的分布相似。

这样一种分布将解释由普吕克尔所描述了的那种和物体中的轴线有关的磁现象，即法拉第所说的磁晶现象。请参阅第435节。

840．〕　现在让我们考虑，如果不是把电流限制在分子内的某些渠道中，而是整个的分子被假设成一个理想的导体，那将有什么效应呢？

让我们从一个非环形物体的事例开始；就是说，物体不是一个环或一个穿了孔的物体。让我们假设这个物体到处都被一个理想导电物质的薄壳所包围。

我们在第654节中已经证明，一个任意形状的理想导电物质的闭合层，本来不带有电流，当受到外磁力的作用时就变成一个电流层，其作用是足以在层的内部各点上使磁力等于零。

如果我们注意到一个情况，那就可能有助于我们理解这一事例。其情况就是，磁力在这样一个物体附近的分布，和一种不可压缩流体的速度在一个相同形状的不可穿透性物体附近的分布相似。

很显然，如果另一些导电壳被放在第一个壳的内部，既然它们并没有受到磁力的作用，也就不会有任何电流在它们中被激起。因此，在一个由理想导电材料构成的固体中，磁力的效应就是激起一个完全限制在物体表面上的电流系。

841．〕　如果导电物体具有半径为r的球的形状，则它的磁矩可被证明｛利用在第672节中给出的方法来证明｝为等于 而且，如果有若干个这样的球分布在一种媒质中，使得单位体积中的导电物质的体积是k′，则通过在第314节的方程（17）中令k₁ ＝∞、k₂ ＝1和p＝k′，我们就能求出磁导率；这时把磁导率看成那一节中的电阻的倒数，即　　

由此，关于泊松的磁系数，我们就有　　

而关于诺依曼的感应磁化系数，就有　　

既然理想导电物体的数学观念导致一些和我们在普通导体中所能观察到的任何现象都非常不同的结果，那就让我们更多地考察一下这个课题吧。

842．〕　回到像第836节中那样的具有面积为A的闭合曲线形状的导电渠道的事例，关于倾向于使角θ增大的电磁力矩，我们就有

按照θ大于或小于直角，这个力是正的或负的。由此可见，一个理想导电渠道的磁力的效应，就是倾向把它转得使它的轴线和磁力线相垂直，也就是使渠道的平面变成和磁力线相平行。

把一个铜币或铜环放在电磁铁的两极之间，就能观察到种类相似的一个效应。在磁铁被激励的那一瞬间，铜环就把它的平面转向轴的方向，但是电流一经被铜的电阻所消灭，力也就变成零了 ^〔121〕 。

843．〕　到此为止，我们只考虑了分子电流完全由外磁力所激起的事例。其次让我们分析韦伯关于分子电流之磁电感应的理论和安培关于普通磁性的学说之间的关系。按照安培和韦伯的看法，磁性物质中的分子电流不是由外磁力所激起而是早已存在的，

而分子本身则是受到电流在其中流动的电路上的那种磁力的电磁作用的影响并被那种作用所偏转的。当安培创立了这个假说时，电流的感应现象还是未知的，从而他就没有提出任何假说来说明分子电流的存在或确定它们的强度。

然而，现在我们必须对这些电流应用韦伯对他的抗磁性分子中的电流所应用的那些同样的定律。我们只需假设，当没有磁力作用时，电流γ的原始值不是零而是γ₀ 。当一个磁力X作用在一个面积为A而轴线和磁力线夹一角度θ的分子电流上时，电流强度是

而倾向于转动分子以使θ增大的力偶矩是　　

因此，在第443节中的探索中令　　

平衡方程就变成　　

电流的磁矩在X方向上的分量是

844．〕　这些条件和韦伯的磁感应理论中那些条件的差别在于含有系数B的各项。如果BX和1相比是很小的，这些结果就将趋近于韦伯的磁性理论中的结果。如果BX和1相比是很大的，这些结果就将趋近于韦伯的抗磁性理论中的结果。

喏，分子电流的原始值γ₀ 越大，B就将变得越小，而如果L也很大，则这也会使B减小。现在，如果电流是在一个环形的渠道中流动的，则L的值依赖于 式中R是渠道的中线的半径，而r是其截面的半径。因此，渠道截面和它的面积相比越小，自感系数L就越大，而现象就越和韦伯的原始理论相一致。然而却存在一点不同，即当磁化力X增大时暂时磁矩不仅将达到一个极大值，而且以后将随X的增大而减小。

假如有一天能够在实验上证明任何物质的暂时磁化在磁化力连续增大时是起初增大而后减小的，我认为这些分子电流之存在的证据就会几乎被提高到证明的等级了 ^〔122〕 。

845．〕　如果抗磁性物质中的分子电流是限制在一些确定的渠道中的，而且各分子是像磁性物质的分子那样可以被偏转的，则当磁力增大时抗磁极性将是一直增大的，但当磁力很大时极性就增大得不像磁力那样快。然而，抗磁系数的很小的绝对值却表明，作用在每一个分子上的致偏力，和作用在一个磁性分子上的致偏力相比一定是很小的，因此由这种偏转引起的任何结果都不太可能是觉察得到的。

另一方面，如果抗磁性物质中的分子电流可以在分子的物质整体中自由地流动，抗磁极性就将严格地正比于磁化力，而其量值则将导致理想导电物质所占之全部空间的一种测定，而且，如果我们知道分子的数目，这个量值也将导致分子大小的测定。

第五十六章　远距作用理论

关于高斯和韦伯所提出的对安培公式的解释

846．〕　按照安培公式，载有强度为i和i′的两个电路的元段ds和ds′之间的吸引力是　　

或者写成　　

式中的电流用电磁单位来量度。请参阅第526节。

我们现在必须诠释其意义的各个出现在这些表示式中的量是 和 而应该到那里去寻求一种建筑在电流之间的直接关系上的诠释的最明显的现象就是两个电路元中的电荷相对速度。

847．〕　因此，让我们考虑分别以速度v和v′而沿着电路元ds和ds′运动的粒子的相对运动。这些粒子的相对速度的平方是　　

而如果我们用r来代表二粒子之间的距离，就有　　

式中的符号∂表示，在被微分的量中，粒子的坐标要用时间表示出来。

因此就看到，方程（3）、（5）和（6）中含乘积vv′的各项包含了那些出现在（1）和（2）中的必须加以诠释的量。因此我们就力图用 和 把（1）和（2）表示出来。但是，为了做到这一点，我们必须把其中每一表示式中的第一项和第三项消去，因为它们含有一些并不出现在安培公式中的量。由此可见，我们不能把电流解释成仅仅沿一个方向的电传递，而是在每一个电流中都要把两个反向的流动结合起来，以便含有v² 和v′² 的各项的组合效应可以是零。

848．〕　因此让我们假设，在第一个电路元ds中，我们有一个以速度v运动着的带电质点e和另一个以速度v₁ 运动着的带电质点e₁ ；而且同样，在ds′中也有两个分别以速度v′和 运动着的质点e′和

对这些质点的组合作用来说，含v² 的项是

同理就有　　

以及　　

要想使∑v² ee′可以是零，我们就必须有　　

按照菲希诺尔的假说，电流就是一个沿正方向的正电之流和一个沿负方向的负电之流的结合体，二者在运动着的电量和运动所取的速度方面都在数值上恰好相等。由此可见，（10）中的两个条件都是被菲希诺尔假说所满足的。

但是，为了我们的目的，只要一条假设也就够了：或是假设每一电流元中的正电量在数值上等于负电量，或是假设两种电量都和它们的速度平方成反比。

现在我们知道，通过使第二条导线作为整体而带电，我们可以使e＋e′为正或为负。按照这一公式，即使并未载有电流，这样一条带电的导线也会对载有电流而其内部的 有一个异于零的值的第一条导线作用以力。这样的作用从来不曾被观察到过。

