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移除书签第9章 变化的规律
爱因斯坦的困境
我写这一章是在1979年，正值爱因斯坦诞生100周年。对于物质的统计理论，特别是对于涨落的理论，谁也没有爱因斯坦的贡献大。通过对玻耳兹曼公式（式1.10）求逆，爱因斯坦导出了以与之相联系的熵所表示的宏观态的概率。已经证明，这是对整个微观涨落理论（尤其是靠近临界点处）有决定意义的一步。在翁萨格倒易关系（方程4.20）的证明中爱因斯坦关系是一个基本要素。
第1章中概述的爱因斯坦对布朗运动的描述是“随机过程”的最早例子之一。就是今天它也远未失其重要性。第6章中用马尔可夫链来模拟化学反应，是这同一思想线索的扩展。
最后，是爱因斯坦第一个认识到普朗克常数h的普遍意义，它导致了波粒二象性。爱因斯坦关心过电磁辐射问题。而过了约20年以后，德布罗意把爱因斯坦关系推广到物质。海森伯、薛定谔等人的工作把这些思想纳入了一个数学框架。可是，如果物质既是波又是粒子，那么经典决定论的轨道概念就失去了作用。结果，只能由量子理论作出统计的预言（见第3章和附录D）。直到生命的最后一刻爱因斯坦仍然否认这种统计的考虑是符合自然界客观特点的。在他给马克斯·玻恩的著名的信中（见Einstein，1969），他写道：
你相信掷骰子的上帝，而我却相信客观存在的世界中的完备规律和秩序，而我正试图用放荡不羁的思辨方式去把握这个世界。我坚定地相信，但是我希望：有人会发现一种比我的命运所能找到的更加合乎实在论的办法，或者说得妥当点，会发现一种更加明确的基础。甚至量子理论开头所取得的伟大成就也不能使我相信那种基本的骰子游戏，尽管我充分意识到我们年轻的同事们会把我这种看法解释为衰老的一种后果。
为什么爱因斯坦对时间和随机性采取这么坚定的看法？为什么在这些事情中他宁愿在知识界孤立而不作任何妥协呢？
在爱因斯坦一生最感人的文献中，有他和挚友密希里·贝索（Michele Besso）之间的通信集（Einstein，1972）。爱因斯坦通常是沉默寡言的，但与贝索之间则是个极特殊的情况。他们年轻时在苏黎世相识，那时爱因斯坦17岁，贝索23岁。当爱因斯坦在柏林工作的时候，贝索在苏黎世照料爱因斯坦的夫人和孩子。虽然贝索和爱因斯坦之间的交情很深，他们的兴趣却随着岁月的流逝而愈益分离。贝索越来越热衷于文学和哲学，热衷于人类存在的真正含意。他知道，要想得到爱因斯坦的响应，必须涉及科学性的问题，但他的兴趣却越来越岔向别的地方。他们的友情延续了一辈子，爱因斯坦于1955年逝世，贝索仅比爱因斯坦早几个月。我们在这里感兴趣的主要是他们通信中的最后部分，即1940年至1955年之间的部分。
在这期间，贝索一而再，再而三地提出时间的问题。什么是不可逆性？它与物理学基本定律的关系怎样？而爱因斯坦一次又一次耐心地回答：不可逆性是一种幻觉，一种主观印象，来自某些意外的初始条件。贝索对这样的回答始终不满意。他的最后一篇科学论文是投给在日内瓦出版的《科学文献》（Archives des Sciences）的。在80高龄，他提出一种尝试，想调和广义相对论与时间的不可逆性。爱因斯坦不同意这一尝试；他写道：“你是站在光滑的地面上。在物理学的基本定律中没有任何不可逆性，你必须接受这样的思想：主观的时间，连同它对‘现在’的强调，都是没有任何客观意义的。”当贝索去世的时候，爱因斯坦写了一封动人的信给贝索的妹妹和儿子：“密希里早我一步离开了这个奇怪的世界。这是无关紧要的。就我们这些受人们信任的物理学家而言，过去、现在和将来之间的区别只是一种幻觉，然而，这种区别依然持续着。”
爱因斯坦相信斯宾诺莎（Spinoza）的上帝，一个等同于自然的上帝，一个最高理性的上帝。在他的概念中没有什么地盘留给自由创造，留给偶然性，留给人类的自由。任何偶然性，任何随机性，看来像是存在着，但只是表面上的。如果我们设想我们的行动是自由的，那么这只是因为我们还不知道这些行动的真正原因。
我们今天立于何处？我相信，已经取得的主要进步是：我们开始看到，概率性并非一定和无知连在一起，决定论描述与概率论描述间的距离并没有爱因斯坦以及其绝大多数同时代人所认为的那样大。庞加莱（Poincaré 1914）早已指出，当我们通过骰子和用概率去预言结果的时候，我们并没有轨道概念不适用了的意思。更确切些说，对于这种类型的系统，在每个足够小的初始条件范围内，总有同样多的轨道通到骰子的每一面上。这是已被反复讨论过的动力学不稳定性问题（见第二、三、七、八章）的一种简单的说法。在回到这一问题之前，让我们先概述一下已经描述过的变化的规律。
时间和变化
在第1章，我给出了用了几十年时间发展起来的描述变化的方法。基本上，可以分为三种类型：处理平均值演化的宏观方法，如傅里叶定律、化学动力论等；统计的方法，如马尔可夫链；以及经典力学或量子力学。
最近几年，出现了某些十分意外的特点。首先，宏观的描述，特别是对非线性的远离平衡情况的描述，出乎预料地多。第5章中讨论的反应扩散方程已经很好地说明了这一点。甚至简单的例子也可以导致多级分支和多种时空结构。这极大地限制了使宏观描述一致起来的能力，并且表明它本身不能对时间的演化提供一个一致的描述。事实上，图5.2中表示的所有不同分支都满足适当的边界条件（同势理论中的经典问题正相对照，在经典问题中，对于给定的边界条件，存在着唯一的解）。此外，宏观方程没有提供关于在分支点将发生什么的信息。在给定的分支历史之后，级分系统将是什么呢？
因此，我们必须转向统计的理论，如马尔可夫链。但这里也出现了一些新特点。特别重要的有涨落和分支间的密切关系（见第6章），它导致大大修改概率论的经典结果。在靠近分支点处，大数定律不再有效，概率分布的线性主方程解的唯一性丧失（见第6章的“非平衡相变”一节）。
统计方法和宏观方法之间的关系却是清楚的。正是当平均量不满足封闭方程时（这在靠近分支点时发生），我们必须利用统计理论的全部手段。但是，宏观方法或统计方法与动力学方法间的关系始终是一个引起兴趣的问题。这一问题在过去已被从许多角度考虑过。例如阿瑟·爱丁顿（Arthur Eddington）在他出色的《物理世界的本性》（The Nature of the Physical World，1958，第75页）一书中引入了“第一性规律”和第二性规律之间的区别。“第一性规律”控制单个粒子的行为，第二性规律（诸如熵增加原理）只适用于原子或分子的集合。
爱丁顿充分地认识到熵的重要性，他写道（见上书第103页）：“我想，从科学的哲学的观点来看，与熵相联系的概念应被列为19世纪对科学思想的巨大贡献。它标志着一种反动，即对那种认为科学必须注意的每件事都是通过对客体的微观剖析而发现的观点的反动。”
“第一性”规律如何能与“第二性”规律共存？爱丁顿写道（第98页）：“量子理论现在强迫我们去重新建立物理学的体系，如果在重建中，第二性的规律变成基本的，而第一性的规律被扬弃，人们并不会感到惊奇”。
当然，量子理论起着作用，因为它强迫我们放弃经典轨道的概念。但是从和第二定律相关联的观点来看，我们已反复讨论过的不稳定的概念似乎具有基本的重要意义。这时，微观水平上的带有“随机性”的运动方程的结构作为宏观水平上的不可逆性而出现。在这种意义上，不可逆性的含义早已被庞加莱（Poincaré，1921）预料到了，他写道：