因此，既然e＋e′这个量可以在实验上被证实为并不永远等于零，既然 这个量并不能在实验上进行检验，那么，对于这些思索来说，假设后一个量永远为零就是比较好的。

849．〕　不论我们采用什么假说，无可怀疑的都是，代数地计算下来，沿第一个电路的总的电荷传输应由下式表示：ve＋v₁ e₁ ＝cids，式中c是单位电流在单位时间内所传输的静电的单位数；于是我们就可以把方程（9）写成

因此，（3）、（5）和（6）的四个值的和就变成

从而我们就可以把ds和ds′之间的吸引力的两个表示式（1）和（2）写成

和　　

850．〕　在静电理论中，两个带电质点e和e′之间的推斥力的普通表示式是 而且

此式就给出两个电路元之间的静电推斥力，如果它们是作为整体而带电的话。

由此可见，如果我们假设两个电路元之间的推斥力满足下列两个修订了的表示式中的任一个：　　

或　　 ^〔123〕

我们就可以从它们既推出普通的静电力，又推出由安培确定出来的作用在电流之间的动力。

851．〕　这些表示式中的第一个（18），是由高斯 ^〔124〕 在1835年7月间发现，并被他诠释为一条电作用的基本定律的；他说：“两个电荷元在相对运动的状态中会互相吸引或互相推斥，但其方式和它们处于相对静止时不同。”就我所知，这一发现在高斯在世时并没有发表，从而第二个表示式就是被科学界得知的这种结果中最早的一种；这个表示式是由韦伯独立地发现的，发表在他那著名的Elektrodynamische Maasbestimmungen的第一编中 ^〔125〕 。

852．〕　当应用于两个电流之间的机械力的确定时，这两个表示式就导致完全相同的结果，而且这种结果是和安培的结果等同的。但是当把它们看成两个带电质点之间的作用的物理定律的表示式时，我们必须追问它们是否和其他已知的自然事实相容。

这两个表示式都包含着质点的相对速度。喏，当通过数学推理来建立众所周知的能量守恒原理时，人们普遍地假设作用在两个质点之间的力只是距离的函数，而且人们通常说，如果力是其他东西的函数，例如时间或质点速度的函数，则原理的证明是不成立的。

因此，一条涉及质点速度的电作用定律，有时曾经被认为是和能量守恒原理相矛盾的。

853．〕　高斯的公式和这一原理相矛盾，从而必须被放弃，因为它导致一条结论，认为能量可以借助于物理手段而在一个有限的体系中无限地产生出来。这种反驳不适用于韦伯的公式，因为他曾经证明 ^〔126〕 ，如果我们假设由两个带电质点组成的体系的势能是

则通过对r求此式的导数并变号而得到的质点间的推斥力是由公式（19）给出的。

由此可见，一个固定质点的推斥力对一个运动质点做的功就是φ₀ －φ₁ ，式中φ₀ 和φ₁ 是φ在运动质点的路径起点和路径终点上的值。喏，φ不但依赖于距离r，而且依赖于速度沿r的分量。因此，如果质点描绘了任何一条闭合的路径，使得它在终点上的位置、速度以及运动方向都和在起点上的相同，则在这一循环过程中总的来说将是没作任何功的。

由此可见，无限大数量的功并不能由一个在韦伯所假设的力的作用下以一种周期方式运动着的粒子所作出。

854．〕　但是，在他的《静止导体中电的运动方程》 ^〔127〕 这篇重要的论著中，亥姆霍兹一方面证明了韦伯的公式当只考虑在完整的循环过程中所做的功时是并不和能量守恒原理相矛盾的，另一方面他也指出了，韦伯的公式导致这样一个结论：按照韦伯定律而运动的两个带电质点在起初可以有有限的速度，但是当彼此相距还为有限距离时，它们却可以获得无限的动能，也可以作无限的功。

对于这种批评，韦伯 ^〔128〕 回答说：在亥姆霍兹的例子中，质点的初始相对速度虽然是有限的，但却是大于光速的，而且，动能变为无限时的距离虽然是有限的，但却是小于我们所能觉察的，从而把两个质点弄得如此靠近就可能是在物理上做不到的。因此这个例子就不能用任何实验的方法来加以检验。

于是亥姆霍兹 ^〔129〕 就叙述了一个事例；在这个事例中，对于实验验证来说距离不是太小，而速度也不是太大。一个半径为a的固定的不导电的球面被充电到了面密度为σ。一个质量为m而带有电荷e的质点在球内以速度v而运动。由公式（20）算出的电动力学势能是

从而是和质点在球内的位置无关的。在这个结果上加上由其他力的作用所引起的另一部分势能V和质点的动能 我们就得到能量方程

既然v² 的系数中的第二项可以通过增大球的半径a并使面密度σ保持不变而无限地增大，v² 的系数就可以被弄成负数。于是质点运动的加速就将对应于它的“活动”（vis viva）的减小，而一个沿闭合路径运动并受到像摩擦力一样永远和运动方向相反的一个力的作用的质点，就将不断地增大它的速度，而且这是没有限度的。这种不可能的结果是假设一种势能公式的必然推论，那种公式在v² 的系数中引入了负项。

855．〕　但是我们现在必须考虑韦伯理论对可以实现的现象的应用。我们已经看到它怎样给出两个电流元之间的吸引力的安培表示式。一个电流元在另一电流上的势通过对两个电流元中正、负电流的四种组合求和来求得。由方程（20），求 的四个值的和，结果就是　　

而一个闭合电流在另一个闭合电流上的势就是　　

式中正如在第423、524节中一样，　　

在闭合电流的事例中，这一表示式和我们已经（在第524节中）得到的表示式相等同 ^〔130〕 。

韦伯的电流感应理论

856．〕　韦伯在从安培的关于电流元之间的作用的公式推得了他自己的关于运动带电质点之间的作用的公式以后，就着手应用他的公式来解释电流由磁电感应所产生的现象了。在这一点上他是杰出地成功的，从而我们将说明可以用来从韦伯公式推出感生电流定律的那种方法。但是我们必须提到，从安培发现的现象推出的一条定律也可以说明后来由法拉第发现的现象，而这一事实却并不像我们起初所设想的那样在定律之物理真实性的证据上增加了多大的重量。

因为，亥姆霍兹和汤姆孙已经证明（见第543节），如果安培的现象是真实的，而且能量守恒定律也是被承认的，则法拉第所发现的感应现象是必然的推论。现在，韦伯的定律，以及它所涉及的关于电流本性的各种假设，通过数学变换而导致了安培的公式。韦伯的定律也是和能量守恒定律相一致的，只要势存在就行，而势存在也正是亥姆霍兹和汤姆孙应用该原理时所唯一要求的。因此，甚至在对这一课题作出任何应用之前，我们就可以断定韦伯的定律将能够解释电流的感应了。因此，计算证明它能够解释电流感应这一事实，就不能使定律之物理真实性的证据有任何的增减。

另一方面，高斯的公式尽管能够解释电流的吸引现象，但它却和能量守恒原理不能相容，从而我们就不能断定它将解释所有的感应现象。事实上它并不能做到这一点，正如我们在第859节中即将看到的那样。