最后，用普通的语言来说，能量守恒定律（或克劳修斯原理）只能有一个意义，就是说：对于所有可能情形存在着一种共同性质；但关于决定论假说，只存在一种可能性，而这个定律不再有任何意义。另一方面，关于非决定论假说，即使是在绝对的意义上，它也会有一个含义；它将作为强加在自由身上的限制而出现。不过这些字句提醒了我：我现在扯远了，我正处在离开数学和物理学领域的位置上。
庞加莱对基本的决定论描述的信念建立得太牢固了，以致无法认真地去考虑对自然界的统计描述。对于我们来说，情形完全不同了。在上述引文写成之后许多年，无论是在微观水平上还是在宏观水平上，我们关于对自然的决定论描述的信念已经动摇。我们决不再从这种大胆的结论上退缩！
此外，我们看到，我们的观点在某种意义上使得玻耳兹曼和庞加莱的结论调和起来。玻耳兹曼，一位敢于革命的物理学家，他的思想建立在非凡的物理直觉上，他猜测到的那类方程能在微观水平上描述物质演化还能显示不可逆过程。庞加莱，以他深刻的数学眼光，不满足于仅仅是直觉的论据，可是他清楚看到的仅仅是找到一个解的方向。我相信，本书中概括的方法（见第七、八章和附录）建立了在玻耳兹曼的伟大的直觉工作和庞加莱的数学化要求之间的联系。
这个数学化使我们得到了关于时间和不可逆性的一个新概念，现在我们就来讨论这一新概念。
作为算符的时间和熵
第7章的大部分篇幅用来讨论过去为定义微观水平上的熵而完成的某些最有意义的尝试，其中强调了玻耳兹曼以他的H函数（式7.7）的发现为顶点的对这一课题的基本的贡献。可是，无论其他的评价如何，与庞加莱描述的观察相吻合，玻耳兹曼的H定理不能被认为是由动力学“导出”的。H定理是在玻耳兹曼动力方程的基础上导出来的。玻耳兹曼的动力方程并不具有经典力学的对称性（见第7章“玻耳兹曼动力论”一节和第8章“新的变换理论”一节），虽然玻耳兹曼方程在历史上有其重要性，但它至多只能被认为是一个唯象模型。
即使把熵和一个微观相函数（在经典力学中）或一个厄米算符（在量子力学中）联系起来对系综理论加以扩充，系综理论也不会带给我们更多的东西。第7章中“吉布斯熵”和“庞加莱-米斯拉定理”的两节描述了这些否定的结论。
除了接受不可逆性来自“误解”或来自在经典力学或量子力学上加上补充近似的观点以外，留给我们可能的余地非常的少了。
然而已经出现了另外一个根本上不同的方法 (1) ：即把一个我们称为M的微观熵算符与宏观熵（或李雅普诺夫函数）连结起来的思想。
当然，这是一个重大的步骤：我们在经典力学中已经习惯于考虑作为坐标 (2) 和动量的函数的可观察量，还有在经典和量子系综理论（见第2章和第3章）中引入的刘维算符L为我们迈出有着完全不同本质的新的一步作了准备。真的，虽然“基础的”理论是依据轨道或波函数，系综理论是作为一种“近似”来考虑。随着算符M的引入，情形变得迥然不同，它是通过一束轨道或分布函数来描述的。分布函数变成基本的，不再进一步约化为单个轨道或波函数。
熵的时间作为算符的物理意义将在第10章以及附录中讨论。因为算符首先是通过量子力学引进物理学的，在大多数科学家的心目中，对算符的出现与包含普朗克常数h的量子化之间的密切联系仍保持着记忆。然而，把算符与物理量相联结有与量子化无关的十分广泛的意义，它意味着：由于某种理由，或者因为在微观水平上的不稳定性和随机性（参见附录A），或者因为量子“相关”（参见附录D），基本上应放弃用轨道所作的经典描述。
对于经典力学来说我们可以如下的方式把这情形表达出来。通常的描述（图9.1A）是通过由哈密顿方程2.4产生的轨道或轨迹。另一个描述（图9.1B）是通过分布函数（式2.8），它们的运动是刘维算符所决定的。
图9.1
仅当在每一时刻我们都不能从一个描述转变到另一个描述时，这两个描述才能是不相同的。其物理原因我们已在第2章“弱稳定性”一节中作了讨论。完成一个任意的但是有限精度的实验只是使我们识别相空间中系统可能定域的某些有限区域。于是，问题在于我们是否能至少在原则上完成一个极限转变过程，即如图9.2示意的从这个区域到一点P，到对应于一个确定轨道的δ函数的转变过程。
图9.2
这是与我们在第2章讨论过的弱稳定性有关的问题。当相空间中每个不管多么小的区域都具有多种轨道时，这个极限过程变得不可能实现。于是，微观描述变得如此“复杂”，以致我们无法用分布函数去处理 (3) 。现在我们知道，有两种类型的动力学系统是这样的——具有充分强的混合性质的系统和表现出庞加莱突变的系统（见第2章，第7章以及附录A和B）。其实，除了少数“学院式”的例子，几乎“所有的”动力学系统都应归入这些类型之中。下一节我们再回到这个问题上来。
人们会担心经典物理学或量子物理学的“自然极限”会导致它们的预言能力的下降。以我的见解，这个倒退是正确的。现在我们能作出关于分布函数的演化的叙述，它越出关于单个的轨道能说些什么的范围，新的概念出现了。
在这些新概念中，最使人感兴趣的是微观熵算符M和时间算符T。我们在这里讨论的是一种“第二”时间，即一个与经典力学或量子力学中的时间迥然不同的内部时间，在经典力学或量子力学中时间不过是轨道或波函数的标记。我们已经看到这个算符时间满足一个与刘维算符L的新的测不准关系（参见方程8.22，第10章以及附录A和C）。我们可以通过下面的双线性形式来定义均值〈T〉和〈T2 〉：
足以使人感兴趣的是，“普通”的时间——动力学的标签——变成了对这个新的算符时间取平均值。实际上这是测不准关系（式8.22）的一个结果，式8.22含有
通过适当的归一化，我们可以使这个常数等于1，因此我们看到
在这个简单情形中，平均内部时间T和以t度量的天文时间保持同步（又见第10章）。但是，这不应引起任何混淆：当时间T出自动力学系统的运动不稳定性时，它具有根本不同的特点。它与普通时间的关系是从这样的事实中得出的：它的本征值是能够从常规钟表上读出的时间（还请参见第10章和附录A）。
我们看到了这个新的方法怎样深刻地改变了我们关于时间的传统看法，传统的时间现在作为对系综的“单个时间”所取的一种平均值而出现。
描述的级别
长期以来，经典力学（或存在的物理学）的绝对可预言性被认为是物理世界科学图像的一个基本要素。特别引人注目的是：近代科学度过了三个多世纪［把牛顿向皇家学会提出他的《原理》（Principia）的1685年看做是近代科学的诞生年代，看来确实是合理的］之后，这个科学图像，已经向着一个新的更加精巧的概念转变，在这新的概念中，决定论的特点和随机的特点两者都扮演着一个基本角色。
让我们只考虑玻耳兹曼对热力学第二定律所作的统计表述，在这个表述中概率的概念第一次起了根本的作用。我们还有量子力学，它坚持决定论，不过它所在的理论框架涉及的是具有概率论内容的波函数。这样一来，概率第一次出现在基本的微观描述中。
这个演变现在仍然继续着。我们不仅在宏观水平上的分支理论中（见第5章），而且在甚至是由经典力学所提供的微观描述中（见第7章和第8章），都找到了基本的随机因素。如我们已看到的，这些新的因素最终导致了时间和熵的新概念，导致了尚需探讨的结果。