857．〕　现在我必须考虑当ds在运动中而它的电流可以变化时由电流元ds在电流元ds′中引起的电流。

按照韦伯的观点，对ds′是它的一个元的那个导体的材料的作用，是对它所携带的电的所有作用之和。另一方面，作用在ds′中的电上的电动力，却是作用在它内部的正电和负电上的电力之差。既然所有这些力都是沿着二电流元的连线而起作用的，作用在ds′上的电动力也就是沿着这一连线的，而为了解释沿ds′方向的电动力，我们就必须把力投影到该方向上。为了应用韦伯的公式，我们必须计算出现在公式中的各项，所依据的假设是，电流元ds′是相对于ds′而运动着的，而且两个电流元中的电流都是随时间而变的。这样求得的表示式将包括含v² 、vv′、v′² 、v、v′的一些项，以及不含v或v′的一些项，所有这些项都乘上了ee′。像从前那样检查每一项的四个值并首先考虑由四个值的和值所引起的机械力，结果发现，我们所必须照顾到的只有含乘积vv′ee′的那一项。

如果我们就考虑由第一个电流元对第二个电流元中正电和负电的作用之差所引起的倾向于在第二个电流元中产生电流的那个力，我们就会发现，我们所必须分析的唯一的一项就是含vee′的那一项。我们可以写出∑（vee′）中被感生的四项，于是就有

e′（ve＋v₁ e₁ ）和

既然 由这些项引起的机械力就是零，但是作用在正电e′上的电动力却是（ve＋v₁ e₁ ），而作用在负电 上的电动力则和此力相等而反向。

858．〕　现在让我们假设，第一个电流元ds是相对于ds′而以速度V沿着某一方向运动的，并且让我们用 和 来分别代表V的方向和ds的方向之间的夹角，于是两个带电质点的相对速度u的平方就是

含vv′的项和方程（3）中的一项相同。电动力所依赖的含v的那一项是

关于这一事例中r的时间变化率的值，我们也有　　

式中 指的是带电质点的运动，而 指的是物质性导体的运动。如果我们求出这个量的平方，则机械力所依赖的含vv′的项仍像从前那样和方程（5）中的一项相同，而电动力所依赖的含v的项则是

对t求（26）的导数，我们就得到

^〔131〕

我们发现，含vv′的项仍像从前一样和（6）中的一项相同。随着v的变号而变号的项是 和

859．〕　如果我们现在利用高斯的公式（方程（18））来计算由第一个电流元ds的作用而来的沿第二个电流元ds′方向的合电力，我们就得到

由于这个表示式中并没有包含电流i的变化率的项，而且我们知道原电流的变化会对副电路发生一种感应作用，因此我们就不能接受高斯的公式作为带电质点之间的作用的一种真实表示式。

860．〕　然而，如果我们使用韦伯的公式（19），我们就得到

或者写成　　

如果我们对s和s′求这个表示式的积分，我们就得到关于第二个电路中的电动势的方程如下：　　

现在，当第一个电路是闭合的时候，就有

由此即得　　

但是由第423、524节就有　　

如果两个电路都是闭合的，则方程（31）中的第二项等于零，因此我们就可以把第二个电路中的电动势写成　　

这是和我们已经根据实验确立了的结果相一致的，见第539节。

关于把高斯的公式看成起源于从一个带电质点以

常值速度传递到另一个带电质点的一种作用的问题

861．〕　高斯在一封写给W．韦伯的很有兴趣的信 ^〔132〕 中，提到了他在很久以前就从事过的一些电动力学的思索；他将会已经发表了这些思索，假如他当时能够确立了他认为是电动力学之真正关键的结果的话，那结果就是，通过考虑带电质点之间的一种作用来推出作用在它们之间的力，而那种作用不是瞬时性的，而是按一种类似于光的传播的方式而在时间中传播的。当他终止他的电动力学研究时，他并没有在进行这种推导方面取得成功，而且他有一种主观的信念，认为要想对这种传播的进行方式形成一种自洽的表示，这种推导首先就是必要的。

有三位杰出的数学家曾经试图提供这一电动力学的关键原理。

862．〕　伯恩哈德·黎曼在1858年向格丁根的皇家学会提出了一篇论文，但是随后又撤回了；这篇论文直到作者逝世以后才于1867年问世，见Poggendorff's Annalen, bd. cxxxi. pp. 237～263。在这篇论文中，从泊松方程的一种修订形式

出发，黎曼推导了电流的感应现象；在这里，V是静电势，而α是一个速度。

这个方程和表示波及其他扰动在弹性媒质中的传播的方程形式相同。但是作者似乎避免了明白地提到扰动在其中传播的任何媒质。

黎曼所作的数学探索曾由克劳修斯 ^〔133〕 进行过检查。他不承认数学过程的可靠性，而且证明了势像光一样地传播这一假说既不能导致韦伯的公式也不能导致已知的电动力学定律。

863．〕　克劳修斯也检查了C．诺依曼关于《电动力学原理》的另一篇更精密得多的论文 ^〔134〕 。然而诺依曼却曾经指出 ^〔135〕 ，他的关于势从一个带电质点传到另一个带电质点的理论，是和高斯所提出的、黎曼所采用的并由克劳修斯检查过的那种理论十分不同的；在那种理论中，传播是和光的传播相像的。相反地，按照诺依曼的看法，势的传播和光的传播之间却存在着要多大就多大的差别。

一个发光体向一切方向发射光，光的强度只依赖于发光体而不依赖于被光照到的物体的存在。

另一方面，一个带电质点发出势，其值 不但依赖于发射质点e，而且依赖于接收质点e′，而且依赖于发射时刻的质点间的距离r。

在光的事例中，强度随光向远方传播而减小；发射出去的势却流到它所作用的物体上而一点也不减小它的原始值。

被照物体所接受的光通常只是射在它上面的光的一部分；被吸引物体所接受的势和到达它的势是完全相同的，或者说是相等的。

除此以外，势的传送速度不是像光的速度那样相对于以太或空间为常量，而却有如一个抛射体的速度那样相对于发射质点在发射时刻的速度而为常量。

由此可见，为了理解诺依曼的理论，我们必须形成一种和我们在考虑光的传播时已经习惯了的表象很不相同的势的传递过程的表象。在高斯看来是必要的那种传递过程能否有一天会作为“可设想的表象”而被人们所接受，我无法断言，但是我自己却没有能够构造出诺依曼理论的一种自洽的思维表象。

864．〕　比萨的比提教授 ^〔136〕 曾经用一种不同的方式处理了问题。他假设电流在里边流动的那些闭合电路是由一些电路元构成的，而其中每一个电路元都周期性地被极化，也就是按相等的时间阶段而来回地被极化。这些极化的电流元像一些小磁体那样互相发生作用，各磁体的轴线沿电路的切线方向。这种极化的周期在所有的电路中都是相同的。比提假设一个极化电路元对隔着一个距离的另一极化电路元的作用不是瞬时出现的而是在一段和二电路元之间的距离成正比的时间之后才出现的。用这种办法，他求得了一个电路对另一个电路的作用的表示式，和已知为真确的那些表示式相符合。然而，克劳修斯在这一事例中也批评了数学计算的某些部分，其详情在此不赘述。

865．〕　在这些杰出人物的头脑中，似乎对光和热的辐射现象以及在一个距离上的电作用在那里发生的一种媒质有一种偏见或反感。确实，在一个时期之内，那些思索物理现象之原因的人们习惯于借助一种以太流来说明每一种远距作用，那种以太流的功能和性质就是要产生这些作用。他们把全部空间充上了三四种不同的以太，它们的性质只是被发明了来“粉饰外表”的，为的是使更加理性化的研讨者们不但接受牛顿关于远距吸引力的确切定律，而且甚至也接受科太斯 ^〔137〕 的教条，即认为远距作用是物质的最原始性质之一，而且任何解释都不比这一事实更容易理解。因此，光的波动学说就曾经遇到许多的反对意见，这并不是指向它在解释现象方面的失败，而是指向它的光在其中传播的那种媒质之存在的假设。