值得注意的是：经典动力学、统计力学和量子理论可以从爱因斯坦和吉布斯引入的系综观点开始讨论。当不再能实现从一个系综到一条单个轨道的转变时，我们得到了不同的理论结构。这当中我们从这个系综的观点讨论了经典动力学，作为弱稳定性的一个结果还特别讨论了经典动力学向统计力学的转变。我们也提到过：普适常数h的存在把相关引入了相空间并阻止了从系综到单个轨道的转变（进一步的详细论述在附录C和D中给出）。这些结果可示如下表。
我们开始有可能把本书中反复讨论过的各种级别的描述并列起来。
将来还可能出现新的观点和补充的分类法。但我们现在的图式并不是空的，并且已把某些统一的特点带进了理论物理学的结构中。
这里对与不稳定性相联系的动力学复杂性的一些评论看来是恰当的。在经典动力学中，至少可以想象出某些时间可逆（t↔-t）的简单情形。只要一考虑化学过程，这就成为不可能的了（考虑生物过程更是如此），因为化学反应总是——几乎是按照定义——与不可逆过程相联系的。此外，扩展我们感官能力的测量必然包括某些不可逆性的因素。因此，自然定律的这两种表述（一种对t↔-t的表述，一种对
的表述）同样都是基本的。我们两者都需要。确实，我们可能把轨道（或波函数）的世界看做是基本的。按照这种看法，新的表述是在引入补充假设时得到的。但是我们也可以把不可逆性作为我们描述物理世界的基本因素。按照这种看法，轨道和波函数的世界反过来对应于十分重要的理想化，但它们缺乏基本的要素且不能被孤立地研究。
我们已经到达一种自洽的图景，我们将对它进行稍为详细的描述。
过去和将来
一旦我们能在动力学上加上一个李雅普诺夫函数，将来与过去便能区别开来，确实如同在宏观热力学中那样，将来是和较大的熵相联系的。然而还有必要作一些告诫。我们可以构造一个李雅普诺夫函数，它随时间“流”单调地增加，或构造另一个李雅普诺夫函数，它随时间流单调地下降。用更为专门的术语来说，从对应于一个动力学群的图9.1A所表示的情形到以一个半群所描述的图9.1B所表示的情形的转变，能够以两种方式来完成：在一个描述中平衡是在“将来”达到的，在另一个描述中，平衡是在“过去”达到的。换句话说，动力学的时间对称可以用两种方法来破坏，然而，如何去区分这两种方法，则是个难题。
甚至当我们研究动力学的时间反演定律时，我们区别过去和将来——比如说，分清是对月球位置的预言还是对其过去位置的计算。这种过去和将来的区别在某种意义上是先于科学活动的某种“原始概念”。这一点只能得自经验。只有当在自然界中找到（或被人们制备出）其时间反演（或速度反演）是被禁止的情形时，把物理世界描述为一个“半群”才是有意义的。定性地讲，一个半群“面向”未来，是指在t→+∞而不是t→-∞时，态变化到平衡态。因此这个半群的选择关系到所谓“选择规则”的存在。我们将在第10章详细讨论这些事情。我们属于面向未来的半群。这样，我们达到一个自洽的图式，如下图所示：
我们始于观察者，即一个区别过去与将来的活的组织，而止于耗散结构，正如我们已看到的，它包含一个“历史的维数”。因此，我们现在能把我们自身看做是耗散结构的一种演化形式，并能以“客观的”方式证明我们当初引入将来与过去的区别是有理的。
另外在这种观点中，没有任何一种级别的描述能被当做是基本的。简单动力学系统的行为并不比相干结构的描述更基本。
请注意，从一个级别到另一个级别的转变包含一个“对称性破缺”。通过动力方程描述的微观级别上的不可逆过程的存在破坏了正则方程的对称性（见第8章），而耗散结构本身又可能破坏空间-时间的对称性。