866．〕　我们已经看到，在高斯的思想中，电动力学作用的数学表示导致了一种确信，认为一种关于电作用在时间中传播的理论将被发现就是电动力学的基础本身。喏，我们不能设想时间中的传播，除非是作为一种物质实体在空间中的飞行，或是作为一种运动状态或胁强状态在早已存在于空间中的媒质中的传播。在诺依曼的理论中，我们无法设想为一种物质实体的一个叫做势的数学观念被假设为从一个质点抛射向另一个质点，其方式和一种媒质完全无关，而且正如诺依曼本人已经指出的那样，其方式是和光的传播方式极不相同的。在黎曼和比提的理论中，看来作用是被假设为以一种和光的传播方式更相似的方式而传播的。

但是在所有这些理论中，很自然地会出现一个问题：如果某种东西是越过一段距离而从一个质点传送到另一个质点的，它在已经离开一个质点而尚未到达别的质点时的状况是怎样的呢？如果某种东西像在诺依曼理论中那样是两个质点的势能，我们应该怎样把这种能量想象为存在于一个既不和某一个也不和另外的质点相重合的空间点上呢？事实上，每当能量在时间中从一个物体被传送到另一个物体时，就必然有一种媒质或物质，而能量在离开一个物体以后和到达其他物体之前就是存在于这种媒质或物体中的，因为，正如托里拆利 ^〔138〕 所指出的那样，能量“是本性上如此稀薄的一种原质，它不能被容纳于除物体的最内在物质以外的任何容器中。”由此可见，所有的这些理论都引向一种媒质的观念，而传播就是在那种媒质中进行的；而且我认为，如果我们采纳这种媒质作为一种假说，它就应该在我们的探索中占据一种突出的地位，而且我们就应该努力构造一种关于它的作用的一切细节的思想表象，而这就一直是我在这部著作中的目标。

图　　版

图版1

（第118节）

力线和等势面A＝20．　B＝5．　P为平衡点．

图版2

（第119节）

力线和等势面A＝20．　B＝-5．　P为平衡点．　AP＝2AB．

Q为零势球面，M为沿轴线的力最大的点，虚线是Ψ＝0.1的力线。

图版3

（第120节）

力线和等势面

A＝10

图版4

（第121节）

力线和等势面

A＝15．　B＝12．　C＝20．

图版5

（第143节）

一个球面的大圆截面上的力线和等势面，该球面上的面密度等于一个一阶谐函数。

图版6

（第143节）

三阶球谐函数

n＝3．　O＝1

图版7

（第143节）

三阶球谐函数

图版8

（第143节）

四阶球谐函数

n＝4．　O＝2

图版9

（第143节）

四阶球谐函数

图版10

（第192节）

共焦的椭圆和双曲线

图版11

（第193节）

平板边沿附近的力线

图版12

（第202节）

二平板之间的力线

图版13

（第203节）

导线栅附近的力线

图版14

（第388节）

两个横向磁化的圆柱

图版15

（第434节）

横向磁化的圆柱，在均匀磁场中沿南北方向摆放

图版16

（第436节）

横向磁化的圆柱，在均匀磁场中沿东西方向摆放

图版17

（第496节）

受到直导体中电流的扰动的均匀磁场

图版18

（第487、702节）

圆形电流

图版19

（第731节）

两个圆形电流

图版20

（第225节）

均匀力场中的圆形电流

注　释

〔1〕 　汉斯汀教授在一封信中对奥斯特的发现作了另一次叙述，见the Life of Faraday by Dr. Bence Jones, vol. ii. p. 395.

〔2〕 　Ampère, Théorie des phénomènes électrodynamiques, 1826; Weber, Elektrodymamische Maasbestimmungen (Abhandlungen der königlich Sächs. Gesellschuft zu Leipzig. 1850～1852.)

〔3〕 　这一问题可以讨论如下：参照着第491节中的图63，让我们取OP的任一位置并引入假想的平衡电流即i沿BO而x、y沿OB。当连接在OP上的磁体被移动了整整一周时，被假设为沿ABOZ而运行的电流i对南极并不做功，因为该极描述了一条并未绕过电流的闭合曲线。然而北极却描述了一条确实绕过电流的闭合曲线，从而对该极做的功是4πmi。现在我们必须估算电路BPOB中的电流x和电路BRPOB中的电流y的效应。北极是位于这些电路平面的下方的，它的势将是-mxω_θ ＋my（ω－ω_θ ）而南极的势是-mxω′θ－my（-ω′＋ω′_θ ），式中ω_θ 和ω′_θ 是BOP在两个极上所张的立体角，而ω、ω′是圆形槽所张的立体角。总的势是my（ω＋ω′）－mi（ω_θ ＋ω′_θ ）。由此可见，当导线从OP沿方向NESW转回到OP时，势将改变一个量-mi（ω＋ω′）。因此电流所做的功就由正文中的公式给出。

下面是求得这种结果的一种稍许不同的方法：通过各导线和汞槽的电流和一些电流相等价，那就是通过汞槽的圆形电流i－x、通过电路POB的电流i以及通过AB、BO和竖直导线OZ的电流i。圆形电流显然不会引起使任一磁极沿着和电路同轴的圆而运动的任何力。北极在每一周中绕过电路AB、BO和竖直的OZ一次，因此对该极做的功就是4πim。如果Ω和Ω′分别是电路POB在磁体的北极上和南极上所张立体角的数值，则磁体和电路的势能是-mi×（Ω＋Ω′）。因此，如果θ是角POB，则在每一完整转动中对磁体做的功是 因此对磁体做的总功就是mi｛4π－（ω＋ω′）｝。

〔4〕 　这一点可以推导如下：考虑曲面ω₁ 上靠近二等势面交线处的一个点P，设O是交线上靠近P的一个点，那么就以O为心画一个单位半径的球面。电路在P点上所张的立体角，将由单位球上被曲面ω₁ 在O点的切面以及由电路在离O点某距离处的形状来确定的一个不规则锥面所切割下来的面积来量度。现在考虑曲面ω₂ 上一个靠近O点的点Q。电路在这个点上所张的立体角，将由以O为心的单位球上曲面ω₂ 在O点的切面以及一个不规则锥面所切割下来的面积来量度，而如果P和Q很靠近，这个锥面就将和以前的锥面相同。因此，二立体角之差就是两个切面之间的半月形面积，而这个面积就是二切面之间的夹角的两倍，也就是曲面ω₁ 和ω₂ 的交角的两倍，于是曲面之间的交角就是

〔5〕 　Trans. R. S. Edin., vol. xxv. p. 217, (1869).

〔6〕 　在这个法则中，ds是沿i的方向画出的，在观察者被假设为位于平行六面体上δx、ds和 所有出发的那个角上。

〔7〕 　电流的右侧就是一个观察者的右侧，其人背靠纸面，而电流从他的头流向他的脚。

〔8〕 　霍耳先生曾经发现（Phil. Mag. ix. p. 225, x. p. 301, 1880），一个稳定的磁场确实会使多数导体中的电流分布发生微小的变化，从而正文中方括号内的说法必须被认为只是近似地对的。

〔9〕 　关于这一实验导致平方反比定律的另一种证明在第523节中给出，而且读者也许会觉得那证明比以上的证明更加简单和更有说服力。

〔10〕 　人们可能会反驳说，我们没有理由假设在这一事例中就不存在力，因为，例如说有一个力作用在β上，该力垂直于β又垂直于r′，而其方向则是当按照右手螺旋的转动使r′绕β转过90°时所将得到的方向，而这样的规则就指示一个力，它满足这样的条件：如果两个电路元件中有一个变号而不是两个都变号，则力将反向。假设这样的力并不存在的理由就是，力的方向将只取决于电流的方向，而不会取决于它们的相对位置。例如，如果图69中的P′不是位于P的右方而是位于P的左方，则力将从电路元之间的一个推斥力变成一个吸引力。

〔11〕 　Pogg., Ann. 64, p. 1 (1845).

〔12〕 　Théorie des phénomènes Electrodymamiquds, p. 9.

〔13〕 　Exp. Res., vol. ii. p. 293; vol. iii. p. 447.

〔14〕 阅读Faraday's Experimental Researches, Serids i and ii.

〔15〕 　Pogg., Ann. xxxi. p. 483 (1834).

〔16〕 　Exp. Res., 195.

〔17〕 　Exp. Res., 200.

〔18〕 　Annales de Chimie, xxxiv. p. 64 (1852), and Nuovo Cimento, ix., p. 345 (1859).

〔19〕 　如果一种材料或多种材料是磁性的，则这种说法不一定严格正确，因为，在这种事例中，磁力线的分布是会受到导线中的感生磁性的干扰的。

〔20〕 　Exp. Res., series i. 60.

〔21〕 　Exp. Res., series ii. 242.

〔22〕 　Ib, 3269.

〔23〕 　Ib., 60, 1114, 1661, 1729, 1733.

〔24〕 　Bxp. Res., 3234.

〔25〕 　Ib., 3122.

〔26〕 　Bxp. Res., 114.

〔27〕 　Ib., 238.

〔28〕 　Ib., 3082, 3087, 3113.

〔29〕 　Ib., 217, & c.

〔30〕 　Pogg., Ann. xxxi. p. 483 (1834).

〔31〕 　Berlin Akad., 1845 and 1847.

〔32〕 　1847年7月23日在柏林物理学会上宣读。译文见Taylor's "Scientific Memoirs". part ii. p. 114.

〔33〕 　Trans. Brit. Ass., 1848. and Phil. Mag., Dec. 1851．并参阅其论文“Transient Electric Currents”, Phil. Mag., June 1853.

〔34〕 　在第543、544节中给出的证明是不能令人满意的，因为那些证明忽略了可能发生在电流中的任何变化，也忽略了由于电路的运动而可能发生在动能方面的任何变化。事实上，仅仅根据能量守恒原理来推导两个电路的感应方程是不可能的，正如不利用除了能量守恒原理以外的任何原理就想推出一个具有两个自由度的体系的运动方程是不可能的一样。

如果对二电路事例应用能量守恒原理，我们就得到个方程，这可以推导如下：设L、M、N分别是第一个电路的自感系数、两个电路的互感系数和第二个电路的自感系数（第578节）。设T_e 是由各电路中的电流所引起的动能，而其余的符号都和第544节中的符号相同。于是就有（第578节）

式中x是一个用来协助确定电路位置的任意类型的坐标。

既然T_e 是I₁ 、I₂ 的二次齐次式，就有

由此即得

将（2）式代入（1）式中，即得

然而 就是作用在体系上的x类型的力，因此，既然我们假设没有任何外力作用在体系上， 就将是由体系的运动所引起的动能T_m 的增量，于是（3）式就给出

电池在时间δt内做的功是A₁ I₁ δt＋A₂ I₂ δt。在同一时间内产生的热量由焦耳定律给出，（R₁ ＋R₂ ）δt。

由能量守恒原理可知，电池所做的功必须等于电路中产生的热量再加上体系能量的增量，于是就有

A₁ I₁ δt＋A₂ I₂ δt＝（R₁ ＋R₂ ）δt＋δ（T_e ＋T_m ）。

将（4）中的δ（T_e ＋T_m ）值代入此式，即得　　 或者写成

感应方程就是使括号中的两个量等于零，但是能量守恒原理却只证明（5）式的左端为零，而不是各括号分别为零。感生电流的方程的一种严格证明将在第581节中给出。

〔35〕 　Mechanical Theory of Electrolysis, Phil. Mag., Dec. 1851.

〔36〕 　Nichol's Cyclopaedia of Physical Science, ed. 1860, Article "Magnetism, Dynamical Relations of," and Reprint, §571.

〔37〕 　Exp. Res., 1077.

〔38〕 　Faraday, Exp. Res. 283.

〔39〕 　参阅Professor Cayley's "Report on Theoretical Dynamics," British Association, 1857；并参阅Thomson and Tait's Natural Philosophy.

〔40〕 　这种证明似乎是有问题的，因为δq是被假设为等于 即等于 的，因此我们能够合理地从（7）和（8）推出的只是

〔41〕 　原意如此。这句话显然讲得不够明确，学者可据上面的公式体会其真正含意。——译注

〔42〕 　Exp. Res., 283.

〔43〕 　Ibid., 1648.

〔44〕 　Nichol's Cyclopaedia of the Physical Sciences, ed. 1860, article 'Magnetism, Dynamical Relations of.'

〔45〕 　Exp. Res., 3082, 3087, 3113.

〔46〕 　此处引用了伽利略坐标变换。——译注

〔47〕 　此处应用了负号，为的是使我们的表示式和应用四元数的表示式相一致。

〔48〕 　在本书的第一版和第二版中，这一方程中的P是被写成 的。改正归功于G. F. 斐兹杰惹教授，见Trans. R. S. Dublin, 1883.

〔49〕 　我们也有

〔50〕 　这一静电能量表示式在本书第一卷中是根据静电力可由势函数导出的假设而推得的。当电动强度的一部分是由电磁感应引起的时，这种证明就不再成立了。然而，如果我们采取一种观点，即认为这一部分能量起源于电介质的极化状态而且等于每单位体积 则势能将只依赖于电介质的极化而不论这种极化是如何产生的。于是，既然 能量就将等于每单位体积

〔51〕 　见本章末尾的附录Ⅰ。

〔52〕 　参阅本章末尾的附录Ⅱ。

〔53〕 　Exp. Res. 3266, 3267, 3268.

〔54〕 　Sturgeon's Annnals of Electricity, vol. v. p. 187 (1840); or Philosophical Magazine, Dec. 1851.

〔55〕 　参阅Thomson. Camb. Math. Journ., vol. iii. p. 286.

〔56〕 　方程（20）和（22）已被证实为只有在层的表面上即当z＝0时才是正确的。表示式（23）普遍地满足（22）。从而在层的表面上也满足（22）。它也满足问题的其他条件，从而是一个解。“任何别的解必然和这个解差一个闭合电流系，这些电流依赖于层的初状态但并不是由任何外因引起的，从而它们必然很快地衰减”。请参阅克勒克·麦克斯韦教授的论文，见Royal Soc. Proc, xx. pp. 160～168.

〔57〕 　这种证明可以安排如下：设 _τ 是P在时刻t－τ在点x、y、-（z＋R_τ ）的值，其余的符号和正文中的相同。于是既然 _τ 是x、y、z＋R_τ 、t－τ的函数，我们就有 而既然由前面的小注可知方程（21）在场中一切点上都得到满足而不仅仅是在平面上得到满足，我们就有 由此即得 但是既然P在任何点上都和在对平面层而言的像点上具有相同的值，我们就有 _τ ＝P_τ ，由此即得

〔58〕 　这些表示式可以写成更简单的形式：

〔59〕 　Annales de Chimie et de Physique, Tome 32, pp. 213～223, 1826.

〔60〕 　Exp. Res., 81.