正是这样一个自洽体系存在的可能性意味着存在非平衡过程，从而又暗含了一幅物质宇宙的画像，因为某些宇宙学的原因这幅图像提供了环境的必要模式。虽然可逆过程与不可逆过程的区别是一个动力学的问题而且并不涉及宇宙学的论据，生命的可能性，观察者的活动，却不能从我们恰好身在其中的宇宙环境中分离出来。不过，在宇宙尺度上的不可逆性是什么？我们能否在引力扮演着一个基本角色的动力学描述的框架中引入一个熵算符？这是些难以对付的问题——但如我们将在第10章末尾看到的那样，某些令人感兴趣的说明是有可能作出的。
开放的世界
经典物理学洞察力的基础是相信未来由现在决定，因此仔细地研究现在就可以揭露未来。但是这从来就不过是一个理论上的可能性而已。不过，在某种意义上，这个无限的可预言性曾是物质世界科学图像的一个基本要素。大概我们甚至可以把它称做经典科学奠基的神话。
如今，情况发生了很大变化。值得注意的是这个变化基本上是因为我们较好地认识了由于必须考虑观察者的作用而造成的测量过程的极限。在20世纪物理学发展中产生的大多数基本思想当中，这是一个经常出现的主题。
1905年，在爱因斯坦关于时空的分析中，这个主题就出现了，这当中信号传播速率小于真空中的光速的极限起着这样一个基本的作用。当然，假设信号可用无限速率传播并非不合逻辑，然而这种伽利略的时空概念似乎与多年来收集的大量的实验信息相矛盾。把我们作用于自然方法的极限考虑进来已经成了取得进展的一个基本要素。
在过去50年的科学文献中，观察者在量子力学中的作用是一个经常出现的主题。无论将来会有什么样的进展，这个观察者的作用是基本的。那种假设物质的性质与实验仪器无关的经典物理学的朴素的实在主义必须加以修正。
另外，在本书中所描述的进展表明了类似的发展趋势。理论上的可逆性来自在经典力学或量子力学中采用的理想化，这种理想化超出了进行任何有限精度测量的可能性。我们所说的不可逆性是那些对观察的极限和本质作适当解释的理论的特点。
在热力学形成的时候，我们发现了表达一定的转变的不可能性的“否定式”的叙述。在许多教科书中，热力学第二定律被表达为使用单一热源不可能把热转变为功。这种否定式的陈述属于宏观世界——在某种意义上，我们还在微观水平上探索了它的意义，正如我们看到的，它成为关于经典力学或量子力学的基本的概念实体的可观察性的一种表述。正如在相对论中那样，一个否定式的陈述并不是问题的终结；它反过来导致新的理论结构。
在新近的演变中，我们丧失了经典科学的基本因素没有？决定论的规律的局限性的增强意味着我们从一个封闭的，一切都是给定的世界走向对涨落对变革是开放的新世界。
对于经典科学的大多数奠基者——甚至爱因斯坦——来说，科学乃是一种尝试，它要越过表面的世界，达到一个极其合理的没有时间的世界——斯宾诺莎的世界。但是，也许有一种更为精妙的现实形式，它既包括定律，也包括博弈，既包括时间，又包括永恒性。我们的世纪是一个探索的世纪：人们探索着新形式的艺术、音乐、文学，以及新形式的科学。现在，在接近这个世纪末的时候，我们仍无法预言这个人类历史的新篇章将通往何处，但可以肯定，它已经形成了人与自然界之间的新的对话。
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(1) 这里我们只作些初步的说明，系统的论述可在第10章中找到。
(2) 原文为correlations，疑为coordinates之误。——译者注。
(3) 我们将在第10章看到，导出宏观水平上热力学的那种微观描述是一个非局域性的描述。代替时空中的点，我们必须考虑所谓“区域”，它们的扩展与运动不稳定性有关。