〔61〕 　如果a是一个磁极离盘轴的距离，c是它在盘上的高度，我们就可以证明，对于很小的ω来说，作用在磁极上的拖曳力是m² aω/8c² R，斥力是m² a² ω² /8c² R² ，而指向盘轴的力是m² aω² /4cR² 。

〔62〕 　如果各导线是磁性的，则在它们中感应出来的磁性将扰动磁场，从而我们就不能应用以上的推理。方程（22）、（23）和（25）只有当μ＝μ′＝μ₀ 时才是严格正确的。

〔63〕 　如果导线中的电流是周期性的并按照e^ipt 的规律而变化的，则当不再假设μ等于1时可以把和（18）相对应的方程写成

于是体系就表现得像是电阻为 而自感为 那样。

因此，当电流是振动的时，有效的电阻就会增大而有效的自感就会减小。正如麦克斯韦所指出的那样，这种效应是由电流分布的改变所引起的。当电流是交流时，它就不再均匀地分布在导体的截面上，而是有一种离开中部而向导体的表面靠拢的趋势，因为这样就将减小自感，从而也将减小动能。适应着一条普遍的动力学定律，体系的惯性会使电流倾向于适当的分布，以便在通过任一截面的总电流为给定的条件下使动能具有尽可能小的值；而且，当体系动量反转方向的迅速程度增大时，这种趋势就会越来越强烈。考查一下第685节的方程（22）就可以看到，通过使电流在导线表面附近比在它的内部分布得更集中，就会减小体系的自感，从而也减小给定电流下的动能，因为这就对应于电流通过管状导体而流动的情况，而方程（22）表明，管状导体的自感是小于半径相同的实心导线的自感的。由于电流向管壁的集中会使通电的面积变小，我们就很容易理解为什么电阻在交变电流下会比在恒稳电流下更大。由于这个问题具有很大的重要性，这里将给出更多一些的结果，其证明见本书的“补遗卷”。也请参阅Rayleigh, Phil. Mag. XXI. p. 381。

电流和电动势的关系由一个方程来表示，

式中n² ＝4πμip/ρ，而J₀ 是零阶的贝塞耳函数。

由这个函数所满足的方程 我们就有 式中S₂ ，S₄ ，S₆ ，…是下一方程的根的二次方、四次方、六次方…的倒数： 或者写成

于是，利用牛顿的方法，我们就得到 因此，把 的这个值代入方程（1）中，我们就得到 当μ＝1时此式和（18）是一致的。如果na很大，这个级数就是不方便的，但是在那种事例中就有J₀ ′（ina）＝-iJ₀ （ina）；Heine's Kugelfunctionen, p. 248, 2nd Edition．因此，当电流变化很快以致μpa² /ρ是一个大量时，就有 而既然 就有

于是单位长度的电阻是 并随p的增大而无限增大。

单位长度的自感是 而且当p是无限大时趋于一个极限A。导线内部一点上的磁力可被证明为

当na很大时，就有 因此，如果r＝a－x，离导线表面的距离为x处的磁力就是

于是，如果n是很大的，则当我们从表面后退时磁力从而还有电流强度就将迅速地减小，以致导线的内部并不存在磁力和电流。既然 出现在n中，这些效应在铁导线中就会比在用非磁性金属做成的导线中更加明显得多。

〔64〕 　Trans. R. S. Edin., 1871～1872.

〔65〕 　在这些例子中，所有的对数都是自然对数。

〔66〕 　为了得到这一结果，我们注意：对圆柱导线来说，平均距离是它们圆心之间的距离；对两条并排的正方形导线来说，平均距离是0.99401D；对角地摆着的两个正方形来说，平均距离是 请参阅Maxwell，Trans. R. S. Edinburgh, p. 733, 1871～1872。曾经盛情地重算了这种改正量的克瑞先生发现，采用了麦克斯韦的数字，改正量是2×0.019635而不是2×0.019671。这种工作如下：

对于8根方截面导线有

对于圆柱导线有 由此即得 以及 这就给出总的改正量为

然而也有可能，在计算这一改正量时，麦克斯韦曾经使用比在他的论文中给出的准确到更多小数位的一些平均距离值。

〔67〕 　一个圆所张的立体角的值，可以用更直接的方法得出如下：

一个圆在位于轴线上的一点Z上所张的立体角很容易证明为　　

把这一表示式按球谐函数展开，我们就分别对应于z小于c和z大于c的位于轴线上的各点得到ω的展式：

很容易证明，这些结果是和正文中的结果相一致的。

〔68〕 　这一点很容易证明，其方法是把出现在ω₁ 的表示式（6）中的带谐函数P_i （θ）表示成一系列以C_a 为轴的带谐函数和田谐函数之和，然后利用公式　　

〔69〕 　见上脚注。

〔70〕 　M的第二个表示式可以借助于椭圆积分的下述变换来从第一个表示式推得：

如果 或 则有F（c）＝（1＋c₁ ）F（c₁ ），

〔71〕 　Trans. R. S. Edin, vol. xxv. p. 217 (1869).

〔72〕 　克瑞先生发现此式应为

〔73〕 　这一结果可以利用第704节中所建议的方法来直接得出，就是说，利用在第701节求得的M表示式中的各椭圆积分的展式来直接得出。见Cayley's Elliptic Functions, Art. 75.

〔74〕 　Werke, Göttingen edition, 1867, bd. v. p. 622.

〔75〕 　当磁棒轴线和线圈轴线成一角度θ时，作用在磁棒上的力偶是

既然 就是点（x，y，z）上平行于线圈轴线的力，那么 就是垂直于该轴线的力。于是当仪器被用作一个正弦电流计时，改正量就是

它等于

〔76〕 　Pogg., Ann. cxxxviii, pp. 1～10, Aug. 1869.

〔77〕 　在实际的仪器中，使电流进入和流出各线圈的导线并不是像图中所示的那样分开，而是互相尽可能合并在一起以互相抵消其电磁作用的。

〔78〕 　在这一事例中，如果M是内线圈和一个外线圈的相互势能，则当利用第705节中的符号时，既然各线圈是对称排列的，和一个位移y相对应的力的改变量将正比于 这一表示式中最重要的一项是d³ logr/dr³ ，此项当3x² ＝y² 时变为零。

〔79〕 　Proc. R. S. Edin., Dec. 16, 1867.

〔80〕 　参阅Gauss and W. Weber, Resultate des magnetischen Vereins, 1836. Chap. Ⅱ. pp. 34～50.

〔81〕 　Gauss & Weber, Resultate des Magnetischen Vereins, 1838, p. 98.

〔82〕 　我没能证明这一表示式；我利用第748节中的符号得出，当在φ处加上冲量时的伸长和同一冲量在φ＝0时所产生的伸长成下列比例： 式中φ被假设为很小，以致它的平方和更高次方可以忽略不计。

〔83〕 　大的正切电流计有时作得只有一个相当粗的导电圆环，它足够结实，可以不用支撑而保持自己的形状。对于一个标准仪器来说，这并不是一种好的计划。电流在导体中的分布依赖于导体各部分的相对电导率。因此，金属内部连续性的任何隐蔽缺陷都可能使电的主流或是偏向圆环的外侧或是偏向它的内侧。于是电流的真实路线就变成不确定的了。除此以外，当电流只沿圆周运行一次时，必须特别注意避免电流在进入和流出此圆的途中对悬挂磁体的任何作用，因为电极中的电流是等于圆环中的电流的。在许多仪器的构造中，这一部分电流的作用似乎完全没被注意到。

最完善的方法是把其中一个电极做成一个金属管，而把另一个电极做成一根同轴地放在管内的用绝缘材料包起的金属线。这样安装的两个电极的外在作用，由第683节可知是零。

〔84〕 　方括号中的探讨采自弗来明先生对克勒克·麦克斯韦教授的演讲所加的注释；这种探讨有一种使人伤悼的兴趣，因为这是教授所发表的最后一篇演讲的一部分。在弗来明先生的注释中，实验的计划和本文所给出的有所不同，其不同在于电池和电流计交换了位置。

〔85〕 　除非条件式M₂ L₁ －M₁ L₂ ＝0近似的得到满足，不然由瞬变电流所引起的电流零点的不稳定性就会使我们无法准确地确定当接通电池电路时电流计中是否有一次“冲动”。

〔86〕 　'Bestimmung der Constaten, von welcher die Intensität inducirter elektrischer Ströme abhängt.' Pogg. Ann., xxvi(April, 1849).

〔87〕 　更加方便的是反转A₂ 中的电流而不是搬走线圈A₁ 。在这种事例中，通过冲击电流计的电量是正文中所给电量的两倍。基尔霍夫的方法曾被Glazebrook、Sargant和Dolds用来按绝对单位测定电阻。见Phil. Trans. 1883, pp.233～268.

〔88〕 　Elekt. Maasb.: or Pogg., Ann, lxxii. pp. 337～369(1851).

〔89〕 　见Report of the British Association for 1863, pp. 111～176.

〔90〕 　更加简短而同样精确的办法是在方程（6）中令L＝0并把相应的γ值代入方程（11）中。

〔91〕 　Report on Standards of Electrical Resistance of the British Association for 1867, pp. 474～522.

〔92〕 　关于求出一个电阻的绝对量质的各种方法的相对优缺点，请读者参阅瑞利勋爵的一篇论文，见Phil. Mag. Nov. 1882．在正文中没有讲到的一种由洛伦兹提出的很精彩的方法，曾由瑞利勋爵和西德威克夫人进行了充分的描述，见Phil. Trans. 1883, Part I, pp. 295～322．读者也应参阅相同作者们的论文：‘Experiments to determine the value of the British Association Unit of Resistance in Absolute Measure,' Phil. Trans. 1882, Part Ⅱ, pp. 661～697.

〔93〕 　Sir W. Thomson, R. S. Proc. or Reprint, Art. xix. pp. 247～259.

〔94〕 　这一效应是由罗兰教授在1876年发现的。关于以后有关这一课题的实验，请参阅Rowland and Hutchinson, Phil. Mag. 27. 445(1877); Ronten, Wied. Ann. 40. 93; Himstedt, Wied. Ann. 40. 720.

〔95〕 　Elektrodynanamische Maasbestimmungen; and Pogg., Ann, xcix (Aug. pp. 10～25, 1856).

〔96〕 　Peport of British Assoication, 1869, p. 434.

〔97〕 　Phil. Trans., 1868. p. 643; and Report of British Association, 1869, p. 436.

〔98〕 　Report of British Association, 1867, pp. 493～488.

〔99〕 　由于这种方法在用电磁单位来测量一个电容器的电容方面是很重要的，我们在这里附上一种比较详细的探讨，这适用于当圆柱具有保护环时的情况。

在这种测量中所应用的装置如附图所示。

ABCD是一个惠斯登电桥，电流计在G处，而电池在B和C之间，臂AB在R和S处断开，它们是一个换向器的两个极，交替地和一个弹簧T相接触，而弹簧则接在电容器的中板H上。没有保护环的极板和S点相接。点C和点B分别与一个换向器的两个极L、M相连接，这两个极交替地和固定在电容器保护环上的一个弹簧Q相接触。体系调节得适当，使得当换向器工作时各事件的次序如下：

Ⅰ．P接S，电容器放电。

　　Q接M，保护环放电。

Ⅱ．P接R，电容器开始充电。

　　Q接M。

Ⅲ．P接R，电容器被充电到电势差（A）－（B）。

　　Q接L，保护圈充电到电势差（C）－（B）。

Ⅳ．P接S，电容器开始放电。

　　Q接L。

Ⅴ．P接S，电容器放电。

　　Q接M，保护环放电。

于是，当换向器工作时，由于电量向电容器流动，将有一系列短暂的电流通过电流计。各电阻调节得使这些短暂电流对电流计的效应足以平衡恒稳电流的效应，从而不存在电流计的偏转。

为了考察这种情况下的各电阻之间的关系，让我们假设当保护环和电容器被充电时有

通过BC的电流，

通过AE的电流，

通过AD的电流，

通过CL的电流。

于是，如果a、b、α、β、γ分别是臂BC、AC、AD、BD、CD的电阻，L是电流计的自感系数，而E是电池的电动势，我们就由电路ADC和BCD分别得到

现在很显然，各电流是用下列类型的方程来表示的：

式中 和 表示当没有电荷流入电容器时的恒稳电流 ₂ 、 ₂ 具有Ae^-λt 、Be^-λt ，的形式，并表示由电容器充电而引起的电流的变化部分； 和 将具有Ce^-λt 、De^-λt 的形式；所有这些表示式中的t都是从电容器开始充电时算起的时间。

于是方程（1）和（2）就将包含一些常数项和一些带e^-λt 因子的项，而且后一些项必将分别变为零，因此我们就有

设Z、X分别是由于电容器的充电而已经流过电流计和电池的电量，而Y和W是电容器上和保护环上的电荷。于是，在从恰恰在电容器开始充电以前到它完全充电以后的一段时间内求方程（3）和（4）的积分，并记得在这些时刻中的每一时刻都有 我们就得到（b＋γ＋a）Z＋（b＋γ）Y＋γW－γX＝0，

（α＋γ＋β）X－（γ＋β）Y－γZ－（γ＋β）W＝0；

因此，消去x，就得到

在实际上，电池的电阻确实比β、b或γ小得多，使得和第二项相比第三项可以忽略不计，因此，略去电池电阻，我们就得到

如果｛A｝、｛B｝、｛D｝代表当电容器充分充电时A、B、D各点上的电势，而C代表电容器的电容，则有

Y＝C［｛A｝－｛B｝］。

但是 这一方程的右端显然就是通过电流计的恒稳电流 ₁ ，于是就有

如果电容器每秒充电n次，则因此而每秒通过电流计的电量是nZ₁ 。如果电流计的指针保持不偏转，则单位时间内通过电流计的电量必须是零。但是这个电量是 于是就有

把这一关系式代入方程（6）中，我们就得到

如果知道电阻和速率，我们由这一方程就能算出电容。请参阅J. J. Thomson and Searle, "A Determination of 'v'"Phil. Trans. 1890, A, p. 583.

〔100〕 　原意如此，疑有笔误。——译注

〔101〕 　“在我这方面，当考虑到真空和磁力的关系以及磁体外面的磁现象的一般特性时，我更倾向于认为在力的传递中的磁体外面，有这样一种作用，而不太倾向于认为效应只是超距的吸引力和推斥力。这样一种作用可能是以太的一种功能；因为，完全不无可能的是，如果存在一种以太，则它除了仅仅作为辐射的传送物以外还应该有别的用处。”——法拉第，Experimental Researches, 3075.

〔102〕 　Mém. de l'Acad., tom. iii. p. 130, et seq.

〔103〕 　Cambridge Transactions, vol. ix. pp. 1～62(1849).

〔104〕 　 下表采自E. B. Ross的一篇论文，见Phil. Mag. 28, p. 315, 1889．表中给出了“v”的测定结果，对B. A. 单位的误差进行了改正：

〔105〕 　Phil. Trans. 1871, p. 573.

〔106〕 　在于1877年6月14日向皇家学会宣读的一篇论文中，J. 霍普金孙博士给出了为测定各种气体的比感本领的目的而作的一些实验的结果。这些结果并没有证实在正文中得到的理论结论，在每一事例中K都大于折射率的平方。在后来于1881年1月6日向皇家学会宣读的其次一篇论文中，霍普金孙发现，如果u∞代表对无限长波的折射率，则对烃娄来说有 而对动物油和植物油来说有

按照J. J. 汤姆孙的实验（见Proc. Roy. Soc., June 20, 1889）和布朗劳的实验（见Comptes Rendus, May 11, 1891, p. 1058），在频率约为每秒25兆周的电振动下。玻璃的比感本领趋近于μ² 。勒舍尔（Wied Ann. 42, p. 142）得到了相反的结论，即这种情况下的分歧大于恒稳力情况下的分歧。

〔107〕 　我没有证实这些数字。如果我们假设v＝3×10，则按照汤姆孙所引用的泡依乐的数据，一立方厘米中的平均能量是3.92×10^-5 尔格，而在C. G. S. 单位制下，由（24）式给出的对应的P值和β值就是

P＝9.42×10⁸ ，或9.42伏特／厘米，β＝0.0314，或颇大于地球水平磁力的六分之一。

〔108〕 　我们可以从一个不同的观点来看待入射光作用在反射面上的力。让我们假设反射面是金属性的表面，于是当光射中表面时磁力的变化就在金属中感应出电流，而这些电流就在入射光中引起相反的感应效应，使得感应力被从金属板的内部屏蔽开来，于是，板内的电流，从而还有光的强度，就会随着我们从表面向板内的进入而迅速地减弱。板内的电流是由和它们垂直的磁力伴随着的，对应的机械力既垂直于电流又垂直于磁力，从而是平行于光的传播方向的。假如光是通过一种非吸收性的媒质而传播的，这个机械力就会在半个波长以后反转方向，从而当在一段有限的时间和距离内求了积分时就会没有任何合效应。然而，当电流随着我们离开表面而迅速衰减时，由表面附近的电流所引起的效应就不会被离表面较远处的电流引起的效应所抵消，从而合效应就不会是零。

我们可以计算这一效应的量值如下。让我们考虑光垂直入射在金属平板上的事例；我们把金属平板取作xy平面。设σ是材料的比电阻。设入射线的矢势由方程F＝Ae^{i（pt－az）} 给出，反射线的矢势由方程F′＝A′e^{i（pt－az）} 给出，而折射线的矢势由方程 给出，于是在空气中就有 式中V是空气中的光速，由此就有 在金属中， 从而就有，譬如说 于是就有a′＝n（1－i），F″＝A″e^-nz e^{i（pt－nz）} 。

矢势在表面上是连续的，因此就有A＋A′＝A″。

平行于表面的磁力也是连续的，因此就有 或者写成 或者，既然a′/a是很大的，我们就可以把此式写成 于是，在金属中，矢势的实数部分就是

电流的强度是 也就是

磁感 是

平行于z的单位体积中的机械力是这两个量的乘积，即

这个量的平均值用非周期性的一项来表示，并等于

把这一表示式从z＝0积分到z＝∞，我们就得到作用在金属板的单位面积上的力

类似的考虑将表明，当存在吸收时，将有一个力作用在吸收性媒质上，从光强的地方指向光弱的地方。在日光的事例中，这种效应看来是很小的。然而，假如吸收是由很稀薄的气体引起的，则压强梯度可能大得足以引起颇大的效应，而且人们曾经建议这种原因就是使彗星尾被推得远离太阳的原因之一。当电振动是在赫兹实验中所产生的那样的振动时，磁力就是比日光中的磁力大得多的，从而效应就应该可以被探测出来，如果能够保持振动使它类似于连续振动的话。

当存在稳定振动时，我们也得到平均值在任一点上都不为零的机械力。我们可以取上面例子中的反射波和入射波作为稳定振动的实例。

记得a/a′是很小的，就知道空气中的矢势是Ae^{i（pt－az）} ＋A′e^{i（pt＋az）} ，或者，取实数部分，既然近似地有A＋A′＝0，就得到2Asinptsinaz。电流是 磁感是2Aasinptcosaz；从而机械力就是 sinazcosaz，而这个量的平均值就是

〔109〕 　参阅Stokes' 'Report on Double Refraction,' Brit. Assoc. Report, 1862, p. 253.

〔110〕 　维恩（Wied. Ann. 35, p. 48）已经验证了这个结论：金属薄膜的透明度比上述理论所指示的要大得多。

〔111〕 　见 Maxwell's Theory of Heat, p. 235 first edition, p. 255 fourth adition.

〔112〕 Traité de la Chaleur, Art. 384．通过点（α，β，γ）上的初温度f（α，β，γ）来确定时间t后一点（x，y，z）上的温度v的方程是 式中k为热导率。

〔113〕 　Experimental Researches, 951～954 and 2216～2220.

〔114〕 　在此书写成以后，已经有人在气体中观察和测量了偏振面的旋转，参阅H. Becquerel, Compt. Rendus, 88, p.709; 90, p. 1407; Kundt and Röntgen, Wied, Ann., 6, p. 332; 8, p. 278; Bichat, Compt. Rendus, 88, p. 712; Journal de Physique, 9, p. 275, 1880.

〔115〕 　Crelle's Journal, vol. lv. (1858), pp. 25～55. Tait的英译文见Phil. Mag., June, pp. 485～511, 1867.

〔116〕 　罗兰德曾经证明（Phil, mag. xi. p. 254, 1881），如果霍耳效应（见上卷第303节）在电介质中是存在的，则偏振面的磁致旋转就会产生。

〔117〕 　Recherches sur les Propriétés optiques développées dans les corps transparents par I'action du magnétisme, 4^me partie. Comptes Rendus, t. lvi, p. 630 (6 April, 1863)。

〔118〕 　Comptes Rendus, lvii. p. 670 (19 Oct., 1863).

〔119〕 　'Explicare tentatur quomodo fiat ut lucis planum polarizationis per vires electricas vel magneticas declinetur.Halis Saxonum, 1858.

〔120〕 　这三种形式的运动方程是由G. B. 艾瑞爵士作为分析当时刚由法拉第发现的现象的手段而首次提出的（Phil. Mag., June 1846, p. 477）。马克·枯拉（Mac Cullagh）在此以前曾经提出过含有形如 的项的方程，以便数学地表示水晶的现象。这些方程由马克·枯拉和艾瑞提供出来，“不是为了给出现象的一种力学解释，而是为了证明现象可以用一些方程来加以解释，那些方程似乎有可能从一种可取的力学假设中推出，尽管还没有任何这样的假设已被作出。”

〔121〕 　见Faraday, Exp. Res., 2310, &c.

〔122〕 　厄翁教授曾在很强的磁场中寻求这种效应的迹象，但是尚未发现。见Ewing and Low 'On the Magnetisation of Iron and other Magnetic Metals in very Strong Fields,' Phil. Trans. 1889, A. p. 221.

〔123〕 　关于这种类型的理论的论述，请参阅Report on Electrical Theories, by J. J. Thomson, B. A. Report, 1885, pp. 97～155.

〔124〕 　Werke (Göttingen edition, 1867), vol. v. p. 616.

〔125〕 　Abh. Leibnizens Ges., Leipzig (1846), p. 316.

〔126〕 　Pogg. Ann. lxxiii. p. 229 (1848).

〔127〕 　Crelle's Journal, 72. pp. 57～129 (1870).

〔128〕 　Elektr. Maasb. inbesondere über das Princip der Erhaltung der Energie.

〔129〕 　Berlin Monatsbericht, April 1872, pp. 247～256; Phil. Mag., Dep. 1872, Supp., pp. 530～537.

〔130〕 　在整个的探索中，韦伯应用了电动力学单位制。在本书中，我们总是使用电磁单位制。电流的电磁单位和电动力学单位之比是 比1。见第526节。

〔131〕 　在本书的第一版和第二版中， 各项是被略去了的。但是，既然 看来似乎还是应该把它们包括进来，然而当电路是闭合的时这些项对结果并无影响。

〔132〕 　March 19, 1845, Werke, bd. v. 629.

〔133〕 　Pogg., bd. cxxxv. p. 612.

〔134〕 　Tübingen, 1868.

〔135〕 　Mathematische Annalen, i. 317.

〔136〕 　Nuovo Cimento, xxvii (1868)。

〔137〕 　见牛顿《原理》一书第二版的序。

〔138〕 　Lezioni Accademiche (Firenze, 1715), p. 25。